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八年级上册数学分式方程类型有：
1、最简公分母，将分式方程化为整式方程。
2、按解整式方程的步骤（移项，合并同类项，系数化为1）求出未知数的值。
3、验根(求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根)。
注意事项
（1）注意去分母时，不要漏乘整式项。
（2）増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。
（3）増根使最简公分母等于0。
（4）分式方程中，如果x为分母，则x应不等于0。
在列分式方程解应用题时，不仅要检验所得解的是否满足方程式，还要检验是否符合题意。
一、复习
例 解方程：
(1)2x+xx+3=1; (2)15x=2×15 x+12;
(3)2(1x+1x+3)+x－2x+3=1.
解 (1)方程两边都乘以x(3+3),去分母，得
2(x+3)+x2=x2+3x,即2x－3x=－6
所以 x=6.
检验：当x=6时，x(x+3)=6(6+3)≠0，所以x=6是原分式方程的根.
(2)方程两边都乘以x(x+12)，约去分母，得
15(x+12)=30x.
解这个整式方程，得
x=12.
检验：当x=12时,x(x+12)=12(12+12)≠0,所以x=12是原分式方程的根.
(3)整理，得
2x+2x+3+x－2x+3=1,即2x+2+x－2 x+3=1,
即 2x+xx+3=1.
方程两边都乘以x(x+3)，去分母，得
2(x+3)+x2=x(x+3),
即 2x+6+x2=x2+3x,
亦即 2x－3x=－6.
解这个整式方程，得 x=6.
检验：当x=6时，x(x+3)=6(6+3)≠0，所以x=6是原分式方程的根.
二、新课
例1 一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍进行速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间?
请同学根据题意，找出题目中的等量关系.
答：骑车行进路程=队伍行进路程=15(千米)；
骑车的速度=步行速度的2倍；
骑车所用的时间=步行的时间－0.5小时.
请同学依据上述等量关系列出方程.
答案：
方法1 设这名学生骑车追上队伍需x小时，依题意列方程为
15x=2×15 x+12.
方法2 设步行速度为x千米／时，骑车速度为2x千米／时，依题意列方程为
15x－15 2x=12.
解 由方法1所列出的方程，已在复习中解出，下面解由方法2所列出的方程.
方程两边都乘以2x，去分母，得
30－15=x，
所以 x=15.
检验：当x=15时，2x=2×15≠0，所以x=15是原分式方程的根，并且符合题意.
所以骑车追上队伍所用的时间为15千米 30千米／时=12小时.
答：骑车追上队伍所用的时间为30分钟.
指出：在例1中我们运用了两个关系式，即时间=距离速度，速度=距离 时间.
如果设速度为未知量，那么按时间找等量关系列方程；如果设时间为未知量，那么按
速度找等量关系列方程，所列出的方程都是分式方程.
例2 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成.现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天?
分析；这是一个工程问题，在工程问题中有三个量，工作量设为s，工作所用时间设为t，工作效率设为m，三个量之间的关系是
s=mt,或t=sm，或m=st.
请同学根据题中的等量关系列出方程.
答案：
方法1 工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为x天，那么乙单独完成工程所需的天数就是(x+3)天，设工程总量为1，甲的工作效率就是x1，乙的工作效率是1x+3.依题意，列方程为
2(1x+1x3)+x2－xx+3=1.
指出：工作效率的意义是单位时间完成的工作量.
方法2 设规定日期为x天，乙与甲合作两天后，剩下的工程由乙单独做，恰好在规定日期完成，因此乙的工作时间就是x天，根据题意列方程
2x+xx+3=1.
方法3 根据等量关系，总工作量—甲的工作量=乙的工作量，设规定日期为x天，则可列方程
1－2x=2x+3+x－2x+3.
用方法1～方法3所列出的方程，我们已在新课之前解出，这里就不再解分式方程了.重点是找等量关系列方程.
三、课堂练习
1.甲加工180个零件所用的时间，乙可以加工240个零件，已知甲每小时比乙少加工5个零件，求两人每小时各加工的零件个数.
2.A，B两地相距135千米，有大，小两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知大、小汽车速度的比为2：5，求两辆汽车的速度.
答案：
1.甲每小时加工15个零件，乙每小时加工20个零件.
2.大，小汽车的速度分别为18千米／时和45千米／时.
四、小结
1.列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同，不同点是，解分式方程必须要验根.一方面要看原方程是否有增根，另一方面还要看解出的根是否符合题意.原方程的增根和不符合题意的根都应舍去.
2.列分式方程解应用题，一般是求什么量，就设所求的量为未知数，这种设未知数的方法，叫做设直接未知数.但有时可根据题目特点不直接设题目所求的量为未知量，而是设另外的量为未知量，这种设未知数的方法叫做设间接未知数.在列分式方程解应用题时，设间接未知数，有时可使解答变得简捷.例如在课堂练习中的第2题，若题目的条件不变，把问题改为求大、小两辆汽车从A地到达B地各用的时间，如果设直接未知数，即设，小汽车从A地到B地需用时间为x小时，则大汽车从A地到B地需(x+5－12)小时，依题意，列方程
135 x+5－12：135x=2：5.
解这个分式方程，运算较繁琐.如果设间接未知数，即设速度为未知数，先求出大、小两辆汽车的速度，再分别求出它们从A地到B地的时间，运算就简便多了.
五、作业
1.填空：
(1)一件工作甲单独做要m小时完成，乙单独做要n小时完成，如果两人合做，完成这件工作的时间是______小时；
(2)某食堂有米m公斤，原计划每天用粮a公斤，现在每天节约用粮b公斤，则可以比原计划多用天数是______;
(3)把a千克的盐溶在b千克的水中，那么在m千克这种盐水中的含盐量为______千克.
2.列方程解应用题.
(1)某工人师傅先后两次加工零件各1500个，当第二次加工时，他革新了工具，改进了操作方法，结果比第一次少用了18个小时.已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍，求他第二次加工时每小时加工多少零件?
(2)某人骑自行车比步行每小时多走8千米，如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等，求他步行40千米用多少小时?
(3)已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?
(4)A，B两地相距135千米，两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知两车的速度之比是5：2，求两辆汽车各自的速度.
答案：
1.(1)mn m+n; (2)m a－b－ma; (3)ma a+b.
2.(1)第二次加工时，每小时加工125个零件.
(2)步行40千米所用的时间为40 4=10(时).答步行40千米用了10小时.
(3)江水的流速为4千米／时.
课堂教学设计说明
1.教学设计中，对于例1，引导学生依据题意，找到三个等量关系，并用两种不同的方法列出方程；对于例2，引导学生依据题意，用三种不同的方法列出方程.这种安排，意在启发学生能善于从不同的角度、不同的方向思考问题，激励学生在解决问题中养成灵活的思维习惯.这就为在列分式方程解应用题教学中培养学生的发散思维提供了广阔的空间.
2.教学设计中体现了充分发挥例题的模式作用.例1是行程问题，其中距离是已知量，求速度(或时间)；例2是工程问题，其中工作总量为已知量，求完成工作量的时间(或工作效率).这些都是运用列分式方程求解的典型问题.教学中引导学生深入分析已知量与未知量和题目中的等量关系，以及列方程求解的思路，以促使学生加深对模式的主要特征的理解和识另?别，让学生弄清哪些类型的问题可借助于分式方程解答，求解的思路是什么.学生完成课堂练习和作业，则是识别问题类型，能把面对的问题和已掌握的模式在头脑中建立联系，探求解题思路.
3.通过列分式方程解应用题数学，渗透了方程的思想方法，从中使学生认识到方程的思想方法是数学中解决问题的一个锐利武器.方程的思想方法可以用“以假当真”和“弄假成真”两句话形容.如何通过设直接未知数或间接未知数的方法，假设所求的量为x，这时就把它作为一个实实在在的量.通过找等量关系列方程，此时是把已知量与假设的未知量平等看待，这就是“以假当真”.通过解方程求得问题的解，原先假设的未知量x就变成了确定的量，这就是“弄假成真”.
由题意可知，甲单独做需要9天，乙单独做需要12天
设乙先单独做x天，然后甲和乙合做（8-x）天，
可列方程
8/12+(8-x)/9=1,
解得
x=5,
8-5=3,
所以乙先单独做5天，然后甲和乙合做3天才能在规定日期内完成工程 设工程量为A，甲单独干需要x天完成，乙单独干需要y天完成，那么第一问的解答如下
（A/x +A/y）=A
（20A/x +40A/y）=A 解答可以知y=4x 进而x=30 y=120
第二问的思路与第一问思路一样
甲、乙、丙三个数字一次大1，若丙数的倒数的两倍与乙数的倒数之和与甲数的倒数的三倍相等，求甲、乙、丙
第一道：设甲=x，乙=（x+1），丙=（x+2）
2/(x+2)+1/(x+1)=3/x
2x²+x+x²+2x=x²+3x+2
x²=1
x=1或-1
∵乙的倒数=1/(x+1)
∴x≠-1
∴x=1
一个两位数的个位上的数为7，若把个位数字与十位数字对调，那么所得的两位数与原两位数的比值为8：3，求原两位数
第二道
设原两位数十位上数字为X
(10X+7)/(70+X)=3/8
3(70+X)=8(10X+7)
210+3X=80X+56
77X=154
X=2
所以原两位数为27
一艘轮船从A港口向B港口行驶，以在本航线航行时的常规速度走完全程的5分之3，此后航速减小了10海里每小时，并以此速度一直行驶到B港口。这样，本次航行减速后行驶所用的时间和未减速时行驶所用的时间相同。这艘轮船在本航线的常规速度是多少？
第三道艘轮船在本航线的常规速度是x
3/5÷x=(1-3/5)÷(x-10)
3(x-10)=2x
x=30
这艘轮船在本航线的常规速度是30海里每小时
甲乙两地相距125千米，从甲地到乙地，有人乘车，有人骑自行车，自行车比汽车早出发4小时，晚到1/2小时，已知骑车的速度与乘车的速度之比为2：5，求自行车与汽车的速度各式多少？
设自行才的速度为x千米/小时，则乘车速度为5x/2千米/小时
则乘车所所花时间为：125÷5x/2=50/x
则有方程：125/x-50/x=4.5（根据骑车和乘车的时间差）
解得x=50/3千米/小时
则汽车速度为：5/2*50/3=125/3千米/小时
某车队计划t天运送m吨货物，如果已经运送了其中的n吨，（n小于m）则运完剩下货物需要的天数t1=__,平均每天运出货物的吨数a=____
每天运货物量为：m/t
则运完剩下的货物需要天数为：（m-n）÷m/t=（m-n）*t/m
a=m/t
轮船顺水航行80km所需时间和逆水航行60km所需时间相同，已知水流的速度是3km/h，求轮船在静水中的速度
设轮船在静水中速度为x，
则顺水速度为：x+3
逆水速度为：x-3
则有：80/（x+3）=60/（x-3）
解方程得：x=21km/h
某点3月份购进一批T恤衫，进价合计是12万元。因畅销，商店又于4月份购进一批相同的T恤衫，进价合计是18.75万元，数量是3月份的1.5倍，但买件进价涨了5元，这两批T恤衫开始都以180元出售，到5月初，商店把剩下的100件打8折出售，很快售完，问商店供获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？？
设3月份每件进价为X元，则4月份每件进价为X+5元
所以（12*10000/X）*（3/2）*（X+5）=18.75*10000
得X=120元
且总进衣服 （12*10000/X）*5/2=2500件
总收入=2400*180+100*180*80%=446400元
所以毛利润=446400-120000-187500=138900元
/2x=2/x+3
x/x+1=2x/3x+3 +1
2/x-1=4/x^2-1
5/x^2+x - 1/x^-x=0
1/2x=2/x+3
对角相乘
4x=x+3
3x=3
x=1
分式方程要检验
经检验，x=1是方程的解
x/(x+1)=2x/(3x+3)+1
两边乘3(x+1)
3x=2x+(3x+3)
3x=5x+3
2x=-3
x=-3/2
分式方程要检验
经检验，x=-3/2是方程的解
2/x-1=4/x^2-1
两边乘(x+1)(x-1)
2(x+1)=4
2x+2=4
2x=2
x=1
分式方程要检验
经检验，x=1使分母为0，是增根，舍去
所以原方程无解
5/x^2+x - 1/x^2-x=0
两边乘x(x+1)(x-1)
5(x-1)-(x+1)=0
5x-5-x-1=0
4x=6
x=3/2
分式方程要检验
经检验，x=3/2是方程的解
1/2x=2/x+3
对角相乘
4x=x+3
3x=3
x=1
分式方程要检验
经检验，x=1是方程的解
x/(x+1)=2x/(3x+3)+1
两边乘3(x+1)
3x=2x+(3x+3)
3x=5x+3
2x=-3
x=-3/2
分式方程要检验
经检验，x=-3/2是方程的解
2/x-1=4/x^2-1
两边乘(x+1)(x-1)
2(x+1)=4
2x+2=4
2x=2
x=1
分式方程要检验
经检验，x=1使分母为0，是增根，舍去
所以原方程无解
5/x^2+x - 1/x^2-x=0
两边乘x(x+1)(x-1)
5(x-1)-(x+1)=0
5x-5-x-1=0
4x=6
x=3/2
分式方程要检验
经检验，x=3/2是方程的解
5x/(3x-4)=1/(4-3x)-2
乘3x-4
5x=-1-2(3x-4)=-1-6x+8
11x=7
x=7/11
分式方程要检验
经检验
x=7/11是方程的解
1/(x+2) + 1/(x+7) = 1/(x+3) + 1/(x+6)
通分
(x+7+x+2)/(x+2)(x+7)=(x+6+x+3)/(x+3)(x+6)
(2x+9)/(x^2-9x+14)-(2x+9)/(x^2+9x+18)=0
(2x+9)[1/(x^2-9x+14)-1/(x^2+9x+18)]=0
因为x^2-9x+14不等于x^2+9x+18
所以1/(x^2-9x+14)-1/(x^2+9x+18)不等于0
所以2x+9=0
x=-9/2
分式方程要检验
经检验
x=-9/2是方程的解
7/(x^2+x)+1/(x^2-x)=6/(x^2-1)
两边同乘x(x+1)(x-1)
7(x-1)+(x+1)=6x
8x-6=6x
2x=6
x=3
分式方程要检验
经检验，x=3是方程的解
化简求值。[X-1-（8/X+1）]/[X+3/X+1] 其中X=3-根号2
[X-1-（8/X+1）]/[(X+3)/(X+1)]
={[(X-1)(X+1)-8]/(X+1)}/[(X+3)/(X+1)]
=(X^2-9)/(X+3)
=(X+3)(X-3)/(X+3)
=X-3
=-根号2
8/(4x^2-1)+(2x+3)/(1-2x)=1
8/(4x^2-1)-(2x+3)/(2x-1)=1
8/(4x^2-1)-(2x+3)(2x+1)/(2x-1)(2x+1)=1
[8-(2x+3)(2x+1)]/(4x^2-1)=1
8-(4x^2+8x+3)=(4x^2-1)
8x^2+8x-6=0
4x^2+4x-3=0
(2x+3)(2x-1)=0
x1=-3/2
x2=1/2
代入检验，x=1/2使得分母1-2x和4x^2-1=0。舍去
所以原方程解:x=-3/2
(x+1)/(x+2)+(x+6)/(x+7)=(x+2)/(x+3)+(x+5)/(x+6)
1-1/(x+2)+1-1/(x+7)=1-1/(x+3)+1-1/(x+6)
-1/(x+2)-1/(x+7)=-1/(x+3)-1/(x+6)
1/(x+2)+1/(x+7)=1/(x+3)+1/(x+6)
1/(x+2)-1/(x+3)=1/(x+6)-1/(x+7)
(x+3-(x+2))/(x+2)(x+3)=(x+7-(x+6))/(x+6)(x+7)
1/(x+2)(x+3)=1/(x+6)(x+7)
(x+2)(x+3)=(x+6)(x+7)
x^2+5x+6=x^2+13x+42
8x=-36
x=-9/2
经检验，x=-9/2是方程的根。
(2-x)/(x-3)+1/(3-x)=1
(2-x)/(x-3)-1/(x-3)=1
(2-x-1)/(x-3)=1
1-x=x-3
x=2
分式方程要检验
经检验，x=2是方程的根 8年级数学下 第3章分式应用题 利用分式解决
1. 水果店进一箱橘子需要a元，已知橘子与箱子的总质量为mkg，箱子的质量为nkg，为了不亏本，这箱橘子的定价至少应为多少？
2. （1）有两块棉田，第一块x公顷，收棉花m千克，第二块y公顷，收棉花n千克，这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？
（2）一件商品售价x元，利润率为a%（a＞0），则这种商品每件的成本是多少元？
3．由甲地到乙地的一条铁路全程为s km，火车全程运行时间为a h；由甲地到乙地的公路全程为这条铁路全程的m倍，汽车全程运行时间为bh，那么火车的速度是汽车速度的多少倍？
4．某人用电脑录入汉字文稿的效率相当于手抄的3倍，设他手抄的速度为a字/时，那么他录入3000字文稿比手抄少用了多长时间？
5．某蓄水池装有进水管和排水管，若单独开放进水管，a h可将该水池注满；若单独开放排水管，2a h可将满池水排空。现在该蓄水池内有半池水，为了灌溉需要，同时开放进水管和排水管，那么需要多少时间可将这一蓄水池注满。
6．节日期间，几名大学生包租了一辆车准备从市区到郊外浏览，租金为300元。出发时，又增加了2名同学，总人数达到x名。开始包车的几名同学平均每人可比原来少分摊多少钱？
7．一项工程，甲单独做a h完成，乙单独做b h完成，甲、乙两人一起完成这项工程需要多少时间？
8．一个正多边形每个内角都是172°，求它的边数n满足的分工协作方程。
9．“退耕还林还草”是在我国西部地区实施的一项重要生态工程。某地规划退耕面积共69000公顷，退耕还林与退耕还草的面积比为5：3。高退耕还林的面积为x公顷，那么x满足怎样的分式方程？
10．某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有及时到位，只好先用人工装运，6h完成了一半任务；后来机械装运和人工装运同时进行，1h完成了后一半任务。如果设单独采用机械装运xh可以完成后一半任务，那么x满足怎样的方程？
11．某市为治理污水，需要铺设一段全长为3000 m的污水排放管道。为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划25%，结果提前30天完成这一任务。实际每天铺设多长管道？
12．某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂的合格率比乙厂高5%，求甲厂的合格率。
13．小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书。科普书的价格比较文学书高出一半，因此他们所买的科普书比所买的文学书少1本。这种科普书和这种文学书的价格各是多少？
14．甲种原料与乙种原料的单价比为2：3，将价值2000元的甲种原料与价值1000元的乙种原料混合后，单价为9元，求甲种原料的单价。
15．某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%。求这种服装的成本价。
16．某商店甲种糖果的单价为每千克20元，乙种糖果的单价为每千克16元。为了促销，现将10千克乙种糖果和一包甲种糖果混合后（搅匀）销售，如果将混合后的糖果单价定为每千克17。5元，那么混合销售与分开销售的销售额相同。这包甲种糖果有多少千克？
17． （1）如果某某商品降价x%后的售价为a元，那么该商品的原价为多少元？
（2）某人打靶，有m次每次打中a环，有n次每次打中b环，求此平均每次中靶的环数？
18．甲、乙两地相距360km，新修的高速公路开通后，在甲、乙两间行驶的长途客运车平均车速提高了50%，而从甲地到乙地的时间缩短了2 h。试确定原来的平均车速。
19．八年级11班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校120km。一部分学生乘慢车先行，出发1h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区。书籍快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度。
20．某车间加1200年零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10h。采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？
21．一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上（不包括300支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元。如果多购买60支，那么可以按批发价付款。同样需用120元。
（1）这个学校八年级学生总数在什么范围内？
（2）若按批发价购买6支与按零售价购买5支的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？
22．某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求。商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元。商厦销售这种衬衫进每件定价都是58元，最后剩下150件按八折销售，很快售完。在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？
23．某人沿一条河顺流游泳l m，然后逆流游回出发点，设此人在静水中的游泳速度为x m/s，水流速度为n m/s，求他来回一趟所需的时间t。
（1）小芳在一条水流速度是0.01m/s的河中游泳，她在静水中的游泳速度是0.39m/s，而出发点一河边一艘因定小艇的蹁是60m，求她从出发点到小艇来回一趟所需的时间。
（2）志勇是小芳的邻居，也喜欢在该河中游泳，他记得有一次在出发点与柳树间来回游一趟大约用了 2.5min，假设当时水流的速度是0.015m/s，而志勇在静水中的游泳速度是0.585m/s，那么出发点与柳树间的距离大约是多少？
24．某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为d%，请用p表示d。
25．甲、乙两位采购员同去一家饲料料公司购买两次饲料。两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料。设两次购买的饲料单价分别为m元/千克和n元/千克（m、n是正数，且m≠n），那么甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？哪一个较低？
答案
1.a/(m-n)
2. (m+n)/(x+y),x/(1+a%)
3.b/am
4.2000/a
5.a
6.600/x(x-2)
7.ab/(a+b)
8.172
9.5/3
10. 1/6 + 1/x =1
11.25
12.80%
13.7.5,5
14.8
15.120
16.6
17.a/(1-x%) (ma+nb)/(m+n)
18.60
19.40
20.40,60
21. (1)大于240,不大于300 (2)300
22.90260
23. 5.13 43.8 l=(x2-n2)t/2x
24. d=100p/(100+p)
25. 甲:苯 (m+n)/2 乙: 2mn/(m+n) 乙
八年级上册数学分式方程类型有：
1、最简公分母，将分式方程化为整式方程。
2、按解整式方程的步骤（移项，合并同类项，系数化为1）求出未知数的值。
3、验根(求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根)。
注意事项
（1）注意去分母时，不要漏乘整式项。
（2）増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。
（3）増根使最简公分母等于0。
（4）分式方程中，如果x为分母，则x应不等于0。
在列分式方程解应用题时，不仅要检验所得解的是否满足方程式，还要检验是否符合题意。
一、复习
例 解方程：
(1)2x+xx+3=1; (2)15x=2×15 x+12;
(3)2(1x+1x+3)+x－2x+3=1.
解 (1)方程两边都乘以x(3+3),去分母，得
2(x+3)+x2=x2+3x,即2x－3x=－6
所以 x=6.
检验：当x=6时，x(x+3)=6(6+3)≠0，所以x=6是原分式方程的根.
(2)方程两边都乘以x(x+12)，约去分母，得
15(x+12)=30x.
解这个整式方程，得
x=12.
检验：当x=12时,x(x+12)=12(12+12)≠0,所以x=12是原分式方程的根.
(3)整理，得
2x+2x+3+x－2x+3=1,即2x+2+x－2 x+3=1,
即 2x+xx+3=1.
方程两边都乘以x(x+3)，去分母，得
2(x+3)+x2=x(x+3),
即 2x+6+x2=x2+3x,
亦即 2x－3x=－6.
解这个整式方程，得 x=6.
检验：当x=6时，x(x+3)=6(6+3)≠0，所以x=6是原分式方程的根.
二、新课
例1 一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍进行速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间?
请同学根据题意，找出题目中的等量关系.
答：骑车行进路程=队伍行进路程=15(千米)；
骑车的速度=步行速度的2倍；
骑车所用的时间=步行的时间－0.5小时.
请同学依据上述等量关系列出方程.
答案：
方法1 设这名学生骑车追上队伍需x小时，依题意列方程为
15x=2×15 x+12.
方法2 设步行速度为x千米／时，骑车速度为2x千米／时，依题意列方程为
15x－15 2x=12.
解 由方法1所列出的方程，已在复习中解出，下面解由方法2所列出的方程.
方程两边都乘以2x，去分母，得
30－15=x，
所以 x=15.
检验：当x=15时，2x=2×15≠0，所以x=15是原分式方程的根，并且符合题意.
所以骑车追上队伍所用的时间为15千米 30千米／时=12小时.
答：骑车追上队伍所用的时间为30分钟.
指出：在例1中我们运用了两个关系式，即时间=距离速度，速度=距离 时间.
如果设速度为未知量，那么按时间找等量关系列方程；如果设时间为未知量，那么按
速度找等量关系列方程，所列出的方程都是分式方程.
例2 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成.现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天?
分析；这是一个工程问题，在工程问题中有三个量，工作量设为s，工作所用时间设为t，工作效率设为m，三个量之间的关系是
s=mt,或t=sm，或m=st.
请同学根据题中的等量关系列出方程.
答案：
方法1 工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为x天，那么乙单独完成工程所需的天数就是(x+3)天，设工程总量为1，甲的工作效率就是x1，乙的工作效率是1x+3.依题意，列方程为
2(1x+1x3)+x2－xx+3=1.
指出：工作效率的意义是单位时间完成的工作量.
方法2 设规定日期为x天，乙与甲合作两天后，剩下的工程由乙单独做，恰好在规定日期完成，因此乙的工作时间就是x天，根据题意列方程
2x+xx+3=1.
方法3 根据等量关系，总工作量—甲的工作量=乙的工作量，设规定日期为x天，则可列方程
1－2x=2x+3+x－2x+3.
用方法1～方法3所列出的方程，我们已在新课之前解出，这里就不再解分式方程了.重点是找等量关系列方程.
三、课堂练习
1.甲加工180个零件所用的时间，乙可以加工240个零件，已知甲每小时比乙少加工5个零件，求两人每小时各加工的零件个数.
2.A，B两地相距135千米，有大，小两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知大、小汽车速度的比为2：5，求两辆汽车的速度.
答案：
1.甲每小时加工15个零件，乙每小时加工20个零件.
2.大，小汽车的速度分别为18千米／时和45千米／时.
四、小结
1.列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同，不同点是，解分式方程必须要验根.一方面要看原方程是否有增根，另一方面还要看解出的根是否符合题意.原方程的增根和不符合题意的根都应舍去.
2.列分式方程解应用题，一般是求什么量，就设所求的量为未知数，这种设未知数的方法，叫做设直接未知数.但有时可根据题目特点不直接设题目所求的量为未知量，而是设另外的量为未知量，这种设未知数的方法叫做设间接未知数.在列分式方程解应用题时，设间接未知数，有时可使解答变得简捷.例如在课堂练习中的第2题，若题目的条件不变，把问题改为求大、小两辆汽车从A地到达B地各用的时间，如果设直接未知数，即设，小汽车从A地到B地需用时间为x小时，则大汽车从A地到B地需(x+5－12)小时，依题意，列方程
135 x+5－12：135x=2：5.
解这个分式方程，运算较繁琐.如果设间接未知数，即设速度为未知数，先求出大、小两辆汽车的速度，再分别求出它们从A地到B地的时间，运算就简便多了.
五、作业
1.填空：
(1)一件工作甲单独做要m小时完成，乙单独做要n小时完成，如果两人合做，完成这件工作的时间是______小时；
(2)某食堂有米m公斤，原计划每天用粮a公斤，现在每天节约用粮b公斤，则可以比原计划多用天数是______;
(3)把a千克的盐溶在b千克的水中，那么在m千克这种盐水中的含盐量为______千克.
2.列方程解应用题.
(1)某工人师傅先后两次加工零件各1500个，当第二次加工时，他革新了工具，改进了操作方法，结果比第一次少用了18个小时.已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍，求他第二次加工时每小时加工多少零件?
(2)某人骑自行车比步行每小时多走8千米，如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等，求他步行40千米用多少小时?
(3)已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?
(4)A，B两地相距135千米，两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知两车的速度之比是5：2，求两辆汽车各自的速度.
答案：
1.(1)mn m+n; (2)m a－b－ma; (3)ma a+b.
2.(1)第二次加工时，每小时加工125个零件.
(2)步行40千米所用的时间为40 4=10(时).答步行40千米用了10小时.
(3)江水的流速为4千米／时.
课堂教学设计说明
1.教学设计中，对于例1，引导学生依据题意，找到三个等量关系，并用两种不同的方法列出方程；对于例2，引导学生依据题意，用三种不同的方法列出方程.这种安排，意在启发学生能善于从不同的角度、不同的方向思考问题，激励学生在解决问题中养成灵活的思维习惯.这就为在列分式方程解应用题教学中培养学生的发散思维提供了广阔的空间.
2.教学设计中体现了充分发挥例题的模式作用.例1是行程问题，其中距离是已知量，求速度(或时间)；例2是工程问题，其中工作总量为已知量，求完成工作量的时间(或工作效率).这些都是运用列分式方程求解的典型问题.教学中引导学生深入分析已知量与未知量和题目中的等量关系，以及列方程求解的思路，以促使学生加深对模式的主要特征的理解和识另?别，让学生弄清哪些类型的问题可借助于分式方程解答，求解的思路是什么.学生完成课堂练习和作业，则是识别问题类型，能把面对的问题和已掌握的模式在头脑中建立联系，探求解题思路.
3.通过列分式方程解应用题数学，渗透了方程的思想方法，从中使学生认识到方程的思想方法是数学中解决问题的一个锐利武器.方程的思想方法可以用“以假当真”和“弄假成真”两句话形容.如何通过设直接未知数或间接未知数的方法，假设所求的量为x，这时就把它作为一个实实在在的量.通过找等量关系列方程，此时是把已知量与假设的未知量平等看待，这就是“以假当真”.通过解方程求得问题的解，原先假设的未知量x就变成了确定的量，这就是“弄假成真”.
由题意可知，甲单独做需要9天，乙单独做需要12天
设乙先单独做x天，然后甲和乙合做（8-x）天，
可列方程
8/12+(8-x)/9=1,
解得
x=5,
8-5=3,
所以乙先单独做5天，然后甲和乙合做3天才能在规定日期内完成工程 设工程量为A，甲单独干需要x天完成，乙单独干需要y天完成，那么第一问的解答如下
（A/x +A/y）=A
（20A/x +40A/y）=A 解答可以知y=4x 进而x=30 y=120
第二问的思路与第一问思路一样
甲、乙、丙三个数字一次大1，若丙数的倒数的两倍与乙数的倒数之和与甲数的倒数的三倍相等，求甲、乙、丙
第一道：设甲=x，乙=（x+1），丙=（x+2）
2/(x+2)+1/(x+1)=3/x
2x²+x+x²+2x=x²+3x+2
x²=1
x=1或-1
∵乙的倒数=1/(x+1)
∴x≠-1
∴x=1
一个两位数的个位上的数为7，若把个位数字与十位数字对调，那么所得的两位数与原两位数的比值为8：3，求原两位数
第二道
设原两位数十位上数字为X
(10X+7)/(70+X)=3/8
3(70+X)=8(10X+7)
210+3X=80X+56
77X=154
X=2
所以原两位数为27
一艘轮船从A港口向B港口行驶，以在本航线航行时的常规速度走完全程的5分之3，此后航速减小了10海里每小时，并以此速度一直行驶到B港口。这样，本次航行减速后行驶所用的时间和未减速时行驶所用的时间相同。这艘轮船在本航线的常规速度是多少？
第三道艘轮船在本航线的常规速度是x
3/5÷x=(1-3/5)÷(x-10)
3(x-10)=2x
x=30
这艘轮船在本航线的常规速度是30海里每小时
甲乙两地相距125千米，从甲地到乙地，有人乘车，有人骑自行车，自行车比汽车早出发4小时，晚到1/2小时，已知骑车的速度与乘车的速度之比为2：5，求自行车与汽车的速度各式多少？
设自行才的速度为x千米/小时，则乘车速度为5x/2千米/小时
则乘车所所花时间为：125÷5x/2=50/x
则有方程：125/x-50/x=4.5（根据骑车和乘车的时间差）
解得x=50/3千米/小时
则汽车速度为：5/2*50/3=125/3千米/小时
某车队计划t天运送m吨货物，如果已经运送了其中的n吨，（n小于m）则运完剩下货物需要的天数t1=__,平均每天运出货物的吨数a=____
每天运货物量为：m/t
则运完剩下的货物需要天数为：（m-n）÷m/t=（m-n）*t/m
a=m/t
轮船顺水航行80km所需时间和逆水航行60km所需时间相同，已知水流的速度是3km/h，求轮船在静水中的速度
设轮船在静水中速度为x，
则顺水速度为：x+3
逆水速度为：x-3
则有：80/（x+3）=60/（x-3）
解方程得：x=21km/h
某点3月份购进一批T恤衫，进价合计是12万元。因畅销，商店又于4月份购进一批相同的T恤衫，进价合计是18.75万元，数量是3月份的1.5倍，但买件进价涨了5元，这两批T恤衫开始都以180元出售，到5月初，商店把剩下的100件打8折出售，很快售完，问商店供获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？？
设3月份每件进价为X元，则4月份每件进价为X+5元
所以（12*10000/X）*（3/2）*（X+5）=18.75*10000
得X=120元
且总进衣服 （12*10000/X）*5/2=2500件
总收入=2400*180+100*180*80%=446400元
所以毛利润=446400-120000-187500=138900元
/2x=2/x+3
x/x+1=2x/3x+3 +1
2/x-1=4/x^2-1
5/x^2+x - 1/x^-x=0
1/2x=2/x+3
对角相乘
4x=x+3
3x=3
x=1
分式方程要检验
经检验，x=1是方程的解
x/(x+1)=2x/(3x+3)+1
两边乘3(x+1)
3x=2x+(3x+3)
3x=5x+3
2x=-3
x=-3/2
分式方程要检验
经检验，x=-3/2是方程的解
2/x-1=4/x^2-1
两边乘(x+1)(x-1)
2(x+1)=4
2x+2=4
2x=2
x=1
分式方程要检验
经检验，x=1使分母为0，是增根，舍去
所以原方程无解
5/x^2+x - 1/x^2-x=0
两边乘x(x+1)(x-1)
5(x-1)-(x+1)=0
5x-5-x-1=0
4x=6
x=3/2
分式方程要检验
经检验，x=3/2是方程的解
1/2x=2/x+3
对角相乘
4x=x+3
3x=3
x=1
分式方程要检验
经检验，x=1是方程的解
x/(x+1)=2x/(3x+3)+1
两边乘3(x+1)
3x=2x+(3x+3)
3x=5x+3
2x=-3
x=-3/2
分式方程要检验
经检验，x=-3/2是方程的解
2/x-1=4/x^2-1
两边乘(x+1)(x-1)
2(x+1)=4
2x+2=4
2x=2
x=1
分式方程要检验
经检验，x=1使分母为0，是增根，舍去
所以原方程无解
5/x^2+x - 1/x^2-x=0
两边乘x(x+1)(x-1)
5(x-1)-(x+1)=0
5x-5-x-1=0
4x=6
x=3/2
分式方程要检验
经检验，x=3/2是方程的解
5x/(3x-4)=1/(4-3x)-2
乘3x-4
5x=-1-2(3x-4)=-1-6x+8
11x=7
x=7/11
分式方程要检验
经检验
x=7/11是方程的解
1/(x+2) + 1/(x+7) = 1/(x+3) + 1/(x+6)
通分
(x+7+x+2)/(x+2)(x+7)=(x+6+x+3)/(x+3)(x+6)
(2x+9)/(x^2-9x+14)-(2x+9)/(x^2+9x+18)=0
(2x+9)[1/(x^2-9x+14)-1/(x^2+9x+18)]=0
因为x^2-9x+14不等于x^2+9x+18
所以1/(x^2-9x+14)-1/(x^2+9x+18)不等于0
所以2x+9=0
x=-9/2
分式方程要检验
经检验
x=-9/2是方程的解
7/(x^2+x)+1/(x^2-x)=6/(x^2-1)
两边同乘x(x+1)(x-1)
7(x-1)+(x+1)=6x
8x-6=6x
2x=6
x=3
分式方程要检验
经检验，x=3是方程的解
化简求值。[X-1-（8/X+1）]/[X+3/X+1] 其中X=3-根号2
[X-1-（8/X+1）]/[(X+3)/(X+1)]
={[(X-1)(X+1)-8]/(X+1)}/[(X+3)/(X+1)]
=(X^2-9)/(X+3)
=(X+3)(X-3)/(X+3)
=X-3
=-根号2
8/(4x^2-1)+(2x+3)/(1-2x)=1
8/(4x^2-1)-(2x+3)/(2x-1)=1
8/(4x^2-1)-(2x+3)(2x+1)/(2x-1)(2x+1)=1
[8-(2x+3)(2x+1)]/(4x^2-1)=1
8-(4x^2+8x+3)=(4x^2-1)
8x^2+8x-6=0
4x^2+4x-3=0
(2x+3)(2x-1)=0
x1=-3/2
x2=1/2
代入检验，x=1/2使得分母1-2x和4x^2-1=0。舍去
所以原方程解:x=-3/2
(x+1)/(x+2)+(x+6)/(x+7)=(x+2)/(x+3)+(x+5)/(x+6)
1-1/(x+2)+1-1/(x+7)=1-1/(x+3)+1-1/(x+6)
-1/(x+2)-1/(x+7)=-1/(x+3)-1/(x+6)
1/(x+2)+1/(x+7)=1/(x+3)+1/(x+6)
1/(x+2)-1/(x+3)=1/(x+6)-1/(x+7)
(x+3-(x+2))/(x+2)(x+3)=(x+7-(x+6))/(x+6)(x+7)
1/(x+2)(x+3)=1/(x+6)(x+7)
(x+2)(x+3)=(x+6)(x+7)
x^2+5x+6=x^2+13x+42
8x=-36
x=-9/2
经检验，x=-9/2是方程的根。
(2-x)/(x-3)+1/(3-x)=1
(2-x)/(x-3)-1/(x-3)=1
(2-x-1)/(x-3)=1
1-x=x-3
x=2
分式方程要检验
经检验，x=2是方程的根 8年级数学下 第3章分式应用题 利用分式解决
1. 水果店进一箱橘子需要a元，已知橘子与箱子的总质量为mkg，箱子的质量为nkg，为了不亏本，这箱橘子的定价至少应为多少？
2. （1）有两块棉田，第一块x公顷，收棉花m千克，第二块y公顷，收棉花n千克，这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？
（2）一件商品售价x元，利润率为a%（a＞0），则这种商品每件的成本是多少元？
3．由甲地到乙地的一条铁路全程为s km，火车全程运行时间为a h；由甲地到乙地的公路全程为这条铁路全程的m倍，汽车全程运行时间为bh，那么火车的速度是汽车速度的多少倍？
4．某人用电脑录入汉字文稿的效率相当于手抄的3倍，设他手抄的速度为a字/时，那么他录入3000字文稿比手抄少用了多长时间？
5．某蓄水池装有进水管和排水管，若单独开放进水管，a h可将该水池注满；若单独开放排水管，2a h可将满池水排空。现在该蓄水池内有半池水，为了灌溉需要，同时开放进水管和排水管，那么需要多少时间可将这一蓄水池注满。
6．节日期间，几名大学生包租了一辆车准备从市区到郊外浏览，租金为300元。出发时，又增加了2名同学，总人数达到x名。开始包车的几名同学平均每人可比原来少分摊多少钱？
7．一项工程，甲单独做a h完成，乙单独做b h完成，甲、乙两人一起完成这项工程需要多少时间？
8．一个正多边形每个内角都是172°，求它的边数n满足的分工协作方程。
9．“退耕还林还草”是在我国西部地区实施的一项重要生态工程。某地规划退耕面积共69000公顷，退耕还林与退耕还草的面积比为5：3。高退耕还林的面积为x公顷，那么x满足怎样的分式方程？
10．某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有及时到位，只好先用人工装运，6h完成了一半任务；后来机械装运和人工装运同时进行，1h完成了后一半任务。如果设单独采用机械装运xh可以完成后一半任务，那么x满足怎样的方程？
11．某市为治理污水，需要铺设一段全长为3000 m的污水排放管道。为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划25%，结果提前30天完成这一任务。实际每天铺设多长管道？
12．某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂的合格率比乙厂高5%，求甲厂的合格率。
13．小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书。科普书的价格比较文学书高出一半，因此他们所买的科普书比所买的文学书少1本。这种科普书和这种文学书的价格各是多少？
14．甲种原料与乙种原料的单价比为2：3，将价值2000元的甲种原料与价值1000元的乙种原料混合后，单价为9元，求甲种原料的单价。
15．某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%。求这种服装的成本价。
16．某商店甲种糖果的单价为每千克20元，乙种糖果的单价为每千克16元。为了促销，现将10千克乙种糖果和一包甲种糖果混合后（搅匀）销售，如果将混合后的糖果单价定为每千克17。5元，那么混合销售与分开销售的销售额相同。这包甲种糖果有多少千克？
17． （1）如果某某商品降价x%后的售价为a元，那么该商品的原价为多少元？
（2）某人打靶，有m次每次打中a环，有n次每次打中b环，求此平均每次中靶的环数？
18．甲、乙两地相距360km，新修的高速公路开通后，在甲、乙两间行驶的长途客运车平均车速提高了50%，而从甲地到乙地的时间缩短了2 h。试确定原来的平均车速。
19．八年级11班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校120km。一部分学生乘慢车先行，出发1h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区。书籍快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度。
20．某车间加1200年零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10h。采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？
21．一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上（不包括300支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元。如果多购买60支，那么可以按批发价付款。同样需用120元。
（1）这个学校八年级学生总数在什么范围内？
（2）若按批发价购买6支与按零售价购买5支的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？
22．某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求。商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元。商厦销售这种衬衫进每件定价都是58元，最后剩下150件按八折销售，很快售完。在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？
23．某人沿一条河顺流游泳l m，然后逆流游回出发点，设此人在静水中的游泳速度为x m/s，水流速度为n m/s，求他来回一趟所需的时间t。
（1）小芳在一条水流速度是0.01m/s的河中游泳，她在静水中的游泳速度是0.39m/s，而出发点一河边一艘因定小艇的蹁是60m，求她从出发点到小艇来回一趟所需的时间。
（2）志勇是小芳的邻居，也喜欢在该河中游泳，他记得有一次在出发点与柳树间来回游一趟大约用了 2.5min，假设当时水流的速度是0.015m/s，而志勇在静水中的游泳速度是0.585m/s，那么出发点与柳树间的距离大约是多少？
24．某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为d%，请用p表示d。
25．甲、乙两位采购员同去一家饲料料公司购买两次饲料。两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料。设两次购买的饲料单价分别为m元/千克和n元/千克（m、n是正数，且m≠n），那么甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？哪一个较低？
答案
1.a/(m-n)
2. (m+n)/(x+y),x/(1+a%)
3.b/am
4.2000/a
5.a
6.600/x(x-2)
7.ab/(a+b)
8.172
9.5/3
10. 1/6 + 1/x =1
11.25
12.80%
13.7.5,5
14.8
15.120
16.6
17.a/(1-x%) (ma+nb)/(m+n)
18.60
19.40
20.40,60
21. (1)大于240,不大于300 (2)300
22.90260
23. 5.13 43.8 l=(x2-n2)t/2x
24. d=100p/(100+p)
25. 甲:苯 (m+n)/2 乙: 2mn/(m+n) 乙
