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2020全国中考数学试卷
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智者的梦再美，也不如愚人实干做八年级数学试卷的脚印。以下是我为大家整理的八年级数学上册教材全解试题，希望你们喜欢。
八年级数学上册教材全解测试题
第三章 位置与坐标检测题
(本检测题满分：100分，时间：90分钟)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.(2016•湖北荆门中考)在平面直角坐标系中，若点A(a，﹣b)在第一象限内，则点B(a，b)所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.在如图所示的直角坐标系中，点M，N的坐标分别为( )
A. M(-1，2)，N(2，1) B.M(2，-1)，N(2，1)
C.M(-1，2)，N(1，2) D.M(2，-1)，N(1，2)
第2题图 第3题图
3.如图，长方形 的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点 (2，0)
同时出发，沿长方形 的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位长度/秒匀
速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位长度/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012
次相遇点的坐标是( )
A.(2，0) B.(-1，1) C.(-2，1) D.(-1，-1)
4.已知点 的坐标为 ，且点 到两坐标轴的距离相等，则点 的坐标
是( )
A.(3，3) B.(3，-3)
C.(6，-6) D.(3，3)或(6，-6)
5.(2016•福州中考)平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别是A(m，n)，B(2，﹣1)，C(﹣m，﹣n)，则点D的坐标是( )
A.(﹣2，1) B.(﹣2，﹣1) C.(﹣1，﹣2) D.(﹣1，2)
6.在直角坐标系中，一个图案上各个点的横坐标和纵坐标分别加正数 ，那么所得的图案与原图案相比( )
A.形状不变，大小扩大到原来的 倍
B.图案向右平移了 个单位长度
C.图案向上平移了 个单位长度
D.图案向右平移了 个单位长度，并且向上平移了 个单位长度
7.(2016•武汉中考)已知点A(a，1)与点A′(5，b)关于坐标原点对称，则实数a、b的值是( )
A.a=5，b=1 B.a=-5，b=1
C.a=5，b=-1 D.a=-5，b=-1
8.如图，若将直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的 ，则点 的对应点的坐标是( )
A.(-4，3) B.(4，3)
C.(-2，6) D.(-2，3)
9.如果点 在第二象限,那么点 │ │)在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
10.(湖南株洲中考)在平面直角坐标系中，孔明做走棋游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位……依次类推，第 步的走法是：当 能被3整除时，则向上走1个单位;当 被3除，余数是1时，则向右走1个单位，当 被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是( )
A.(66，34) B.(67，33) C.(100，33) D.(99，34)
二、填空题(每小题3分，共24分)
11.在平面直角坐标系中，点 (2， +1)一定在第 象限.
12点 和点 关于 轴对称，而点 与点C(2,3)关于 轴对称，那么 ， ， 点 和点 的位置关系是 .
13.一只蚂蚁由点(0，0)先向上爬4个单位长度，再向右爬3个单位长度，再向下爬2个单位长度后，它所在位置的坐标是 .
14.(2015•南京中考)在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2, 3),作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″,则点A″的坐标是(____,____).
15.(2016•杭州中考)在平面直角坐标系中，已知A(2，3),B(0,1)， C(3,1)，若线段AC与BD互相平分，则点D关于坐标原点的对称点的坐标为 .
16.如图，正方形 的边长为4，点 的坐标为(-1，1)， 平行于 轴，则点 的坐标为 _.
17.已知点 和 不重合.
(1)当点 关于 对称时,
(2)当点 关于原点对称时, = , = .
18.(2015•山东青岛中考)如图，将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别变为原来的 ，那么点A的对应点A'的坐标是_______.
第18题图
三、解答题(共46分)
19.(6分)如图所示，三角形ABC三个顶点A，B，C的坐标分别为A(1，2)，B(4，3)，C(3，1).把三角形A1B1C1向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，恰好得到三角形ABC，试写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标.
20.(6分)如图,在平面网格中每个小正方形的边长为1个单位长度，
(1)线段CD是线段AB经过怎样的平移后得到的?
(2)线段AC是线段BD经过怎样的平移后得到的?
21.(6分)在直角坐标系中，用线段顺次连接点A( ，0)，B(0，3)，C(3，3)，D(4，0).
(1)这是一个什么图形;
(2)求出它的面积;
(3)求出它的周长.
22.(6分)如图，点 用 表示，点 用 表示.
若用 → → → → 表示由 到 的一种走法，并规定从 到 只能向上或向右走(一步可走多格)，用上述表示法写出另两种走法，并判断这几种走法的路程是否相等.
23.(6分)(湖南湘潭中考)在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，
(1)B点关于y轴的对称点的坐标为 ;
(2)将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1;
(3)在(2)的条件下，点A1的坐标为 .
24.(8分)如图所示.
(1)写出三角形③的顶点坐标.
(2)通过平移由三角形③能得到三角形④吗?
(3)根据对称性由三角形③可得三角形①，②，它们的顶点坐标各是什么?
25.(8分)有一张图纸被损坏，但上面有如图所示的两个标志点A(-3，1)，B(-3，-3)可见，而主要建筑C(3，2)破损，请通过建立直角坐标系找到图中C点的
位置.
八年级数学上册教材全解试题参考答案
一、选择题
1.D 解析：根据各象限内点的坐标特征解答即可.
∵ 点A(a，﹣b)在第一象限内，
∴ a>0，﹣b>0，∴ b<0，
∴ 点B(a，b)所在的象限是第四象限.故选D.
2.A 解析：本题利用了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+，+);第二象限(-，+);第三象限(-，-);第四象限(+，-).
3.D 解析：长方形的边长为4和2，因为物体乙的速度是物体甲的速度的2倍，时间相同，
物体甲与物体乙的路程比为1︰2，由题意知：
①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12× =4，物体乙
行的路程为12× =8，在BC边相遇;
②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2，物体甲行的路程为12×2× =8，物
体乙行的路程为12×2× =16，在 边相遇;
③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3，物体甲行的路程为12×3× =12，
物体乙行的路程为12×3× =24，在 点相遇，此时甲、乙回到出发点，则每相遇三次，
两物体回到出发点.
因为2 012÷3=670……2，
故两个物体运动后的第2012次相遇点与第二次相遇点为同一点，即物体甲行的路程为
12×2× =8，物体乙行的路程为12×2× =16，在DE边相遇，此时相遇点的坐标为：
(-1，-1)，故选D.
4.D 解析：因为点 到两坐标轴的距离相等，所以 ，所以a=-1或a=
-4.当a=-1时，点P的坐标为(3,3);当a=-4时，点P的坐标为(6，-6).
5.A 解析：∵ A(m，n)，C(﹣m，﹣n)，∴ 点A和点C关于原点对称.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ 点D和B关于原点对称.
∵ B(2，﹣1)，∴ 点D的坐标是(﹣2，1).故选A.
6.D
7.D 解析：因为点A(a，1)与点A′(5，b)关于坐标原点对称，而点(a，b)关于坐标原点的对称点的坐标是(-a，-b)，所以a=-5，b=-1.故选D.
8.A 解析：点 变化前的坐标为(-4，6)，将横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 ，则点 的对应点的坐标是(-4，3),故选A.
9.A 解析:因为点 在第二象限,所以 所以 ︱ ︱>0,因此点 在第一象限.
10.C 解析：在1至100这100个数中：
(1)能被3整除的为33个，故向上走了33个单位;
(2)被3除，余数为1的数有34个，故向右走了34个单位;
(3)被3除，余数为2的数有33个，故向右走了66个单位，
故总共向右走了34+66=100(个)单位，向上走了33个单位.所以走完第100步时所处
位置的横坐标为100，纵坐标为33.故选C.
二、填空题
11.一 解析：因为 ≥0，1>0，所以纵坐标 +1>0.因为点 的横坐标2>0，所以点 一定在第一象限.
12. 关于原点对称 解析：因为点A(a,b)和点 关于 轴对称，所以点 的坐标为(a,-b);因为点 与点C(2,3)关于 轴对称，所以点 的坐标为(-2,3)，所以a=-2,b=-3，点 和点 关于原点对称.
13.(3，2) 解析：一只蚂蚁由点(0，0)先向上爬4个单位长度，坐标变为(0，4)，再向右爬3个单位长度，坐标变为(3，4)，再向下爬2个单位长度，坐标变为(3，2)，所以它所在位置的坐标为(3，2).
14. 3 解析：点A关于x轴的对称点A′的坐标是(2，3)，点A′关于y轴的对称点A″的坐标是( 2,3).
15.(-5，-3) 解析：如图所示，∵ A(2，3)，B(0，1)，C(3，1)，线段AC与BD互相平分，∴ D点坐标为：(5，3)，
∴ 点D关于坐标原点的对称点的坐标为(-5，-3).
第15题答图
16.(3,5) 解析：因为正方形 的边长为4，点 的坐标为(-1，1)，所以点 的横坐标为4-1=3，点 的纵坐标为4+1=5，所以点 的坐标为(3，5).
17.(1)x轴 (2)-2 1 解析:两点关于x轴对称时,横坐标相等,纵坐标互为相反数;两点关于原点对称时,横、纵坐标都互为相反数.
18.(2，3) 解析：点A的坐标是(6，3)，它的纵坐标保持不变，把横坐标变为原来的 ，得到它的对应点A'的坐标是 ，即A'(2，3).
三、解答题
19.解：设△A1B1C1的三个顶点的坐标分别为A1( ,将它的三个顶点分别向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，则此时三个顶点的坐标分别为( ,
由题意可得 =2， +4=4, -3=3, +4=3, -3=1,
所以A1(-3,5)，B1(0,6)， .
20. 解：(1)将线段 向右平移3个单位长度(向下平移4个单位长度)，再向下平移4个单位长度(向右平移3个单位长度)，得线段 .
(2)将线段 向左平移3个单位长度(向下平移1个单位长度)，再向下平移1个单位长度(向左平移3个单位长度)，得到线段 .
21. 解：(1)因为点B(0，3)和点C(3，3)的纵坐标相同，
点A 的纵坐标也相同，
所以BC∥AD.
因为 ，
所以四边形 是梯形.
作出图形如图所示.
(2)因为 ， ，高 ，
故梯形的面积是 .
(3)在Rt△ 中，根据勾股定理,得 ，
同理可得 ，
因而梯形的周长是 .
22.解：走法一： ;
走法二： .
答案不唯一.
路程相等.
23.分析：(1)根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等解答;
(2)根据网格结构找出点A，O，B向左平移后的对应点A1，O1，B1的位置，然后顺次连接即可;
(3)根据平面直角坐标系写出坐标即可.
解：(1)B点关于y轴的对称点的坐标为(-3，2);
(2)△A1O1B1如图所示;
(3)点A1的坐标为(-2，3).
第23题答图
24.分析：(1)根据坐标的确定方法，读出各点的横、纵坐标，即可得出各个顶点的坐标;(2)根据平移过程中点的坐标的变化规律：横坐标右移加，左移减;纵坐标上移加，下移减，可得三角形④不能由三角形③通过平移得到;
(3)根据对称性，即可得到三角形①，②顶点的坐标.
解：(1)(-1，-1)，(-4，-4)，(-3，-5).
(2)不能.
(3)三角形②的顶点坐标分别为(-1，1)，(-4，4)，(-3，5)
(三角形②与三角形③关于 轴对称);
三角形①的顶点坐标分别为(1，1)，(4，4)，(3，5)
(由三角形③与三角形①关于原点对称可得三角形①的顶点坐标).
25.分析：先根据点A(-3，1)，B(-3，-3)的坐标，确定出x轴和y轴，再根据C点的坐标(3，2)，即可确定C点的位置.
解：点C的位置如图所示.
一、名词、冠词
1.– What can I do for you?
-- I’d like two _______.
A. box of appleB. boxes of applesC. box of applesD. boxes of apple
答案: B. (选择其它三项的同学要注意仔细看题.不要马虎, 这里box 和apple都是可数名词)
2.Help yourself to _________.
A. some chickensB. a chickenC. some chickenD. any chicken
《09中考英语易错题77道 考前一定要看的》由出国留学我精心为您学习英语准备.liuxue86.com
（1）2ax-10ay+5by-bx分解因时得多少？(看置顶注明，谢谢）
答案： 分析 – 因式有4项4个变量，每个变量出现两次，很明显可以看到四项都是a或b 与 x或者y 的乘积，所以我们有两种方法来解答
<1> 把 x 和 y 当作未知， a和 b 当作常量， 合并 x和y
2ax-10ay+5by-bx = 2ax – bx – 10ay + 5by = (2a – b) * x – (2a – b) * 5y = (2a – b) * (x – 5y)
<2> 把 a和 b当作未知，x 和 y当作常量， 合并 a和 b
2ax-10ay+5by-bx = (2x – 10y) * a + (5y - x) * b = 2 (x – 5y) * a – (x – 5y) * b = (2a – b) * (x – 5y)
************************************************************************
（2）分解因式的问题，就如x^2+7x+10=(x+2)(X+5)我的老师称之为十字相乘法，那么我想知道一下C项（10）与B项（7）的关系，把10拆成2和5后，2+5=7，那么有时加，有时减，那么何时加何时减有没有规律的？哪个减哪个有规律吗？（看置顶注明，谢谢)
答案： 关于一元二次方程 ax^2 + bx +c = 0分解因式，分析如下：
<1> 首先要看有没有解，也就是看 b^2 – 4ac >= 0 是否成立,如果成立，继续，不成立则无法分解
<2> ax^2 + bx +c = 0 ==〉x^2 + (b/a)x +c/a = 0, 一般来说无论遇到什么情况都可以这样求解，也就是求出方程的两个解x1,2 = [ -b+- (b^2 – 4ac)^(1/2) ] / 2a = [-7 +- (7^2 – 4*1*10)^(1/2)] / 2 = [-7 +- 3]/2 = -2 或者-5
可以得出 x^2+7x+10 = (x – (-2)) * (x – (-5)) = (x + 2) * (x + 5)
========= 在根据你的疑问，我回答一下十字相乘法， 假设 x^2+7x+10=(x+a)(X+b) = x^2 + (a+b)x + ab
a+b = 7, ab = 10, 很显然 a b = 2或 5。 至于如何判断加减那很简单，主要是看两个因子乘积ab 是否大于0，有四种情况（看似复杂，练习多了就很简单了）
ab > 0 ，a+b>0 a>0, b>0
ab > 0 ，a+b<0 a<0, b<0
ab < 0 ，a+b>0 a>0, b<0, |a| > |b| 或者 a<0, b>0, |a| < |b|
ab < 0 ，a+b<0 a>0, b<0, |a| < |b| 或者 a<0, b>0, |a| > |b|
************************************************************************
（3）利用因式分解计算565^2*20-435^2*20
这题答案有了，2.6*10^6；但不知过程是怎么算出来的？一定有他的方法之处，不可能直接一个个算，那样可不科学。（看置顶注明，谢谢）
答案：首先我们都知道10的次方最好算，再可以看到 565 和 435 都是5的倍数， 20 = 2^2 * 5, 这样正好可以凑出来 5^2 * 2^2 = 10^2
565^2*20-435^2*20 = 113^2 * 5^2 * 2^2 * 5 - 87^2 * 5^2 * 2^2 * 5
= 5 * 10^2 * (113^2 - 87^2) = 5 * 10^2 * (113 + 87) *(113 - 87)
= 5 * 10^2 * 200 * 26 = 26 * 10^5 = 2.6 * 10^6
**************************************************************************
（4）47^6-47^5能被46整除吗？
这题目答案说能，但是我不懂用什么方法去做，不可能一个个算出来吧？我要的就是方法（看置顶注明，谢谢）
答案： 很简单 ， 因式分解阿
47^6-47^5 = 47 * 47^5 – 47^5 = (47 - 1) * 47^5 = 46 * 47^5 显然 能被46整除， 结果为 47^5
***************************************************************************
（5)【此大题按两小题计算】不改变分式值，把下列各式的分子与分母中各项系数都化为整数，并且使分子、分母中的最高次项系数是正数。
第一题(0.3-0.2m)/(0.15-0.4m)
答案是(4m-6)/(8m-3)【括号我加的】我计算得(6-4m)/(3-8m)刚好反转了，那样，答案会有影响吗？我的答案正确吗？为什么要像他那样做？谢谢！下面一题差不多：
答案：未知项m,所以m的系数要大于0, 系数都乘20，就变成了整数，其实可以用笨一点的办法，那就是乘100，都变成整数了，然后约分
(0.3-0.2m)/(0.15-0.4m) = (0.2m – 0.3) / (0.4m-0.15) = (20m - 30 ) / (40m - 15)
上下同时除一5
=(4m-6) / (8m -3)
第二提(1/2-0.2m)/(1/3m-1/4)
答案是(12m-30)/(20m-15)【括号我加的】我计算得(30-12m)/(20m-15)刚好反转了，那样，答案会有影响吗？我的答案正确吗？为什么要像他那样做？谢谢！
解答： 这个题目我看你可能把题目写错了，我猜测可能是 (0.2m – 1/2)/(1/3 m-1/4)
上下同乘 -60， (1/2-0.2m)/(1/4-1/3m) = （12m - 30）/ (20m - 15)
***********************************************************************************
(7)我想这题有难度一点点：已知y=(x^2/2-3x),x取哪些值时。
(1)y的值是正数；（2）y的值是负数；（3）y的值等于0；（4）分式无意义
解答：其实这还是一元二次方程求解的变化形式，把x当作变量/未知数， 那么方程变为
x^2/2 – 3x – y = 0 , x^2 – 6x – 2y = 0, 有解的情况下 需要满足 b^2 – 4ac = (-6)^2 – 4 * 1 * (-2y) = 36 + 8y >= 0 , 8y >= - 36 , y >= -36/8, y >= - 4.5 ， x = [-b+-( b^2 – 4ac)^(1/2)] / 2a = [6 +- (36+8y)^1/2] / 2 = [6 +- 2*(9+2y)^1/2]/2 = 3+- (9+2y)^1/2 --- 公式1
<1> 当y>0 的时候， x > 3+ 3 或者 x< 3 – 3 , x >6 或者 x<0
<2> y<0 时候， 也就是说 -4.5= < y < 0,
3+ 0 < 3+ (9+2y)^1/2 < 3+ 3 , 3<=x<6
3 – 0 > 3 -(9+2y)^1/2 > 3 – 3 , 3 >= x > 0
x 的范围为， 0 <4> 无解时候无意义，也就是 b^2 – 4ac = (-6)^2 – 4 * 1 * (-2y) = 36 + 8y < 0, y < - 4.5 ************************************************************************************************* （8）扩展训练： 观察1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)=1-1/4=3/4 ----- 式子1 计算1/[x(x+1)]+1/[(x+1)(x+2)]+1/[(x+2)(x+3)]+……+1/[(x+1998)(x+1999)] ----- 式子2 并求当x=1时，该代数式的值。 我要方法和规律和超级详细讲解让小学生都能明白！谢谢！ 解答： 还是分解因式 由 ----- 式子1可以看到 ， 1/(1*2) = 1 – 1/2， 1/(2*3) =1/2 - 1/3， 可以类推， 当分母是两个数a b的乘积且这两个数相差1(b-a=1)的时候，我们可以分解因式1/ (a*b)成 1/a – 1/b （1/a – 1/b = b/ab – a/ab = (b-a) / ab = 1/ab ） 还可以看到 结果等于 1/1 – 1除以最大的那个因子分之一 1/1 – 1/4= 3/4 那么我们式子2 就等于 [1/x – 1/(x+1)] + [1/(x+1) – 1/(x+2)] + ……. + [1/(x+1998) - 1/(x+1999)] = 1/x – 1/(x+1999) 当x = 1的时候， = 1/1 – 1/(1+1999) = 1- 1/2000 = 1999/2000 ************************************************************************************************ （9）把方程(0.3x+4)/(0.2)-(0.1x-3)/(0.5)=-9/5的分母化成整数为多少？答案和过程就足够了，我看答案左边乘了右边还是-9、5不知是不是答案错了。 解答：这个题目让人觉得有点莫名其妙，是每一项的分母还是别的？ (0.3x+4)/(0.2)-(0.1x-3)/(0.5)=-9/5 如果是每一项 ---〉(3x+40) / 2 – (x – 30)/5 = -9/5 （求解过程： (0.3x+4)/(0.2)-(0.1x-3)/(0.5)=-9/5 两边同时乘5 25*(0.3x-4) – 10(0.1x-3) = -9 7.5x-100 – x + 30 = -9 6.5x = 100 – 30 – 9 = 61 x = 610/65 = 122/13） ***************************************************************************************** （10）（这个知识点书本没写，但却要考，我不知道这知识点叫什么名字，最好给个网上教程关于这个知识点或给我名字，谢谢！）解方程组（注意，是方程组，用大括号包住那种）： (x+y)^2-4(x+y)-45=0 (x-y)^2-2(x-y)-3=0 解：后来不知道怎样计算出了这两条式子，要求讲解如何求出用什么定理和过程，谢谢。 不明的方程组（他们是方程组来的，就是用大括号包住他们那类）： (x+y-9)(x+y+5)=0 (x-y-3)(x-y+1)=0 然后更奇怪的把2条不明方程组化成四条神乎其技的方程组： 方程组（1）x+y-9=0 x-y-3=0 方程组（2）x+y+5=0 x-y+1=0 方程组（3）x+y+5=0 x-y-3=0 方程组（4）x+y-9=0 x-y+1=0 解答： 其实很简单， 你只要把x+y 或者x-y当成一个未知数就可以了，其实还是求解一元二次方程 假设x+y = m , x – y = n, 方程转化为 (x+y)^2-4(x+y)-45=0 ---〉m^2 – 4m -45 = 0 (x-y)^2-2(x-y)-3=0 - n^2 – 2n – 3 = 0 然后因式分解 m^2 – 4m -45 = 0 ， (m -9)* (m+ 5) = 0 ， m – 9 = 0或者 m + 5 = 0 n^2 – 2n – 3 = 0 , ( n – 3) * (n + 1 ) = 0 n – 3 = 0 或者n + 1 = 0 因为 x+y = m , x – y = n, 所以 x + y – 9 = 0 或者 x + y + 5 = 0 ---- 第一个方程解式 x – y – 3 = 0 或者x – y + 1 = 0 --- 第二个方程解式 所以两个方程的解可以由第一个方程解式的任一个 和第二个方程解式的任一个 组成二元一次方程求解，共可以组成4个方程组， x + y – 9 = 0， x – y – 3 = 0 ---〉 x = 6, y =3 x + y – 9 = 0 ， x – y + 1 = 0 ---〉 x = 4, y =5 x + y + 5 = 0 ，x – y – 3 = 0 ---〉 x = -1, y =-4 x + y + 5 = 0 ，x – y + 1 = 0 ---〉 x = -3, y =-2 题我不做了，给你找个相关的页子自己看吧，网上说还真不容易说清楚呢 分解因式 概念精要： 分解因式 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式。 公因式 一个多项式各项都含有的相同的因式，叫做这个多项式的公因式。 提公因式法 如果多项式的各项含有公因式，可以把这个公因式提到外面，将多项式写成因式相乘的形式。 运用公式法 把乘法公式反过来用，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。 分组分解法 利用分组来分解因式的办法叫分组分解法。 十字相乘法 将二次三项式ax^2+bx+c的二次项系数分解为a1和a2，常数项分解成c1、c2，并且把a1、a2、c1、c2排列如下 a1 c1 a2 c2 按交叉线相乘，再相加，如果他们的积的和等于一次项b，那么可以原式可分解为 （a1x+c1）（a2x+c2） 分解因式的方法: 没有捷径 因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式，它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等． ⑴提公因式法 ①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 ②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m（a+b+c） ③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b) ②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍. ③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2). 立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2). ④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3 ⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)] a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数) ⑶分组分解法 分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式. ⑷拆项、补项法 拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形. ⑸十字相乘法 ①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） ②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么 kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d） a \-----/b ac＝k bd＝n c /-----\d ad＋bc＝m ※ 多项式因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 (6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。 经典例题： 1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2 解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33 x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5 解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立 因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x^3 -2x^2 -x(2003淮安市中考题) x^3 -2x^2 -x=x(x^2 -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a^2 +4ab+4b^2 (2003南通市中考题) 解：a^2 +4ab+4b^2 =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m^2 +5n-mn-5m 解：m^2+5n-mn-5m= m^2-5m -mn+5n = (m^2 -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx^2 +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x^2 -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x^2 -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x^2 +3x-40 解x^2 +3x-40 =x^2+3x+2.25-42.25 =(x+1.5)^2-(6.5)^2 =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x^4 -x^3 -6x^2 -x+2 （解答错误太多，请大牛再分一遍吧） 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )……(x-xn ) 例8、分解因式2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6 解：令f(x)=2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0根为1/2 ，-3，-2，1 则2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图像法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图像，找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )……(x-xn ) 例9、因式分解x^3 +2x^2 -5x-6 解：令y= x^3 +2x^2 -5x-6 作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2 则x^3 +2x^2 -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例11、分解因式x^3 +9x^2 +23x+15 解：令x=2，则x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x^3 +9x^2 +23x+15可能=（x+1）（x+3）（x+5） ，验证后的确如此。 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4=(x^2 +ax+b)(x^2 +cx+d) = x^4 +(a+c)x^3 +(ac+b+d)x^2 +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4) 初学因式分解的“四个注意” 因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材《代数》第二册，在初二上学期讲授，但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。学习它，既可以复习初一的整式四则运算，又为本册下一章分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。其中四个注意，则必须引起师生的高度重视。 因式分解中的四个注意散见于教材第5页和第15页，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举数例，说明如下，供参考。 例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。 解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2） 这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误? 如例2 △abc的三边a、b、c有如下关系式：－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，求证这个三角形是等腰三角形。 分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 证明：∵－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，∴（a＋c）（a－c）＋2b（a－c）＝0，∴（a－c）（a＋2b＋c）＝0． 又∵a、b、c是△abc的三条边，∴a＋2b＋c＞0，∴a－c＝0， 即a＝c，△abc为等腰三角形。 例3把－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1） 这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如6p（x－1）3－8p2（x－1）2＋2p（1－x）2＝2p（x－1）2〔3（x－1）－4p〕＝2p（x－1）2（3x－4p－3）的错误。 例4 在实数范围内把x4－5x2－6分解因式。 解：x4－5x2－6＝（x2＋1）（x2－6）＝（x2＋1）（x＋6）（x－6） 这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。 由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。
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2020全国中考数学试卷
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智者的梦再美，也不如愚人实干做八年级数学试卷的脚印。以下是我为大家整理的八年级数学上册教材全解试题，希望你们喜欢。
八年级数学上册教材全解测试题
第三章 位置与坐标检测题
(本检测题满分：100分，时间：90分钟)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.(2016•湖北荆门中考)在平面直角坐标系中，若点A(a，﹣b)在第一象限内，则点B(a，b)所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.在如图所示的直角坐标系中，点M，N的坐标分别为( )
A. M(-1，2)，N(2，1) B.M(2，-1)，N(2，1)
C.M(-1，2)，N(1，2) D.M(2，-1)，N(1，2)
第2题图 第3题图
3.如图，长方形 的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点 (2，0)
同时出发，沿长方形 的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位长度/秒匀
速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位长度/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012
次相遇点的坐标是( )
A.(2，0) B.(-1，1) C.(-2，1) D.(-1，-1)
4.已知点 的坐标为 ，且点 到两坐标轴的距离相等，则点 的坐标
是( )
A.(3，3) B.(3，-3)
C.(6，-6) D.(3，3)或(6，-6)
5.(2016•福州中考)平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别是A(m，n)，B(2，﹣1)，C(﹣m，﹣n)，则点D的坐标是( )
A.(﹣2，1) B.(﹣2，﹣1) C.(﹣1，﹣2) D.(﹣1，2)
6.在直角坐标系中，一个图案上各个点的横坐标和纵坐标分别加正数 ，那么所得的图案与原图案相比( )
A.形状不变，大小扩大到原来的 倍
B.图案向右平移了 个单位长度
C.图案向上平移了 个单位长度
D.图案向右平移了 个单位长度，并且向上平移了 个单位长度
7.(2016•武汉中考)已知点A(a，1)与点A′(5，b)关于坐标原点对称，则实数a、b的值是( )
A.a=5，b=1 B.a=-5，b=1
C.a=5，b=-1 D.a=-5，b=-1
8.如图，若将直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的 ，则点 的对应点的坐标是( )
A.(-4，3) B.(4，3)
C.(-2，6) D.(-2，3)
9.如果点 在第二象限,那么点 │ │)在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
10.(湖南株洲中考)在平面直角坐标系中，孔明做走棋游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位……依次类推，第 步的走法是：当 能被3整除时，则向上走1个单位;当 被3除，余数是1时，则向右走1个单位，当 被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是( )
A.(66，34) B.(67，33) C.(100，33) D.(99，34)
二、填空题(每小题3分，共24分)
11.在平面直角坐标系中，点 (2， +1)一定在第 象限.
12点 和点 关于 轴对称，而点 与点C(2,3)关于 轴对称，那么 ， ， 点 和点 的位置关系是 .
13.一只蚂蚁由点(0，0)先向上爬4个单位长度，再向右爬3个单位长度，再向下爬2个单位长度后，它所在位置的坐标是 .
14.(2015•南京中考)在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2, 3),作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″,则点A″的坐标是(____,____).
15.(2016•杭州中考)在平面直角坐标系中，已知A(2，3),B(0,1)， C(3,1)，若线段AC与BD互相平分，则点D关于坐标原点的对称点的坐标为 .
16.如图，正方形 的边长为4，点 的坐标为(-1，1)， 平行于 轴，则点 的坐标为 _.
17.已知点 和 不重合.
(1)当点 关于 对称时,
(2)当点 关于原点对称时, = , = .
18.(2015•山东青岛中考)如图，将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别变为原来的 ，那么点A的对应点A'的坐标是_______.
第18题图
三、解答题(共46分)
19.(6分)如图所示，三角形ABC三个顶点A，B，C的坐标分别为A(1，2)，B(4，3)，C(3，1).把三角形A1B1C1向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，恰好得到三角形ABC，试写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标.
20.(6分)如图,在平面网格中每个小正方形的边长为1个单位长度，
(1)线段CD是线段AB经过怎样的平移后得到的?
(2)线段AC是线段BD经过怎样的平移后得到的?
21.(6分)在直角坐标系中，用线段顺次连接点A( ，0)，B(0，3)，C(3，3)，D(4，0).
(1)这是一个什么图形;
(2)求出它的面积;
(3)求出它的周长.
22.(6分)如图，点 用 表示，点 用 表示.
若用 → → → → 表示由 到 的一种走法，并规定从 到 只能向上或向右走(一步可走多格)，用上述表示法写出另两种走法，并判断这几种走法的路程是否相等.
23.(6分)(湖南湘潭中考)在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，
(1)B点关于y轴的对称点的坐标为 ;
(2)将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1;
(3)在(2)的条件下，点A1的坐标为 .
24.(8分)如图所示.
(1)写出三角形③的顶点坐标.
(2)通过平移由三角形③能得到三角形④吗?
(3)根据对称性由三角形③可得三角形①，②，它们的顶点坐标各是什么?
25.(8分)有一张图纸被损坏，但上面有如图所示的两个标志点A(-3，1)，B(-3，-3)可见，而主要建筑C(3，2)破损，请通过建立直角坐标系找到图中C点的
位置.
八年级数学上册教材全解试题参考答案
一、选择题
1.D 解析：根据各象限内点的坐标特征解答即可.
∵ 点A(a，﹣b)在第一象限内，
∴ a>0，﹣b>0，∴ b<0，
∴ 点B(a，b)所在的象限是第四象限.故选D.
2.A 解析：本题利用了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+，+);第二象限(-，+);第三象限(-，-);第四象限(+，-).
3.D 解析：长方形的边长为4和2，因为物体乙的速度是物体甲的速度的2倍，时间相同，
物体甲与物体乙的路程比为1︰2，由题意知：
①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12× =4，物体乙
行的路程为12× =8，在BC边相遇;
②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2，物体甲行的路程为12×2× =8，物
体乙行的路程为12×2× =16，在 边相遇;
③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3，物体甲行的路程为12×3× =12，
物体乙行的路程为12×3× =24，在 点相遇，此时甲、乙回到出发点，则每相遇三次，
两物体回到出发点.
因为2 012÷3=670……2，
故两个物体运动后的第2012次相遇点与第二次相遇点为同一点，即物体甲行的路程为
12×2× =8，物体乙行的路程为12×2× =16，在DE边相遇，此时相遇点的坐标为：
(-1，-1)，故选D.
4.D 解析：因为点 到两坐标轴的距离相等，所以 ，所以a=-1或a=
-4.当a=-1时，点P的坐标为(3,3);当a=-4时，点P的坐标为(6，-6).
5.A 解析：∵ A(m，n)，C(﹣m，﹣n)，∴ 点A和点C关于原点对称.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ 点D和B关于原点对称.
∵ B(2，﹣1)，∴ 点D的坐标是(﹣2，1).故选A.
6.D
7.D 解析：因为点A(a，1)与点A′(5，b)关于坐标原点对称，而点(a，b)关于坐标原点的对称点的坐标是(-a，-b)，所以a=-5，b=-1.故选D.
8.A 解析：点 变化前的坐标为(-4，6)，将横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 ，则点 的对应点的坐标是(-4，3),故选A.
9.A 解析:因为点 在第二象限,所以 所以 ︱ ︱>0,因此点 在第一象限.
10.C 解析：在1至100这100个数中：
(1)能被3整除的为33个，故向上走了33个单位;
(2)被3除，余数为1的数有34个，故向右走了34个单位;
(3)被3除，余数为2的数有33个，故向右走了66个单位，
故总共向右走了34+66=100(个)单位，向上走了33个单位.所以走完第100步时所处
位置的横坐标为100，纵坐标为33.故选C.
二、填空题
11.一 解析：因为 ≥0，1>0，所以纵坐标 +1>0.因为点 的横坐标2>0，所以点 一定在第一象限.
12. 关于原点对称 解析：因为点A(a,b)和点 关于 轴对称，所以点 的坐标为(a,-b);因为点 与点C(2,3)关于 轴对称，所以点 的坐标为(-2,3)，所以a=-2,b=-3，点 和点 关于原点对称.
13.(3，2) 解析：一只蚂蚁由点(0，0)先向上爬4个单位长度，坐标变为(0，4)，再向右爬3个单位长度，坐标变为(3，4)，再向下爬2个单位长度，坐标变为(3，2)，所以它所在位置的坐标为(3，2).
14. 3 解析：点A关于x轴的对称点A′的坐标是(2，3)，点A′关于y轴的对称点A″的坐标是( 2,3).
15.(-5，-3) 解析：如图所示，∵ A(2，3)，B(0，1)，C(3，1)，线段AC与BD互相平分，∴ D点坐标为：(5，3)，
∴ 点D关于坐标原点的对称点的坐标为(-5，-3).
第15题答图
16.(3,5) 解析：因为正方形 的边长为4，点 的坐标为(-1，1)，所以点 的横坐标为4-1=3，点 的纵坐标为4+1=5，所以点 的坐标为(3，5).
17.(1)x轴 (2)-2 1 解析:两点关于x轴对称时,横坐标相等,纵坐标互为相反数;两点关于原点对称时,横、纵坐标都互为相反数.
18.(2，3) 解析：点A的坐标是(6，3)，它的纵坐标保持不变，把横坐标变为原来的 ，得到它的对应点A'的坐标是 ，即A'(2，3).
三、解答题
19.解：设△A1B1C1的三个顶点的坐标分别为A1( ,将它的三个顶点分别向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，则此时三个顶点的坐标分别为( ,
由题意可得 =2， +4=4, -3=3, +4=3, -3=1,
所以A1(-3,5)，B1(0,6)， .
20. 解：(1)将线段 向右平移3个单位长度(向下平移4个单位长度)，再向下平移4个单位长度(向右平移3个单位长度)，得线段 .
(2)将线段 向左平移3个单位长度(向下平移1个单位长度)，再向下平移1个单位长度(向左平移3个单位长度)，得到线段 .
21. 解：(1)因为点B(0，3)和点C(3，3)的纵坐标相同，
点A 的纵坐标也相同，
所以BC∥AD.
因为 ，
所以四边形 是梯形.
作出图形如图所示.
(2)因为 ， ，高 ，
故梯形的面积是 .
(3)在Rt△ 中，根据勾股定理,得 ，
同理可得 ，
因而梯形的周长是 .
22.解：走法一： ;
走法二： .
答案不唯一.
路程相等.
23.分析：(1)根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等解答;
(2)根据网格结构找出点A，O，B向左平移后的对应点A1，O1，B1的位置，然后顺次连接即可;
(3)根据平面直角坐标系写出坐标即可.
解：(1)B点关于y轴的对称点的坐标为(-3，2);
(2)△A1O1B1如图所示;
(3)点A1的坐标为(-2，3).
第23题答图
24.分析：(1)根据坐标的确定方法，读出各点的横、纵坐标，即可得出各个顶点的坐标;(2)根据平移过程中点的坐标的变化规律：横坐标右移加，左移减;纵坐标上移加，下移减，可得三角形④不能由三角形③通过平移得到;
(3)根据对称性，即可得到三角形①，②顶点的坐标.
解：(1)(-1，-1)，(-4，-4)，(-3，-5).
(2)不能.
(3)三角形②的顶点坐标分别为(-1，1)，(-4，4)，(-3，5)
(三角形②与三角形③关于 轴对称);
三角形①的顶点坐标分别为(1，1)，(4，4)，(3，5)
(由三角形③与三角形①关于原点对称可得三角形①的顶点坐标).
25.分析：先根据点A(-3，1)，B(-3，-3)的坐标，确定出x轴和y轴，再根据C点的坐标(3，2)，即可确定C点的位置.
解：点C的位置如图所示.
一、名词、冠词
1.– What can I do for you?
-- I’d like two _______.
A. box of appleB. boxes of applesC. box of applesD. boxes of apple
答案: B. (选择其它三项的同学要注意仔细看题.不要马虎, 这里box 和apple都是可数名词)
2.Help yourself to _________.
A. some chickensB. a chickenC. some chickenD. any chicken
《09中考英语易错题77道 考前一定要看的》由出国留学我精心为您学习英语准备.liuxue86.com
（1）2ax-10ay+5by-bx分解因时得多少？(看置顶注明，谢谢）
答案： 分析 – 因式有4项4个变量，每个变量出现两次，很明显可以看到四项都是a或b 与 x或者y 的乘积，所以我们有两种方法来解答
<1> 把 x 和 y 当作未知， a和 b 当作常量， 合并 x和y
2ax-10ay+5by-bx = 2ax – bx – 10ay + 5by = (2a – b) * x – (2a – b) * 5y = (2a – b) * (x – 5y)
<2> 把 a和 b当作未知，x 和 y当作常量， 合并 a和 b
2ax-10ay+5by-bx = (2x – 10y) * a + (5y - x) * b = 2 (x – 5y) * a – (x – 5y) * b = (2a – b) * (x – 5y)
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（2）分解因式的问题，就如x^2+7x+10=(x+2)(X+5)我的老师称之为十字相乘法，那么我想知道一下C项（10）与B项（7）的关系，把10拆成2和5后，2+5=7，那么有时加，有时减，那么何时加何时减有没有规律的？哪个减哪个有规律吗？（看置顶注明，谢谢)
答案： 关于一元二次方程 ax^2 + bx +c = 0分解因式，分析如下：
<1> 首先要看有没有解，也就是看 b^2 – 4ac >= 0 是否成立,如果成立，继续，不成立则无法分解
<2> ax^2 + bx +c = 0 ==〉x^2 + (b/a)x +c/a = 0, 一般来说无论遇到什么情况都可以这样求解，也就是求出方程的两个解x1,2 = [ -b+- (b^2 – 4ac)^(1/2) ] / 2a = [-7 +- (7^2 – 4*1*10)^(1/2)] / 2 = [-7 +- 3]/2 = -2 或者-5
可以得出 x^2+7x+10 = (x – (-2)) * (x – (-5)) = (x + 2) * (x + 5)
========= 在根据你的疑问，我回答一下十字相乘法， 假设 x^2+7x+10=(x+a)(X+b) = x^2 + (a+b)x + ab
a+b = 7, ab = 10, 很显然 a b = 2或 5。 至于如何判断加减那很简单，主要是看两个因子乘积ab 是否大于0，有四种情况（看似复杂，练习多了就很简单了）
ab > 0 ，a+b>0 a>0, b>0
ab > 0 ，a+b<0 a<0, b<0
ab < 0 ，a+b>0 a>0, b<0, |a| > |b| 或者 a<0, b>0, |a| < |b|
ab < 0 ，a+b<0 a>0, b<0, |a| < |b| 或者 a<0, b>0, |a| > |b|
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（3）利用因式分解计算565^2*20-435^2*20
这题答案有了，2.6*10^6；但不知过程是怎么算出来的？一定有他的方法之处，不可能直接一个个算，那样可不科学。（看置顶注明，谢谢）
答案：首先我们都知道10的次方最好算，再可以看到 565 和 435 都是5的倍数， 20 = 2^2 * 5, 这样正好可以凑出来 5^2 * 2^2 = 10^2
565^2*20-435^2*20 = 113^2 * 5^2 * 2^2 * 5 - 87^2 * 5^2 * 2^2 * 5
= 5 * 10^2 * (113^2 - 87^2) = 5 * 10^2 * (113 + 87) *(113 - 87)
= 5 * 10^2 * 200 * 26 = 26 * 10^5 = 2.6 * 10^6
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（4）47^6-47^5能被46整除吗？
这题目答案说能，但是我不懂用什么方法去做，不可能一个个算出来吧？我要的就是方法（看置顶注明，谢谢）
答案： 很简单 ， 因式分解阿
47^6-47^5 = 47 * 47^5 – 47^5 = (47 - 1) * 47^5 = 46 * 47^5 显然 能被46整除， 结果为 47^5
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（5)【此大题按两小题计算】不改变分式值，把下列各式的分子与分母中各项系数都化为整数，并且使分子、分母中的最高次项系数是正数。
第一题(0.3-0.2m)/(0.15-0.4m)
答案是(4m-6)/(8m-3)【括号我加的】我计算得(6-4m)/(3-8m)刚好反转了，那样，答案会有影响吗？我的答案正确吗？为什么要像他那样做？谢谢！下面一题差不多：
答案：未知项m,所以m的系数要大于0, 系数都乘20，就变成了整数，其实可以用笨一点的办法，那就是乘100，都变成整数了，然后约分
(0.3-0.2m)/(0.15-0.4m) = (0.2m – 0.3) / (0.4m-0.15) = (20m - 30 ) / (40m - 15)
上下同时除一5
=(4m-6) / (8m -3)
第二提(1/2-0.2m)/(1/3m-1/4)
答案是(12m-30)/(20m-15)【括号我加的】我计算得(30-12m)/(20m-15)刚好反转了，那样，答案会有影响吗？我的答案正确吗？为什么要像他那样做？谢谢！
解答： 这个题目我看你可能把题目写错了，我猜测可能是 (0.2m – 1/2)/(1/3 m-1/4)
上下同乘 -60， (1/2-0.2m)/(1/4-1/3m) = （12m - 30）/ (20m - 15)
***********************************************************************************
(7)我想这题有难度一点点：已知y=(x^2/2-3x),x取哪些值时。
(1)y的值是正数；（2）y的值是负数；（3）y的值等于0；（4）分式无意义
解答：其实这还是一元二次方程求解的变化形式，把x当作变量/未知数， 那么方程变为
x^2/2 – 3x – y = 0 , x^2 – 6x – 2y = 0, 有解的情况下 需要满足 b^2 – 4ac = (-6)^2 – 4 * 1 * (-2y) = 36 + 8y >= 0 , 8y >= - 36 , y >= -36/8, y >= - 4.5 ， x = [-b+-( b^2 – 4ac)^(1/2)] / 2a = [6 +- (36+8y)^1/2] / 2 = [6 +- 2*(9+2y)^1/2]/2 = 3+- (9+2y)^1/2 --- 公式1
<1> 当y>0 的时候， x > 3+ 3 或者 x< 3 – 3 , x >6 或者 x<0
<2> y<0 时候， 也就是说 -4.5= < y < 0,
3+ 0 < 3+ (9+2y)^1/2 < 3+ 3 , 3<=x<6
3 – 0 > 3 -(9+2y)^1/2 > 3 – 3 , 3 >= x > 0
x 的范围为， 0 <4> 无解时候无意义，也就是 b^2 – 4ac = (-6)^2 – 4 * 1 * (-2y) = 36 + 8y < 0, y < - 4.5 ************************************************************************************************* （8）扩展训练： 观察1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)=1-1/4=3/4 ----- 式子1 计算1/[x(x+1)]+1/[(x+1)(x+2)]+1/[(x+2)(x+3)]+……+1/[(x+1998)(x+1999)] ----- 式子2 并求当x=1时，该代数式的值。 我要方法和规律和超级详细讲解让小学生都能明白！谢谢！ 解答： 还是分解因式 由 ----- 式子1可以看到 ， 1/(1*2) = 1 – 1/2， 1/(2*3) =1/2 - 1/3， 可以类推， 当分母是两个数a b的乘积且这两个数相差1(b-a=1)的时候，我们可以分解因式1/ (a*b)成 1/a – 1/b （1/a – 1/b = b/ab – a/ab = (b-a) / ab = 1/ab ） 还可以看到 结果等于 1/1 – 1除以最大的那个因子分之一 1/1 – 1/4= 3/4 那么我们式子2 就等于 [1/x – 1/(x+1)] + [1/(x+1) – 1/(x+2)] + ……. + [1/(x+1998) - 1/(x+1999)] = 1/x – 1/(x+1999) 当x = 1的时候， = 1/1 – 1/(1+1999) = 1- 1/2000 = 1999/2000 ************************************************************************************************ （9）把方程(0.3x+4)/(0.2)-(0.1x-3)/(0.5)=-9/5的分母化成整数为多少？答案和过程就足够了，我看答案左边乘了右边还是-9、5不知是不是答案错了。 解答：这个题目让人觉得有点莫名其妙，是每一项的分母还是别的？ (0.3x+4)/(0.2)-(0.1x-3)/(0.5)=-9/5 如果是每一项 ---〉(3x+40) / 2 – (x – 30)/5 = -9/5 （求解过程： (0.3x+4)/(0.2)-(0.1x-3)/(0.5)=-9/5 两边同时乘5 25*(0.3x-4) – 10(0.1x-3) = -9 7.5x-100 – x + 30 = -9 6.5x = 100 – 30 – 9 = 61 x = 610/65 = 122/13） ***************************************************************************************** （10）（这个知识点书本没写，但却要考，我不知道这知识点叫什么名字，最好给个网上教程关于这个知识点或给我名字，谢谢！）解方程组（注意，是方程组，用大括号包住那种）： (x+y)^2-4(x+y)-45=0 (x-y)^2-2(x-y)-3=0 解：后来不知道怎样计算出了这两条式子，要求讲解如何求出用什么定理和过程，谢谢。 不明的方程组（他们是方程组来的，就是用大括号包住他们那类）： (x+y-9)(x+y+5)=0 (x-y-3)(x-y+1)=0 然后更奇怪的把2条不明方程组化成四条神乎其技的方程组： 方程组（1）x+y-9=0 x-y-3=0 方程组（2）x+y+5=0 x-y+1=0 方程组（3）x+y+5=0 x-y-3=0 方程组（4）x+y-9=0 x-y+1=0 解答： 其实很简单， 你只要把x+y 或者x-y当成一个未知数就可以了，其实还是求解一元二次方程 假设x+y = m , x – y = n, 方程转化为 (x+y)^2-4(x+y)-45=0 ---〉m^2 – 4m -45 = 0 (x-y)^2-2(x-y)-3=0 - n^2 – 2n – 3 = 0 然后因式分解 m^2 – 4m -45 = 0 ， (m -9)* (m+ 5) = 0 ， m – 9 = 0或者 m + 5 = 0 n^2 – 2n – 3 = 0 , ( n – 3) * (n + 1 ) = 0 n – 3 = 0 或者n + 1 = 0 因为 x+y = m , x – y = n, 所以 x + y – 9 = 0 或者 x + y + 5 = 0 ---- 第一个方程解式 x – y – 3 = 0 或者x – y + 1 = 0 --- 第二个方程解式 所以两个方程的解可以由第一个方程解式的任一个 和第二个方程解式的任一个 组成二元一次方程求解，共可以组成4个方程组， x + y – 9 = 0， x – y – 3 = 0 ---〉 x = 6, y =3 x + y – 9 = 0 ， x – y + 1 = 0 ---〉 x = 4, y =5 x + y + 5 = 0 ，x – y – 3 = 0 ---〉 x = -1, y =-4 x + y + 5 = 0 ，x – y + 1 = 0 ---〉 x = -3, y =-2 题我不做了，给你找个相关的页子自己看吧，网上说还真不容易说清楚呢 分解因式 概念精要： 分解因式 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式。 公因式 一个多项式各项都含有的相同的因式，叫做这个多项式的公因式。 提公因式法 如果多项式的各项含有公因式，可以把这个公因式提到外面，将多项式写成因式相乘的形式。 运用公式法 把乘法公式反过来用，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。 分组分解法 利用分组来分解因式的办法叫分组分解法。 十字相乘法 将二次三项式ax^2+bx+c的二次项系数分解为a1和a2，常数项分解成c1、c2，并且把a1、a2、c1、c2排列如下 a1 c1 a2 c2 按交叉线相乘，再相加，如果他们的积的和等于一次项b，那么可以原式可分解为 （a1x+c1）（a2x+c2） 分解因式的方法: 没有捷径 因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式，它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等． ⑴提公因式法 ①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 ②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m（a+b+c） ③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b) ②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍. ③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2). 立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2). ④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3 ⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)] a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数) ⑶分组分解法 分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式. ⑷拆项、补项法 拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形. ⑸十字相乘法 ①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） ②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么 kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d） a \-----/b ac＝k bd＝n c /-----\d ad＋bc＝m ※ 多项式因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 (6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。 经典例题： 1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2 解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33 x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5 解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立 因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x^3 -2x^2 -x(2003淮安市中考题) x^3 -2x^2 -x=x(x^2 -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a^2 +4ab+4b^2 (2003南通市中考题) 解：a^2 +4ab+4b^2 =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m^2 +5n-mn-5m 解：m^2+5n-mn-5m= m^2-5m -mn+5n = (m^2 -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx^2 +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x^2 -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x^2 -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x^2 +3x-40 解x^2 +3x-40 =x^2+3x+2.25-42.25 =(x+1.5)^2-(6.5)^2 =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x^4 -x^3 -6x^2 -x+2 （解答错误太多，请大牛再分一遍吧） 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )……(x-xn ) 例8、分解因式2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6 解：令f(x)=2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0根为1/2 ，-3，-2，1 则2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图像法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图像，找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )……(x-xn ) 例9、因式分解x^3 +2x^2 -5x-6 解：令y= x^3 +2x^2 -5x-6 作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2 则x^3 +2x^2 -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例11、分解因式x^3 +9x^2 +23x+15 解：令x=2，则x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x^3 +9x^2 +23x+15可能=（x+1）（x+3）（x+5） ，验证后的确如此。 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4=(x^2 +ax+b)(x^2 +cx+d) = x^4 +(a+c)x^3 +(ac+b+d)x^2 +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4) 初学因式分解的“四个注意” 因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材《代数》第二册，在初二上学期讲授，但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。学习它，既可以复习初一的整式四则运算，又为本册下一章分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。其中四个注意，则必须引起师生的高度重视。 因式分解中的四个注意散见于教材第5页和第15页，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举数例，说明如下，供参考。 例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。 解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2） 这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误? 如例2 △abc的三边a、b、c有如下关系式：－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，求证这个三角形是等腰三角形。 分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 证明：∵－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，∴（a＋c）（a－c）＋2b（a－c）＝0，∴（a－c）（a＋2b＋c）＝0． 又∵a、b、c是△abc的三条边，∴a＋2b＋c＞0，∴a－c＝0， 即a＝c，△abc为等腰三角形。 例3把－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1） 这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如6p（x－1）3－8p2（x－1）2＋2p（1－x）2＝2p（x－1）2〔3（x－1）－4p〕＝2p（x－1）2（3x－4p－3）的错误。 例4 在实数范围内把x4－5x2－6分解因式。 解：x4－5x2－6＝（x2＋1）（x2－6）＝（x2＋1）（x＋6）（x－6） 这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。 由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。
