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解析几何、复数、立体几何
知识点整理-------老刘祝大家周末愉快！别忘记好好做周末卷哦！
一、直线和圆
1. 直线倾斜角与斜率的存在性及其取值范围；
直线方向向量的意义(a =λ(1,k ) 或λ(0,1)(λ≠0) ) 及其直线方程的向量式
((x -x 0, y -y 0) =λa (a 为直线的方向向量)).
应用直线方程的点斜式、斜截式设直线方程时，一般可设直线的斜率为k ，但你是否注意到直线垂直于x 轴时，即斜率k 不存在的情况？
2. 知直线纵截距b ，常设其方程为y =kx +b 或x =0；知直线横截距x 0，常设其方程为x =m y +x 0(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数) 或y =0. 知直线过点(x 0, y 0) ，常设其方程为y =k (x -x 0) +y 0或x =x 0.
注意：
(1)直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式、点方向式、点法向式．以及各种形式的局限性. （如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截矩式呢？） ★ 好用的直线系： 与直线l :Ax +By +C =0平行的直线可表示为Ax +By +C 1=0； 与直线l :Ax +By +C =0垂直的直线可表示为Bx -Ay +C 1=0； 过点P (x 0, y 0) 与直线l :Ax +By +C =0平行的直线可表示为：
A (x -x 0) +B (y -y 0) =0；
过点P (x 0, y 0) 与直线l :Ax +By +C =0垂直的直线可表示为：
B (x -x 0) -A (y -y 0) =0.
(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.
直线两截距相等⇔直线的斜率为-1或直线过原点；
直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点； 直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为±1或直线过原点.
(3)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.
3. 相交两直线的夹角：夹角特指相交两直线所成的较小角，范围是(0,]，
2夹角公式tan θ=|
k 1-k 21+k 1k 2
|=|
A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2
|，
4.
点到直线的距离公式d =.
特别：l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1(k 1、k 2都存在时) ⇔A 1A 2+B 1B 2=0；
l 1//l 2⇔
=k A B =A B
； (k 、k 都存在时) ⇔{{b k ≠b A C ≠A C
A B =A B k =k
l 、l 重合⇔{(k 、k 都存在时) ⇔{b =b A C =A C 或B C
11
=B 2C 1
5. 圆的方程：最简方程x 2+y 2=R 2； 标准方程(x -a ) 2+(y -b ) 2=R 2；
一般式方程x 2+y 2+D x +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0) ； 参数方程
x =R cos θ
(θ为参数) ；
y =R sin θ
直径式方程(x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1) (y -y 2) =0.
注意：
(1)
在圆的一般式方程中，圆心坐标和半径分别是(-, -), R =22(2)圆的参数方程为“三角换元”提供了样板，常用三角换元有：
x +y =1→x =cos θ, y =sin θ，
x +y =2→x =
22
θ, y =θ
x +y ≤1→x =r cos θ, y =r sin θ(0≤r ≤1) ，
x +y ≤
2→x =r cos θ, y =r sin θ(0≤r ≤
6. 解决直线与圆的关系问题有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解，重要的是发挥“圆的平面几何性质(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等) 的作用! ”
(1)过圆x 2+y 2=R 2上一点P (x 0, y 0) 圆的切线方程是：xx 0+yy 0=R 2， 过圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=R 2上一点P (x 0, y 0) 圆的切线方程是：
(x -a )(x 0-a ) +(y -a )(y 0-a ) =R ，
过圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0) 上一点P (x 0, y 0) 圆的切线方程是：
xx 0+yy 0+D (x +x 0) +E (y +y 0) +F =0.
22
如果点P (x 0, y 0) 在圆外，那么上述直线方程表示过点P 两切线上两切点的“切点弦”方程.
如果点P (x 0, y 0) 在圆内，那么上述直线方程表示与圆相离且垂直于O 1P (O 1为圆心) 的直线方程，|O 1P |⋅d =R 2(d 为圆心O 1到直线的距离).
7. 曲线C 1:f (x , y ) =0与C 2:g (x , y ) =0的交点坐标⇔方程组
{g f ((x x , , y y ) ) ==00的解；
过两圆C 1:f (x , y ) =0、C 2:g (x , y ) =0交点的圆(公共弦) 系为f (x , y ) +λg (x , y ) =0，当且仅当无平方项时，f (x , y ) +λg (x , y ) =0为两圆公共弦所在直线方程.
二、圆锥曲线
1. 椭圆、双曲线、抛物线
2. 圆锥曲线的几何性质：圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、. 重视“特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其‘顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质’”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点. 注意：等轴双曲线的意义和性质.
3. 在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解. 特别是：
①直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必“判别式≥0”，尤其是在应用韦达定理解决问题时，必须先有“判别式≥0”.
②直线与抛物线(相交不一定交于两点) 、双曲线位置关系(相交的四种情况) 的特殊性，应谨慎处理.
③在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常与“弦”相关，“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度(弦长) ”问题关键是长度(弦长) 公式
(|AB |=|AB |=
|x 2-x 2|=
|a |
|AB |=y 1-y 2|=
|a |
④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率”为桥梁转化. （共线）
4. 要重视常见的寻求曲线方程的方法(待定系数法、定义法、直接法、代入法、参数法、交轨法、向量法等), 以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质(定义法、几何法、代数
法、方程函数思想、数形结合思想、分类讨论思想和等价转化思想等) ，这是解析几何的两类基本问题，也是解析几何的基本出发点.
注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化.
②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份) 、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.
三、复数
1、i 的周期性：
i 4=1，所以，i 4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n n ∈Z )
4n
+i
4n +1
+i
4n +2
+i
4n +3
=0(n ∈Z )
2、复数的代数形式：a +b i (a , b ∈R )，a 叫实部，b 叫虚部，实部和虚部都是实数。
C ={a +bi |a , b ∈R }叫做复数集。N Z Q R C.
3、复数相等：a +bi =c +di ⇔a =c 且b=d；a +bi =0⇔a =0且b=0
⎧实数 (b=0)
4、复数的分类：复数Z =a +bi ⎨⎧一般虚数(b≠0, a ≠0)
⎪虚数 (b≠0) ⎨
⎩纯虚数(b≠0, a =0) ⎩
虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是3+i , 6+2i 也没有大小。 5、复数的模：若向量OZ 表示复数z ，则称OZ 的模r 为复数z 的模，
z =|a +bi |=
z 1z 2
z 1z 2
积或商的模可利用模的性质（1）z 1⋅ z n =z 1⋅z 2⋅ ⋅z n ，（2）6、复数的几何意义：
(z
≠0)
7其中x 轴叫做实轴，
y 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
8、复数代数形式的加减运算
复数z 1与z 2的和：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d ) i . (a , b , c , d ∈R ) 复数z 1与z 2的差：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d ) i . (a , b , c , d ∈R ) 复数的加法运算满足交换律和结合律
数加法的几何意义：复数z 1=a +bi ，z 2=c +di (a , b , c , d ∈R )；OZ = OZ 1+OZ
=(a ，b )+(c ，
d )=(a +c ，b +d ) ＝(a +c )+(b +d ) i
复数减法的几何意义：复数z 1-z 2的差(a －c )+(b －d ) i Z 2Z 1=OZ 1-OZ 2，两个
复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
= zB －z A . ，z =AB =z 9. 特别地，z -z A 为两点间的距离。 B A B AB
|z -z 1|=|z -z 2|z 对应的点的轨迹是线段Z 1Z 2的垂直平分线；|z -z 0|=r ， z对应的点的
轨迹是一个圆；|z -z 1|+|z -z 2|=2a (Z 1Z 2
|z -z 1|-|z -z 2|=2a (Z 1Z 2>2a )， z对应的点的轨迹是双曲线。
z 1-z 2≤z 1±z 2≤z 1+z 2
10、显然有公式：
z 1+z 2
+z 1-z 2
=2z 1
+z 2
11、复数的乘除法运算：
复数的乘法：z 1z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad ) i . (a , b , c , d ∈R ) 复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。
实数集R 中正整数指数的运算律, 在复数集C 中仍然成立. 即对z ,z ,z ∈C 及m,n ∈N 有:
123m n m+nm n mn n n n z z =z, (z) =z, (zz ) =zz .
1212复数的除法：
z 1z 2
=(a+bi)÷(c+di)=
a +bi c +di
ac +bd c +d
bc -ad c +d
i (a , b , c , d ∈R )，分母实
数化是常规方法
12、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；
z =a +bi , z =a -bi (a , b ∈R )，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称
。z =|z |=
z ⋅z =a +b ∈R , z ⋅z =z
1i
22
=z ，z 1±z 2=z 1±z 2, z 1⋅z 2=z 1⋅z 2,
1+i 1-i
⎛z 1⎫z 1
= ⎪z ⎝2⎭z 2
1-i 1+i
=-i
22
13、熟记常用算式：=-i ，(1+i ) =2i ，(1-i ) =-2i ，
=i ，
14、复数的代数式运算技巧：
1+i
（1）①
(1+i ) =2i
(1-i ) =-2i
③1-i
=i
1-i
④1+i
=-i
ω=-
（2）“1”的立方根
12
32
的性质：
ω+
1=-1
1=ω
①ω=1 ②ω
32
=ω ③1+ω+ω
=0 ④
⑤ω
15、实系数一元二次方程的根问题：
（1）当∆=b 2-4ac ≥0时，方程有两个实根 x 1, x 2。
（2）当∆=b 2-4ac
此时有 x 1
=x 2=x 1x 2=
c a
且x 1, 2=
-b ±
2a
-∆i
注意两种题型：(1)x 1-x 2 (2)x 1+x 2
四、直线、平面、简单多面体（后面的一并给你）
1. 计算异面直线所成角
2. 计算直线与平面所成的角 3. 计算二面角的大小主要有： 定义法(先作其平面角后计算大小) 、 公式法(cos θ=
S 影S 原
) 、
向量法(两平面法向量的夹角) 、
等价转换法等等. 二面角平面角的主要作法有：定义法(取点、作垂、构角) 、三垂线法(两垂一连，关键是第一垂(过二面角一个面内一点，作另一个面的垂线)) 、垂面法.
4. 计算空间距离的主要方法有：定义法(先作垂线段后计算) 、等积法、转换法(平行换点、换面) 等.
5. 空间平行垂直关系的证明，主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进行，模式是： 线线关系
线面关系
面面关系，请重视线面平行关系、线面垂直关系(三垂线定理
及其逆定理) 的桥梁作用. 注意：书写证明过程需规范.
特别声明：①证明计算过程中，若有“中点”等特殊点线，则常借助于“中位线、重心”等知识转化.
②在证明计算过程中常将运用转化思想，将具体问题转化 (构造) 为特殊几何体(如三棱锥、正方体、长方体、三棱柱、四棱柱等) 中问题，并获得去解决. ③如果根据已知条件，在几何体中有“三条直线两两垂直”，那么往往以此为基础，建立空间直角坐标系，并运用空间向量解决问题.
6. 直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面体、棱锥、正棱锥关于侧棱、侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性质.
如长方体中：对
角线长l =
，棱长总和为4(a +b +c ) ，全(表) 面积为
2(ab +bc +ca ) ，(结合(a +b +c ) =a +b +c +2ab +2bc +2ca 可得关于他们的等量
关系，结合基本不等式还可建立关于他们的不等关系式) ，cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2(1)； 如三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等) ⇔顶点在底上射影为底面外心，侧棱两两垂直(两对对棱垂直) ⇔顶点在底上射影为底面垂心，斜高长相等(侧面与底面所成相等) 且顶点在底上在底面内⇔顶点在底上射影为底面内心.
如正四面体和正方体中：
arccos
7. 求几何体体积的常规方法是：公式法、割补法、等积(转换) 法、比例(性质转换) 法等. 注意：补形：三棱锥⇒三棱柱⇒平行六面体 分割：三棱柱中三棱锥、四三棱锥、三棱柱的体积关系是 .
8. 多面体是由若干个多边形围成的几何体．棱柱和棱锥是特殊的多面体．
正多面体的每个面都是相同边数的正多边形，以每个顶点为其一端都有相同数目的棱，这样的多面体只有五种， 即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体． 关于多面体的概念间有如下关系：
⊃⊃⊃
{多面体} ≠ {简单多面体} ≠ {凸多面体} ≠ {正多面体}；
⊃⊃⊃⊃ {凸多面体} ≠ {棱柱} ≠ {直棱柱} ≠ {正棱柱} ≠ {正方体}；
⊃⊃ {凸多面体} ≠ {棱锥} ≠ {正棱锥} ≠ {正四面体}．
欧拉公式(V ＋F 一E ＝2) 是简单多面体的重要性质，在运用过程中应重视“各面的边数总和等于各顶点出发的棱数总和、等于多面体棱数的两倍”．“简单多面体各面的内角总和是(V -2) ×3600”.
过一个顶点有n 条棱，每个面是m 边形的一般方法是什么？
看看-----很有趣！如果让你画，你能画出来吗？？？
10．球是一种常见的简单几何体．球的位置由球心确定，球的大小仅取决于半径的大小．球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点．球面是到球心的距离等于定长(半径) 的点的集合．球的截面是圆面，其中过球心的截面叫做大圆面．球面上两点间的距离，是过这两点的大圆在这两点间的劣弧长，计算球面距离的关键是“根据已知经纬度等条件，先寻求球面上两点间的弦长”，因为此弦长既是球面上两点间的弦长，又是大圆上两点间的弦长．注：“经度是‘小小半径所成角’，纬度是‘大小半径的夹角’”.
球体积公式V =
43
πR ，球表面积公式S =4πR ，是两个关于球的几何度量公式．它们
32
都是球半径及的函数．解决球的相关问题务必注意球的几何性质(尤其是“球的半径、球心截面距、小圆半径构成直角三角形”；球与多面体相切或相接时，组合体的特殊关联关系).
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小数的意义：分母是10、100、1000……的分数,可以用小数来表示.
小数的性质：小数的末尾添上0或者去掉0,小数的大小不变.
小数在日常生活中有着非常广泛的应用，为了让学生感受小数与日常生活的这种联系。教材通过主题图中呈现了四个不同情境中的小数，包括质量、身高、成绩、体温，并且让学生说出一些生活中的小数，感受小数在生活中的应用。同时，结合具体情境中小数的具体含义，加深学生对小数意义的理解。
成功之处：
1.结合生活中的具体情境，学生对于小数意义的理解比较透彻，能准确说出每个小数的具体含义。
2.从生活情景入手，引出小数与名数的改写，突出这种改写是解决问题的需要，从而使学生感受到改写的必要性。通过创设生活中常见的按身高排队的情境，呈现了不同单位、不同形式的数据，由于数据太乱，不便于比较，从而产生了改写成相同计量单位的必要，引出例1的教学。
3. 通过小组交流，得出既可以把低级单位改写成高级单位，也可以把高级单位改写成低级单位的比较身高的方法，为例1的教学做好了铺垫，使学生顺利解决问题。
不足之处：
1.在生活中的小数中，呈现的情景太多，导致前紧后松，出现练习名数改写的时间过少。
2.练习题中生活中的小数练习所占比重过大，导致没有时间练习巩固把低级单位转化成高级单位的题目。
再教设计：
减少生活中小数在本节课内容中的比重，突出名数的改写练习，突出重点，根据重点增加练习量。 教学中，我先复习一些常见单位间的进率、小数点移动的规律作铺垫比较好，然后通过实例“比高矮”，引出统一单位进行比较的必要，接着以自主探索的方式引导学生找出名数改写的方法，课堂教学效果比较好 小数在日常生活中有着非常广泛的应用，为了让学生感受小数与日常生活的这种联系。教材通过主题图中呈现了四个不同情境中的小数，包括质量、身高、成绩、体温，并且让学生说出一些生活中的小数，感受小数在生活中的应用。同时，结合具体情境中小数的具体含义，加深学生对小数意义的理解。
成功之处：
1.结合生活中的具体情境，学生对于小数意义的理解比较透彻，能准确说出每个小数的具体含义。
2.从生活情景入手，引出小数与名数的改写，突出这种改写是解决问题的需要，从而使学生感受到改写的必要性。通过创设生活中常见的按身高排队的情境，呈现了不同单位、不同形式的数据，由于数据太乱，不便于比较，从而产生了改写成相同计量单位的必要，引出例1的教学。
3. 通过小组交流，得出既可以把低级单位改写成高级单位，也可以把高级单位改写成低级单位的比较身高的方法，为例1的教学做好了铺垫，使学生顺利解决问题。
不足之处：
1.在生活中的小数中，呈现的情景太多，导致前紧后松，出现练习名数改写的时间过少。
2.练习题中生活中的小数练习所占比重过大，导致没有时间练习巩固把低级单位转化成高级单位的题目。
再教设计：
减少生活中小数在本节课内容中的比重，突出名数的改写练习，突出重点，根据重点增加练习量。 教学中，我先复习一些常见单位间的进率、小数点移动的规律作铺垫比较好，然后通过实例“比高矮”，引出统一单位进行比较的必要，接着以自主探索的方式引导学生找出名数改写的方法，课堂教学效果比较好
新人教版小学三年级下册数学《认识小数》教案教学设计 第七单元 小数的初步认识 新知识点：
1、认识小数。 （1）常见的小数与小数的读法。 （2）两位小数的含义与写法。 （3）两位小数的大小比较。
2、简单的小数加、减法。 （1）一位小数的加法。 （2）一位小数的减法。 教学要求： 1、使学生能结合具体内容初步了解小数的含义，会认、读、写小数部分不超过两位的小数。 2、使学生能结合具体内容比较一位、两位小数的大小。
3、使学生会计算一位小数的加、减法。 教学建议： 1、调动学生的生活经历和已有知识，促进知识经验的迁移。 小学生的很多生活经验，以及他们前面所学的整数及其加、减法的有关知识，都恩能够在本单元的学习中发挥积极的迁移作用。
教师应充分利用这些有利条件，激活学生的相关生活经验和相关知识基础，促进学习的正迁移，使学生在学会的同时，形成会学的能力。
2、把握好小数初步认识的学习要求。 作为小数的初步认识，其教学要求应当注意把握三点：一是本单元不要求离开观察背景和具体的量，抽象地讨论小数；二是小数的认、读、写，仅限于小数部分不超过两位的小数；
解析几何、复数、立体几何
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一、直线和圆
1. 直线倾斜角与斜率的存在性及其取值范围；
直线方向向量的意义(a =λ(1,k ) 或λ(0,1)(λ≠0) ) 及其直线方程的向量式
((x -x 0, y -y 0) =λa (a 为直线的方向向量)).
应用直线方程的点斜式、斜截式设直线方程时，一般可设直线的斜率为k ，但你是否注意到直线垂直于x 轴时，即斜率k 不存在的情况？
2. 知直线纵截距b ，常设其方程为y =kx +b 或x =0；知直线横截距x 0，常设其方程为x =m y +x 0(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数) 或y =0. 知直线过点(x 0, y 0) ，常设其方程为y =k (x -x 0) +y 0或x =x 0.
注意：
(1)直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式、点方向式、点法向式．以及各种形式的局限性. （如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截矩式呢？） ★ 好用的直线系： 与直线l :Ax +By +C =0平行的直线可表示为Ax +By +C 1=0； 与直线l :Ax +By +C =0垂直的直线可表示为Bx -Ay +C 1=0； 过点P (x 0, y 0) 与直线l :Ax +By +C =0平行的直线可表示为：
A (x -x 0) +B (y -y 0) =0；
过点P (x 0, y 0) 与直线l :Ax +By +C =0垂直的直线可表示为：
B (x -x 0) -A (y -y 0) =0.
(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.
直线两截距相等⇔直线的斜率为-1或直线过原点；
直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点； 直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为±1或直线过原点.
(3)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.
3. 相交两直线的夹角：夹角特指相交两直线所成的较小角，范围是(0,]，
2夹角公式tan θ=|
k 1-k 21+k 1k 2
|=|
A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2
|，
4.
点到直线的距离公式d =.
特别：l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1(k 1、k 2都存在时) ⇔A 1A 2+B 1B 2=0；
l 1//l 2⇔
=k A B =A B
； (k 、k 都存在时) ⇔{{b k ≠b A C ≠A C
A B =A B k =k
l 、l 重合⇔{(k 、k 都存在时) ⇔{b =b A C =A C 或B C
11
=B 2C 1
5. 圆的方程：最简方程x 2+y 2=R 2； 标准方程(x -a ) 2+(y -b ) 2=R 2；
一般式方程x 2+y 2+D x +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0) ； 参数方程
x =R cos θ
(θ为参数) ；
y =R sin θ
直径式方程(x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1) (y -y 2) =0.
注意：
(1)
在圆的一般式方程中，圆心坐标和半径分别是(-, -), R =22(2)圆的参数方程为“三角换元”提供了样板，常用三角换元有：
x +y =1→x =cos θ, y =sin θ，
x +y =2→x =
22
θ, y =θ
x +y ≤1→x =r cos θ, y =r sin θ(0≤r ≤1) ，
x +y ≤
2→x =r cos θ, y =r sin θ(0≤r ≤
6. 解决直线与圆的关系问题有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解，重要的是发挥“圆的平面几何性质(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等) 的作用! ”
(1)过圆x 2+y 2=R 2上一点P (x 0, y 0) 圆的切线方程是：xx 0+yy 0=R 2， 过圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=R 2上一点P (x 0, y 0) 圆的切线方程是：
(x -a )(x 0-a ) +(y -a )(y 0-a ) =R ，
过圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0) 上一点P (x 0, y 0) 圆的切线方程是：
xx 0+yy 0+D (x +x 0) +E (y +y 0) +F =0.
22
如果点P (x 0, y 0) 在圆外，那么上述直线方程表示过点P 两切线上两切点的“切点弦”方程.
如果点P (x 0, y 0) 在圆内，那么上述直线方程表示与圆相离且垂直于O 1P (O 1为圆心) 的直线方程，|O 1P |⋅d =R 2(d 为圆心O 1到直线的距离).
7. 曲线C 1:f (x , y ) =0与C 2:g (x , y ) =0的交点坐标⇔方程组
{g f ((x x , , y y ) ) ==00的解；
过两圆C 1:f (x , y ) =0、C 2:g (x , y ) =0交点的圆(公共弦) 系为f (x , y ) +λg (x , y ) =0，当且仅当无平方项时，f (x , y ) +λg (x , y ) =0为两圆公共弦所在直线方程.
二、圆锥曲线
1. 椭圆、双曲线、抛物线
2. 圆锥曲线的几何性质：圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、. 重视“特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其‘顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质’”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点. 注意：等轴双曲线的意义和性质.
3. 在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解. 特别是：
①直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必“判别式≥0”，尤其是在应用韦达定理解决问题时，必须先有“判别式≥0”.
②直线与抛物线(相交不一定交于两点) 、双曲线位置关系(相交的四种情况) 的特殊性，应谨慎处理.
③在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常与“弦”相关，“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度(弦长) ”问题关键是长度(弦长) 公式
(|AB |=|AB |=
|x 2-x 2|=
|a |
|AB |=y 1-y 2|=
|a |
④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率”为桥梁转化. （共线）
4. 要重视常见的寻求曲线方程的方法(待定系数法、定义法、直接法、代入法、参数法、交轨法、向量法等), 以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质(定义法、几何法、代数
法、方程函数思想、数形结合思想、分类讨论思想和等价转化思想等) ，这是解析几何的两类基本问题，也是解析几何的基本出发点.
注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化.
②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份) 、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.
三、复数
1、i 的周期性：
i 4=1，所以，i 4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n n ∈Z )
4n
+i
4n +1
+i
4n +2
+i
4n +3
=0(n ∈Z )
2、复数的代数形式：a +b i (a , b ∈R )，a 叫实部，b 叫虚部，实部和虚部都是实数。
C ={a +bi |a , b ∈R }叫做复数集。N Z Q R C.
3、复数相等：a +bi =c +di ⇔a =c 且b=d；a +bi =0⇔a =0且b=0
⎧实数 (b=0)
4、复数的分类：复数Z =a +bi ⎨⎧一般虚数(b≠0, a ≠0)
⎪虚数 (b≠0) ⎨
⎩纯虚数(b≠0, a =0) ⎩
虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是3+i , 6+2i 也没有大小。 5、复数的模：若向量OZ 表示复数z ，则称OZ 的模r 为复数z 的模，
z =|a +bi |=
z 1z 2
z 1z 2
积或商的模可利用模的性质（1）z 1⋅ z n =z 1⋅z 2⋅ ⋅z n ，（2）6、复数的几何意义：
(z
≠0)
7其中x 轴叫做实轴，
y 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
8、复数代数形式的加减运算
复数z 1与z 2的和：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d ) i . (a , b , c , d ∈R ) 复数z 1与z 2的差：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d ) i . (a , b , c , d ∈R ) 复数的加法运算满足交换律和结合律
数加法的几何意义：复数z 1=a +bi ，z 2=c +di (a , b , c , d ∈R )；OZ = OZ 1+OZ
=(a ，b )+(c ，
d )=(a +c ，b +d ) ＝(a +c )+(b +d ) i
复数减法的几何意义：复数z 1-z 2的差(a －c )+(b －d ) i Z 2Z 1=OZ 1-OZ 2，两个
复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
= zB －z A . ，z =AB =z 9. 特别地，z -z A 为两点间的距离。 B A B AB
|z -z 1|=|z -z 2|z 对应的点的轨迹是线段Z 1Z 2的垂直平分线；|z -z 0|=r ， z对应的点的
轨迹是一个圆；|z -z 1|+|z -z 2|=2a (Z 1Z 2
|z -z 1|-|z -z 2|=2a (Z 1Z 2>2a )， z对应的点的轨迹是双曲线。
z 1-z 2≤z 1±z 2≤z 1+z 2
10、显然有公式：
z 1+z 2
+z 1-z 2
=2z 1
+z 2
11、复数的乘除法运算：
复数的乘法：z 1z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad ) i . (a , b , c , d ∈R ) 复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。
实数集R 中正整数指数的运算律, 在复数集C 中仍然成立. 即对z ,z ,z ∈C 及m,n ∈N 有:
123m n m+nm n mn n n n z z =z, (z) =z, (zz ) =zz .
1212复数的除法：
z 1z 2
=(a+bi)÷(c+di)=
a +bi c +di
ac +bd c +d
bc -ad c +d
i (a , b , c , d ∈R )，分母实
数化是常规方法
12、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；
z =a +bi , z =a -bi (a , b ∈R )，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称
。z =|z |=
z ⋅z =a +b ∈R , z ⋅z =z
1i
22
=z ，z 1±z 2=z 1±z 2, z 1⋅z 2=z 1⋅z 2,
1+i 1-i
⎛z 1⎫z 1
= ⎪z ⎝2⎭z 2
1-i 1+i
=-i
22
13、熟记常用算式：=-i ，(1+i ) =2i ，(1-i ) =-2i ，
=i ，
14、复数的代数式运算技巧：
1+i
（1）①
(1+i ) =2i
(1-i ) =-2i
③1-i
=i
1-i
④1+i
=-i
ω=-
（2）“1”的立方根
12
32
的性质：
ω+
1=-1
1=ω
①ω=1 ②ω
32
=ω ③1+ω+ω
=0 ④
⑤ω
15、实系数一元二次方程的根问题：
（1）当∆=b 2-4ac ≥0时，方程有两个实根 x 1, x 2。
（2）当∆=b 2-4ac
此时有 x 1
=x 2=x 1x 2=
c a
且x 1, 2=
-b ±
2a
-∆i
注意两种题型：(1)x 1-x 2 (2)x 1+x 2
四、直线、平面、简单多面体（后面的一并给你）
1. 计算异面直线所成角
2. 计算直线与平面所成的角 3. 计算二面角的大小主要有： 定义法(先作其平面角后计算大小) 、 公式法(cos θ=
S 影S 原
) 、
向量法(两平面法向量的夹角) 、
等价转换法等等. 二面角平面角的主要作法有：定义法(取点、作垂、构角) 、三垂线法(两垂一连，关键是第一垂(过二面角一个面内一点，作另一个面的垂线)) 、垂面法.
4. 计算空间距离的主要方法有：定义法(先作垂线段后计算) 、等积法、转换法(平行换点、换面) 等.
5. 空间平行垂直关系的证明，主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进行，模式是： 线线关系
线面关系
面面关系，请重视线面平行关系、线面垂直关系(三垂线定理
及其逆定理) 的桥梁作用. 注意：书写证明过程需规范.
特别声明：①证明计算过程中，若有“中点”等特殊点线，则常借助于“中位线、重心”等知识转化.
②在证明计算过程中常将运用转化思想，将具体问题转化 (构造) 为特殊几何体(如三棱锥、正方体、长方体、三棱柱、四棱柱等) 中问题，并获得去解决. ③如果根据已知条件，在几何体中有“三条直线两两垂直”，那么往往以此为基础，建立空间直角坐标系，并运用空间向量解决问题.
6. 直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面体、棱锥、正棱锥关于侧棱、侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性质.
如长方体中：对
角线长l =
，棱长总和为4(a +b +c ) ，全(表) 面积为
2(ab +bc +ca ) ，(结合(a +b +c ) =a +b +c +2ab +2bc +2ca 可得关于他们的等量
关系，结合基本不等式还可建立关于他们的不等关系式) ，cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2(1)； 如三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等) ⇔顶点在底上射影为底面外心，侧棱两两垂直(两对对棱垂直) ⇔顶点在底上射影为底面垂心，斜高长相等(侧面与底面所成相等) 且顶点在底上在底面内⇔顶点在底上射影为底面内心.
如正四面体和正方体中：
arccos
7. 求几何体体积的常规方法是：公式法、割补法、等积(转换) 法、比例(性质转换) 法等. 注意：补形：三棱锥⇒三棱柱⇒平行六面体 分割：三棱柱中三棱锥、四三棱锥、三棱柱的体积关系是 .
8. 多面体是由若干个多边形围成的几何体．棱柱和棱锥是特殊的多面体．
正多面体的每个面都是相同边数的正多边形，以每个顶点为其一端都有相同数目的棱，这样的多面体只有五种， 即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体． 关于多面体的概念间有如下关系：
⊃⊃⊃
{多面体} ≠ {简单多面体} ≠ {凸多面体} ≠ {正多面体}；
⊃⊃⊃⊃ {凸多面体} ≠ {棱柱} ≠ {直棱柱} ≠ {正棱柱} ≠ {正方体}；
⊃⊃ {凸多面体} ≠ {棱锥} ≠ {正棱锥} ≠ {正四面体}．
欧拉公式(V ＋F 一E ＝2) 是简单多面体的重要性质，在运用过程中应重视“各面的边数总和等于各顶点出发的棱数总和、等于多面体棱数的两倍”．“简单多面体各面的内角总和是(V -2) ×3600”.
过一个顶点有n 条棱，每个面是m 边形的一般方法是什么？
看看-----很有趣！如果让你画，你能画出来吗？？？
10．球是一种常见的简单几何体．球的位置由球心确定，球的大小仅取决于半径的大小．球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点．球面是到球心的距离等于定长(半径) 的点的集合．球的截面是圆面，其中过球心的截面叫做大圆面．球面上两点间的距离，是过这两点的大圆在这两点间的劣弧长，计算球面距离的关键是“根据已知经纬度等条件，先寻求球面上两点间的弦长”，因为此弦长既是球面上两点间的弦长，又是大圆上两点间的弦长．注：“经度是‘小小半径所成角’，纬度是‘大小半径的夹角’”.
球体积公式V =
43
πR ，球表面积公式S =4πR ，是两个关于球的几何度量公式．它们
32
都是球半径及的函数．解决球的相关问题务必注意球的几何性质(尤其是“球的半径、球心截面距、小圆半径构成直角三角形”；球与多面体相切或相接时，组合体的特殊关联关系).
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小数的意义：分母是10、100、1000……的分数,可以用小数来表示.
小数的性质：小数的末尾添上0或者去掉0,小数的大小不变.
小数在日常生活中有着非常广泛的应用，为了让学生感受小数与日常生活的这种联系。教材通过主题图中呈现了四个不同情境中的小数，包括质量、身高、成绩、体温，并且让学生说出一些生活中的小数，感受小数在生活中的应用。同时，结合具体情境中小数的具体含义，加深学生对小数意义的理解。
成功之处：
1.结合生活中的具体情境，学生对于小数意义的理解比较透彻，能准确说出每个小数的具体含义。
2.从生活情景入手，引出小数与名数的改写，突出这种改写是解决问题的需要，从而使学生感受到改写的必要性。通过创设生活中常见的按身高排队的情境，呈现了不同单位、不同形式的数据，由于数据太乱，不便于比较，从而产生了改写成相同计量单位的必要，引出例1的教学。
3. 通过小组交流，得出既可以把低级单位改写成高级单位，也可以把高级单位改写成低级单位的比较身高的方法，为例1的教学做好了铺垫，使学生顺利解决问题。
不足之处：
1.在生活中的小数中，呈现的情景太多，导致前紧后松，出现练习名数改写的时间过少。
2.练习题中生活中的小数练习所占比重过大，导致没有时间练习巩固把低级单位转化成高级单位的题目。
再教设计：
减少生活中小数在本节课内容中的比重，突出名数的改写练习，突出重点，根据重点增加练习量。 教学中，我先复习一些常见单位间的进率、小数点移动的规律作铺垫比较好，然后通过实例“比高矮”，引出统一单位进行比较的必要，接着以自主探索的方式引导学生找出名数改写的方法，课堂教学效果比较好 小数在日常生活中有着非常广泛的应用，为了让学生感受小数与日常生活的这种联系。教材通过主题图中呈现了四个不同情境中的小数，包括质量、身高、成绩、体温，并且让学生说出一些生活中的小数，感受小数在生活中的应用。同时，结合具体情境中小数的具体含义，加深学生对小数意义的理解。
成功之处：
1.结合生活中的具体情境，学生对于小数意义的理解比较透彻，能准确说出每个小数的具体含义。
2.从生活情景入手，引出小数与名数的改写，突出这种改写是解决问题的需要，从而使学生感受到改写的必要性。通过创设生活中常见的按身高排队的情境，呈现了不同单位、不同形式的数据，由于数据太乱，不便于比较，从而产生了改写成相同计量单位的必要，引出例1的教学。
3. 通过小组交流，得出既可以把低级单位改写成高级单位，也可以把高级单位改写成低级单位的比较身高的方法，为例1的教学做好了铺垫，使学生顺利解决问题。
不足之处：
1.在生活中的小数中，呈现的情景太多，导致前紧后松，出现练习名数改写的时间过少。
2.练习题中生活中的小数练习所占比重过大，导致没有时间练习巩固把低级单位转化成高级单位的题目。
再教设计：
减少生活中小数在本节课内容中的比重，突出名数的改写练习，突出重点，根据重点增加练习量。 教学中，我先复习一些常见单位间的进率、小数点移动的规律作铺垫比较好，然后通过实例“比高矮”，引出统一单位进行比较的必要，接着以自主探索的方式引导学生找出名数改写的方法，课堂教学效果比较好
新人教版小学三年级下册数学《认识小数》教案教学设计 第七单元 小数的初步认识 新知识点：
1、认识小数。 （1）常见的小数与小数的读法。 （2）两位小数的含义与写法。 （3）两位小数的大小比较。
2、简单的小数加、减法。 （1）一位小数的加法。 （2）一位小数的减法。 教学要求： 1、使学生能结合具体内容初步了解小数的含义，会认、读、写小数部分不超过两位的小数。 2、使学生能结合具体内容比较一位、两位小数的大小。
3、使学生会计算一位小数的加、减法。 教学建议： 1、调动学生的生活经历和已有知识，促进知识经验的迁移。 小学生的很多生活经验，以及他们前面所学的整数及其加、减法的有关知识，都恩能够在本单元的学习中发挥积极的迁移作用。
教师应充分利用这些有利条件，激活学生的相关生活经验和相关知识基础，促进学习的正迁移，使学生在学会的同时，形成会学的能力。
2、把握好小数初步认识的学习要求。 作为小数的初步认识，其教学要求应当注意把握三点：一是本单元不要求离开观察背景和具体的量，抽象地讨论小数；二是小数的认、读、写，仅限于小数部分不超过两位的小数；
