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等比数列知识点总结
等比数列是指从第二项起,每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列,下面是小编收集整理的等比数列知识点总结,请参考!
等比数列知识点总结 篇1
1、等比数列的定义:
2、通项公式:
a n =a 1q n -1=a 1n q =A B n (a 1q ≠0, A B ≠0),首项:a 1;公比:q
a n q =n a m a n =q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *),q 称为公比 a n -1推广:a n =a m q n -m q n -m =
3、等比中项:
(1)如果a , A , b 成等比数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项,即:A 2=
ab 或A =注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(
(2)数列{a n }是等比数列a n 2=a n -1a n +1
4、等比数列的前n 项和S n 公式:
(1)当q =1时,S n =na 1
(2)当q ≠1时,S n =
=a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q a 1a -1q n =A -A B n =A B n -A (A , B , A , B 为常数) 1-q 1-q
5、等比数列的判定方法:
(1)用定义:对任意的n ,都有a n +1=qa n 或a n +1=q (q 为常数,a n ≠0) {a n }为等比数列 a n
(2)等比中项:a n 2=a n +1a n -1(a n +1a n -1≠0) {a n }为等比数列
(3)通项公式:a n =A B n (A B ≠0){a n }为等比数列
6、等比数列的证明方法: a 依据定义:若n =q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)或a n +1=qa n {a n }为等比数列 a n -1
7、等比数列的性质:
(2)对任何m , n ∈N *,在等比数列{a n }中,有a n =a m q n -m 。
(3)若m +n =s +t (m , n , s , t ∈N *) ,则a n a m =a s a t 。特别的,当m +n =2k 时,得a n a m =a k 2 注:a 1a n =a 2a n -1=a 3a n -2
a k (4)数列{a n },{b n }为等比数列,则数列{},{k a n },{a n k },{k a n b n },{n (k 为非零b n a n
常数)均为等比数列。
(5)数列{a n }为等比数列,每隔k (k ∈N *) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ) 仍为等比数列
(6)如果{a n }是各项均为正数的等比数列,则数列{loga a n }是等差数列
(7)若{a n }为等比数列,则数列S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n , ,成等比数列
(8)若{a n }为等比数列,则数列a 1a 2a n ,a n +1a n +2a 2n ,a 2n +1a 2n +2a 3n 成等比数列
a 1>0,则{a n }为递增数列{(9)1当q >1时,a 1
a 1>0,则{a n }为递减数列{2当0
3当q =1时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列);
4当q
(10)在等比数列{a n }中,当项数为2n (n ∈N *) 时,S 奇1= S 偶q
二、 考点分析
考点一:等比数列定义的应用
141、数列{a n }满足a n =-a n -1(n ≥2),a 1=,则a 4=_________. 33
2、在数列{a n }中,若a 1=1,a n +1=2a n +1(n ≥1),则该数列的.通项a n =______________. 考点二:等比中项的应用
1、已知等差数列{a n }的公差为2,若a 1,a 3,a 4成等比数列,则a 2=( )
A .-4 、若a 、b 、c 成等比数列,则函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交点的个数为( )
A .0 B .1 D .不确定
203、已知数列{a n }为等比数列,a 3=2,a 2+a 4=,求{a n }的通项公式. 3
考点三:等比数列及其前n 项和的基本运算
2911、若公比为的等比数列的首项为,末项为,则这个数列的项数是( ) 383
A .3 、已知等比数列{a n }中,a 3=3,a 10=384,则该数列的通项a n =、若{a n }为等比数列,且2a 4=a 6-a 5,则公比q =、设a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列,其公比为2,则
A .2a 1+a 2的值为( ) 2a 3+a 4111 B . C. 428
1.等比数列的有关概念
(1)定义:
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为an+1/an=q(n∈N_,q为非零常数).
(2)等比中项:
如果a、G、b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的等比中项a,G,b成等比数列G2=等比数列的有关公式
(1)通项公式:an=等比数列{an}的常用性质
(1)在等比数列{an}中,若m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N_),则am?an=ap?aq=特别地,a1an=a2an-1=a3an-2=在公比为q的等比数列{an}中,数列am,am+k,am+2k,am+3k,仍是等比数列,公比为qk;数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,仍是等比数列(此时q≠-1);an=等比数列的特征
(1)从等比数列的定义看,等比数列的任意项都是非零的,公比q也是非零常数.
(2)由an+1=qan,q≠0并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠等比数列的前n项和Sn
(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的,注意这种思想方法在数列求和中的运用.
(2)在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.
1.等比中项
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项。
有关系:
注:两个非零同号的实数的等比中项有两个,它们互为相反数,所以G2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。
2.等比数列通项公式
an=a1_q’(n-1)(其中首项是a1,公比是q)
an=Sn-S(n-1)(n≥2)
前n项和
当q≠1时,等比数列的前n项和的公式为
Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1_q’n)/(1-q)(q≠1)
当q=1时,等比数列的前n项和的公式为
Sn=na1
3.等比数列前n项和与通项的关系
an=a1=s1(n=1)
an=sn-s(n-1)(n≥2)
4.等比数列性质
(1)若m、n、p、q∈N_,且m+n=p+q,则am?an=ap?aq;
(2)在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列。
(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出:a1?an=a2?an-1=a3?an-2=?an-k+1,k∈{1,2,}
(4)等比中项:q、r、p成等比数列,则aq?ap=ar2,ar则为ap,aq等比中项。
记πn=a1?则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1
另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底指数幂后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列。在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
(5)等比数列前n项之和Sn=a1(1-q’n)/(1-q)
(6)任意两项am,an的关系为an=am?q’(n-m)
(7)在等比数列中,首项a1与公比q都不为零。
注意:上述公式中a’n表示a的n次方。
等比数列:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0)。
1:等比数列通项公式:an=a1_q^(n-1);推广式:an=am?q^(n-m);
2:等比数列求和公式:等比求和:Sn=a1+a2+a3+当q≠1时,Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)
2当q=1时,Sn=n×a1(q=1)记πn=a1?则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1
3:等比中项:aq?ap=ar^2,ar则为ap,aq等比中项。
4:性质:
1若m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am?an=ap_aq;
2在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列.
例题:设ak,al,am,an是等比数列中的第k、l、m、n项,若k+l=m+n,求证:ak_al=am_an
证明:设等比数列的首项为a1,公比为q,则ak=a1?q^(k-1),al=a1?q^(l-1),am=a1?q^(m-1),an=a1?q^(n-1)
所以:ak_al=a^2_q^(k+l-2),am_an=a^2_q(m+n-2),故:ak_al=am_an
说明:这个例题是等比数列的一个重要性质,它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积,即:a(1+k)?a(n-k)=a1?an
对于等差数列,同样有:在等差数列中,距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。即:a(1+k)+a(n-k)=a1+an
高中数学课本中讲到，按一定次序排列的一列数称为数列。下面是我给大家带来的高二数学数列知识点总结，希望对你有帮助。
1、高二数学数列的定义
按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项。
(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列。
(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，…。
1.高三数学知识点归纳公式 篇一
等比数列
(1)等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性.
(2)两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列.
(3)“首大于1”的正值递减等比数列中，前项积的值是所有大于或等于1的项的积;“首小于1”的正值递增等比数列中，前项积的最小值是所有小于或等于1的项的积;
(4)有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定.若总项数为偶数，则“偶数项和”=“奇数项和”与“公比”的积;若总项数为奇数，则“奇数项和“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和.
数列
数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。
近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面：
（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。
等比数列知识点总结
等比数列是指从第二项起,每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列,下面是小编收集整理的等比数列知识点总结,请参考!
等比数列知识点总结 篇1
1、等比数列的定义:
2、通项公式:
a n =a 1q n -1=a 1n q =A B n (a 1q ≠0, A B ≠0),首项:a 1;公比:q
a n q =n a m a n =q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *),q 称为公比 a n -1推广:a n =a m q n -m q n -m =
3、等比中项:
(1)如果a , A , b 成等比数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项,即:A 2=
ab 或A =注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(
(2)数列{a n }是等比数列a n 2=a n -1a n +1
4、等比数列的前n 项和S n 公式:
(1)当q =1时,S n =na 1
(2)当q ≠1时,S n =
=a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q a 1a -1q n =A -A B n =A B n -A (A , B , A , B 为常数) 1-q 1-q
5、等比数列的判定方法:
(1)用定义:对任意的n ,都有a n +1=qa n 或a n +1=q (q 为常数,a n ≠0) {a n }为等比数列 a n
(2)等比中项:a n 2=a n +1a n -1(a n +1a n -1≠0) {a n }为等比数列
(3)通项公式:a n =A B n (A B ≠0){a n }为等比数列
6、等比数列的证明方法: a 依据定义:若n =q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)或a n +1=qa n {a n }为等比数列 a n -1
7、等比数列的性质:
(2)对任何m , n ∈N *,在等比数列{a n }中,有a n =a m q n -m 。
(3)若m +n =s +t (m , n , s , t ∈N *) ,则a n a m =a s a t 。特别的,当m +n =2k 时,得a n a m =a k 2 注:a 1a n =a 2a n -1=a 3a n -2
a k (4)数列{a n },{b n }为等比数列,则数列{},{k a n },{a n k },{k a n b n },{n (k 为非零b n a n
常数)均为等比数列。
(5)数列{a n }为等比数列,每隔k (k ∈N *) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ) 仍为等比数列
(6)如果{a n }是各项均为正数的等比数列,则数列{loga a n }是等差数列
(7)若{a n }为等比数列,则数列S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n , ,成等比数列
(8)若{a n }为等比数列,则数列a 1a 2a n ,a n +1a n +2a 2n ,a 2n +1a 2n +2a 3n 成等比数列
a 1>0,则{a n }为递增数列{(9)1当q >1时,a 1
a 1>0,则{a n }为递减数列{2当0
3当q =1时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列);
4当q
(10)在等比数列{a n }中,当项数为2n (n ∈N *) 时,S 奇1= S 偶q
二、 考点分析
考点一:等比数列定义的应用
141、数列{a n }满足a n =-a n -1(n ≥2),a 1=,则a 4=_________. 33
2、在数列{a n }中,若a 1=1,a n +1=2a n +1(n ≥1),则该数列的.通项a n =______________. 考点二:等比中项的应用
1、已知等差数列{a n }的公差为2,若a 1,a 3,a 4成等比数列,则a 2=( )
A .-4 、若a 、b 、c 成等比数列,则函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交点的个数为( )
A .0 B .1 D .不确定
203、已知数列{a n }为等比数列,a 3=2,a 2+a 4=,求{a n }的通项公式. 3
考点三:等比数列及其前n 项和的基本运算
2911、若公比为的等比数列的首项为,末项为,则这个数列的项数是( ) 383
A .3 、已知等比数列{a n }中,a 3=3,a 10=384,则该数列的通项a n =、若{a n }为等比数列,且2a 4=a 6-a 5,则公比q =、设a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列,其公比为2,则
A .2a 1+a 2的值为( ) 2a 3+a 4111 B . C. 428
1.等比数列的有关概念
(1)定义:
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为an+1/an=q(n∈N_,q为非零常数).
(2)等比中项:
如果a、G、b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的等比中项a,G,b成等比数列G2=等比数列的有关公式
(1)通项公式:an=等比数列{an}的常用性质
(1)在等比数列{an}中,若m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N_),则am?an=ap?aq=特别地,a1an=a2an-1=a3an-2=在公比为q的等比数列{an}中,数列am,am+k,am+2k,am+3k,仍是等比数列,公比为qk;数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,仍是等比数列(此时q≠-1);an=等比数列的特征
(1)从等比数列的定义看,等比数列的任意项都是非零的,公比q也是非零常数.
(2)由an+1=qan,q≠0并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠等比数列的前n项和Sn
(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的,注意这种思想方法在数列求和中的运用.
(2)在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.
1.等比中项
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项。
有关系:
注:两个非零同号的实数的等比中项有两个,它们互为相反数,所以G2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。
2.等比数列通项公式
an=a1_q’(n-1)(其中首项是a1,公比是q)
an=Sn-S(n-1)(n≥2)
前n项和
当q≠1时,等比数列的前n项和的公式为
Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1_q’n)/(1-q)(q≠1)
当q=1时,等比数列的前n项和的公式为
Sn=na1
3.等比数列前n项和与通项的关系
an=a1=s1(n=1)
an=sn-s(n-1)(n≥2)
4.等比数列性质
(1)若m、n、p、q∈N_,且m+n=p+q,则am?an=ap?aq;
(2)在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列。
(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出:a1?an=a2?an-1=a3?an-2=?an-k+1,k∈{1,2,}
(4)等比中项:q、r、p成等比数列,则aq?ap=ar2,ar则为ap,aq等比中项。
记πn=a1?则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1
另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底指数幂后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列。在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
(5)等比数列前n项之和Sn=a1(1-q’n)/(1-q)
(6)任意两项am,an的关系为an=am?q’(n-m)
(7)在等比数列中,首项a1与公比q都不为零。
注意:上述公式中a’n表示a的n次方。
等比数列:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0)。
1:等比数列通项公式:an=a1_q^(n-1);推广式:an=am?q^(n-m);
2:等比数列求和公式:等比求和:Sn=a1+a2+a3+当q≠1时,Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)
2当q=1时,Sn=n×a1(q=1)记πn=a1?则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1
3:等比中项:aq?ap=ar^2,ar则为ap,aq等比中项。
4:性质:
1若m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am?an=ap_aq;
2在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列.
例题:设ak,al,am,an是等比数列中的第k、l、m、n项,若k+l=m+n,求证:ak_al=am_an
证明:设等比数列的首项为a1,公比为q,则ak=a1?q^(k-1),al=a1?q^(l-1),am=a1?q^(m-1),an=a1?q^(n-1)
所以:ak_al=a^2_q^(k+l-2),am_an=a^2_q(m+n-2),故:ak_al=am_an
说明:这个例题是等比数列的一个重要性质,它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积,即:a(1+k)?a(n-k)=a1?an
对于等差数列,同样有:在等差数列中,距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。即:a(1+k)+a(n-k)=a1+an
高中数学课本中讲到，按一定次序排列的一列数称为数列。下面是我给大家带来的高二数学数列知识点总结，希望对你有帮助。
1、高二数学数列的定义
按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项。
(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列。
(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，…。
1.高三数学知识点归纳公式 篇一
等比数列
(1)等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性.
(2)两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列.
(3)“首大于1”的正值递减等比数列中，前项积的值是所有大于或等于1的项的积;“首小于1”的正值递增等比数列中，前项积的最小值是所有小于或等于1的项的积;
(4)有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定.若总项数为偶数，则“偶数项和”=“奇数项和”与“公比”的积;若总项数为奇数，则“奇数项和“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和.
数列
数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。
近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面：
（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。
