高一集合奥数题

我们考虑所有Ai的并集，设共有m个元素，记为b1，b2，…，bm。定义集合：B1，B2，…Bm，满足，若bj∈Ai，则Ai∈Bj。也就是我们构造了原集合的对偶集合。

这些B1，B2，…,Bm，不难发现有如下性质：

（1）任何两个之间至多只有一个公共元素。（2）每一个Bj没有包含所有的A1，A2，…,An。（3）每一个二元组（Ai，Aj）恰好在某一个Bk中。（4）每一个Ai恰属于30个不同的Bj。

下面我们证明任何一个Bj至多只有30个元素，用反证法，假设有一个B1包含了31个元素，不妨设这个集合为B1，这31个元素为A1，A2，…A31。由性质（3），这31个元素中的任意两个不能同时出现在另一个Bi中了。由性质（2），我们可以找到一个不同于这31个元素的一个As，由性质（3），这个As必须与A1，A2，…A31一起搭配过，也就是说二元组（As，Al）（l=1,2，…，31）必须同属于互异的31个集合：Bi1，Bi2，…，Bi31。这样As就在31个Bi中出现了，与性质（4）矛盾。

下面来估计。

对二元组（Ai，Aj）计算，一方面，它的数目为n*（n-1）/2。另一个方面，考察每一个|Bi|，它们的和为30n，不难发现，当每一个|Bi|都是30的时候，所有Bi的二元组数目之和最大（即在知道总和的情况下，求|Bi|的所有组合数的和最大）。于是我们有不等式

n*（n-1）/2<=30*29/2*n；

解得n<=871.最大n为871.

构造就不写了。根据等号成立条件就行了。 1\2n(n-1)≤30且 n为整数 ，所以n取8

高一关于集合的一道奥数题~~~求救

由于12345都在集合A内, 所以设的n>=5.

那么n+1若为奇数, n+1>=7. n+1=2k+1>=7, k>=3.

n+1=2k+1, k=n/2. 所以3<=k

同样, 如果n+1是偶数, 那么n+1=2k>=6. k>=3

k>1, n+1=2k>k+1, 所以3<=k

主要的问题是, 为什么3∈A.

如果A集合的数都满足=1, 或者=3m+2 (m>=0)

那么, 或者某数为1, 或者某数除以3模2.

1

则有, MOD(1+ab,3)=MOD(1+2*2,3)=MOD(5,3)=2

也就是说, 通过1+ab的运算得到的所有数都满足3m+2的形式.

A集合中没有数字3... 第一步：2∈A，证明略

第二步：另外一个x,使用条件三构造序列

当 mod(x,5) = 0时;

当 mod(x,5) = 1时,y=1+2x,mod(y,5)= 3,z=1+xy,mod(z,5) = 4,zz = 1+xz,mod(zz,5)=0;

当 mod(x,5) = 2时,y=1+2x,mod(y,5)= 0;

当 mod(x,5) = 3时,y=1+2x,mod(y,5)= 2,z=1+2y;mod(z,5) = 0;

当 mod(x,5) = 4时,y=1+2x,mod(y,5)= 4,z=1+xy;mod(z,5) = 2,zz=1+2z,mod(zz,5)=0;

综上必有a∈A且mod(a,5) = 0，再根据条件二，=>5∈A

第三步：

2∈A,5∈A => 11=(1+2*5)∈A => 56=(1+5*11)∈A => 7∈A => 15=(1+2*7)∈A => 3∈A

高中奥数竞赛题压轴题

这题我说几个关键的步骤，就不详细 的写过程了。

1/a+b=a+b+c/a+b=1+c/a+b 其它的也同样变形。

a+b+c=1 两边平方。 再利用平方平均数大于算数平均数，求出6（ab+bc+ca)大于等于2

又因为a,b.c都为正数，再利用正倒数性质 例如a+b/b+c + b+c/a+b大于等于2，同样写出其余的两个式子，把三个式子相加，得出2a/b+c +2b/a+c +2c/a+b大于等于3

最后就会得出结论。

有些符号不会打，只能写这样了，细心一点就会看明白的。 haha

高中奥数竞赛题型

1.甲.乙两个储油罐,甲比乙的储油量少,把1/4乙中的1/6输入甲,甲中储油量比乙多2吨.乙原有油多少吨?

2.工厂组织400-450人参加植树活动,平均每人植32棵.男职工平均每人植树48棵,女职工平均每人植树13棵.参加植树的男.女职工各有多少人?(用比例求人数)

3.甲.乙.丙三仓库存有救灾物资,甲有120件,乙是甲.丙两仓库之和,丙是甲.乙仓库的一半,救灾物资一共有多少件?

4.甲.乙.丙三组共装电视机500台.甲.乙两组装配台数的比是5:3,丙比乙少装39台.丙装了几台?(假设丙多装39台)

5.甲.乙两地相距243KM,一辆货车和客车同时从甲.乙两地出发,相向而行,经过1.5小时相遇.货车和客车的速度比是4:5,那么,客车行完全程要多少小时?(两种方法)

6.一个日用化工厂生产洗衣皂9800想,比生产的香皂多5/9.生产洗衣皂和香皂一共多少箱?(变分率巧解题)

够吗？ 1

容易得知,所有的数被加到的概率是相同的,都是1/n.

这些数的和是(n+1)n/2,则他们的平均数是(n+1)/2.

这就转化成了有多少个(n+1)/2相加的问题.

也就是说平均每个子集的和是(n+1)/2.

而集合｛1，2，……，n｝的一切子集个数为2^n,

那么就有2^n个(n+1)/2相加.

∴Sn=[(n+1)/2]×2^n=(n+1)×2^(n-1).

∴S2004=(2004+1)×2^(2004-1)=2005×2^2003.

由指数函数性质知,若0≤s

则s,t组合依次应当是0,1; 0,2; 1,2; 1,3; 2,3; 2,4; 3,4 ...

令p=2^{[1+(-1)^n]/2};则当n为奇数时,p=1;当n为偶数时,p=2.

容易看出,第n个组合的s=(n-p)/2;t=s+p.

由此可以看出,对于{A5},有s=(5-1)/2=2;t=2+1=3.则A5=2^2+2^3=12;

对于{A50},有s=(50-2)/2=24;t=24+2=26.则A50=2^24+2^26=2^24×(1+2^2)=5×2^24.

注:a^b 就是a的b次方

高中奥数竞赛题难吗

竞赛数学更难。

如果是大学的奥数竞赛题和研究生入学考试数学考试比，肯定是竞赛题。竞赛题除了知识点之外，更多是考验的解题技巧和思维性，而研究生考试更多是对知识的点的考察，难度和高数课本的习题相当或者略难，但是题量比较大，可能大家因为考试时间紧迫出现这样或那样的错误。

对大数人来说，当你掌握了高数课本的知识点，只要时间适当充足，研究生入学考试题目是可以解出来的，奥数竞赛题，极有可能是解不出来的。