初二一次函数知识点总结

一次函数是初中数学的重要知识点，下面将为您详细介绍，仅供大家参考。

一次函数定义

一般地，形如（k，b是常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当b=0时，一次函数y=kx，又叫做正比例函数。

⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式。

⑵当b=0，k≠0时，y=kx仍是一次函数。

⑶当k=0，b≠0时，它不是一次函数。

怎样学好一次函数??

学好一次函数需掌握一定的学习方法，例如理解一次函数和其它知识的联系、掌握一次函数的解析式的特征、应用一次函数解决实际问题、数形结合等，下面是详解。

（一）、理解一次函数和其它知识的联系

一次函数和代数式以及方程有着密不可分的联系。如一次函数和正比例函数仍然是函数，同时，等号的两边又都是代数式。需要注意的是，与一般代数式有很大区别。首先，一次函数和正比例函数都只能存在两个变量，而代数式可以是多个变量；其次，一次函数中的变量指数只能是1，而代数式中变量指数还可以是1以外的数。另外，一次函数解析式也可以理解为二元一次方程。

（二）、掌握一次函数的解析式的特征　

一次函数解析式的结构特征：kx＋b是关于x的一次二项式，其中常数b可以是任意实数，一次项系数k必须是非零数，k≠0，因为当k = 0时，y = b(b是常数)，由于没有一次项，这样的函数不是一次函数；而当b = 0，k≠0，y = kx既是正比例函数，也是一次函数。

（三）、应用一次函数解决实际问题

1、分清哪些是已知量，哪些是未知量，尤其要弄清哪两种量是相关联的量，且其中一种量因另一种量的变化而变化；

2、找出具有相关联的两种量的等量关系之后，明确哪种量是另一种量的函数；

3、在实际问题中，一般存在着三种量，如距离、时间、速度等等，在这三种量中，当且仅当其中一种量时间(或速度)不变时，距离与速度(或时间)才成正比例，也就是说，距离(s)是时间(t)或速度( )的正比例函数；

4、求一次函数与正比例函数的关系式，一般采取待定系数法。

（四）数形结合 一次函数只是你学函数的开始，所以不必担心学不好。

学一次函数主要要掌握以下几点：

1.

一次函数（linear function），也作线性函数，在x,y坐标轴中可以用一条直线表示，当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值。

2.

【解释】函数的基本概念：在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，在y中都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

定义了函数的概念，接下来我们来介绍函数的一种特殊情况——一次函数。

表达式为y=kx+b（k≠0，k、b均为常数）的函数，叫做y是x的一次函数。当b=0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。当常数项为零时的一次函数，可表示为y=kx（k≠0），这时的常数k也叫比例系数。（也叫正比例函数）

y关于自变量x的一次函数有如下关系：

1.y=kx+b （k为任意不为0的常数，b为任意实数）

当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。如果有2个及以上个值与x对应时，就不是一次函数。

x为自变量，y为函数值，k为常数，y是x的一次函数。

特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx （k为常量，但k≠0）正比例函数图像经过原点。

定义域：自变量x的取值范围。自变量的取值一要使函数有意义；二要与实际相符合。

常用的表示方法：解析法、图像法、列表法。

3.函数性质　　1．当k>0时，y的变化值随x的变化值增大而增大，反之，y的变化值随x的变化值减小而减小，当k<0时，y的变化值随x的变化值增大而减小，反之，y的变化值随x的变化值减小而增大。

在y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中，当x增大m时，函数值y则增大 km，反之，当x减少m时，函数值y则减少 km。

2．当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0，b)。

3．当b=0时，一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。

4．在两个一次函数表达式中：

当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合；

当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行；

当两个一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像相交；

当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。

4.

图像性质　　1．作法：通过如下3个步骤：

（1）列表；取满足一次函数表达式的两个点的坐标。

（2）描点；一般取两个点，根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。

一般地，y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点即可画出。

正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0，0）和（1，k）两点画出即可。

（3）连线。一次函数的图象是一条直线，因此，作一次函数的图象只需知道两个点，并作出直线即可。（通常取函数图象与x轴、y轴的两交点（0，b）和（-b/k，0））。

2．性质：

（1）在一次函数图像上的任取一点P（x，y），则都满足等式：y=kx+b(k≠0)。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总交于（-b/k，0）。正比例函数的图像都经过原点。

3．k，b决定函数图像的位置：

y=kx时，y与x成正比例：

当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；

当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。

y=kx+b时：

当 k>0，b>0， 这时此函数的图象经过第一、二、三象限；

当 k>0，b<0，这时此函数的图象经过第一、三、四象限；

当 k<0，b>0，这时此函数的图象经过第一、二、四象限；

当 k<0，b<0，这时此函数的图象经过第二、三、四象限。

当b>0时，直线必通过第一、二象限；

当b<0时，直线必通过第三、四象限。

特别地，当b=0时，直线经过原点O（0，0）。

这时，当k>0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当k<0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。

4、特殊位置关系：

当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中k的值（即一次项系数）相等；

当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中k的值互为负倒数（即两个k值的乘积为-1）。

5、一次函数的解析式：

①点斜式：y-y1=k(x-x1)（k为直线斜率，(x1，y1)为该直线所过的一个点）；

②两点式：(y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（已知直线上（x1,y1）与（x2,y2）两点），

③截距式：x/a+y/b=1 （a、b分别为直线在x、y轴上的截距）。

解析式表达的局限性：

①所需条件较多（2个点，因为使用待定系数法需要列一个二元一次方程组）；

②、③不能表达没有斜率的直线（即垂直于x轴的直线；注意“没有斜率的直线平行于y轴”表述不准，因为x=0与y轴重合）；

④不能表达平行于坐标轴的直线和过原点的直线。

5.

一、一次函数与一元一次不等式的关系

从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；

从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。

二、用画函数图象的方法解不等式

对应一次函数y=kx+b，它与x轴交点为（-b/k，0）。

当k>0时，不等式kx+b>0的解为：x>- bk，不等式kx+b<0的解为：x<- bk；

当k0的解为：x<- bk，不等式kx+b- bk。

6.一次函数的应用　　一、分段函数问题

分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符

合实际。

二、函数的多变量问题

解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻

求可以反映实际问题的函数

三、概括整合

（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。

（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。

7.常用公式　　1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)

2.求与x轴平行线段的中点：(x1+x2)/2

3.求与y轴平行线段的中点：(y1+y2)/2

4.求任意线段的长：√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 ]

5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式

两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标

6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]

7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (若分母为0，则分子为0)

x y

+， +（正，正）在第一象限

- ，+ （负，正）在第二象限

- ，- （负，负）在第三象限

+ ，- （正，负）在第四象限

8.若两条直线y1=k1x+b1//y2=k2x+b2，则k1=k2，b1≠b2

9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，则k1×k2=-1

10.

y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位

y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位

口诀：右减左加（对于y=kx+b来说，只改变n）

y=kx+b+n就是向上平移n个单位

y=kx+b-n就是向下平移n个单位

口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）

11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)

生活中的应用

1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

数学问题

一、确定字母系数的取值范围

例1 已知正比例函数 ，则当k——0时，y随x的增大而减小。

解：根据正比例函数的定义和性质，得 k<0。

二、比较x值或y值的大小

例2. 已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（ ）

A. x1>x2 B. x1

解：根据题意，知k=3>0，且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。

故选A。

三、判断函数图象的位置

例3. 一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

解：由kb>0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k<0，从而b<0。

故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。故选A

一次函数的知识结构图

函数分为：

1.三角函数

2.一次函数（y=kx+b）(k.b不等于0）

3.正比例函数（y=kx）(k不等于0）（包括在一次函数里）

4.反比例函数（y=x分之k)(x不等于0)

5.二次函数

（1.y=ax^2+bx+c一般式

2.y=a(x-h)^2+k顶点式

3.y=a(X-x1)(X-x2)双根式） 看图

一次函数的知识梳理图解

一次函数的性质和图像的画法如下：

一、一次函数的性质

1、一次函数是指形如y=kx+b的函数，其中k为常数，b为任意实数。一次函数的性质有：一次函数的图像是一条直线；一次函数的图像经过原点；一次函数的图像斜率为k，截距为b；一次函数的图像在y轴上的截距为b，在x轴上的截距为-b/k。

2、递增性，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。例如，对于y=2x+4，当x增大时，y也增大；对于y=-3x+1，当x增大时，y减小。

3、经过的点，对于y=kx+b，它一定过两个定点，即（0，b）和（-b/k，0）。例如，对于y=2x+4，当x=0时，y=4，因此它过点（0，4）；当y=0时，x=-2，因此它也过点（-2，0）。

二、一次函数的图像的画法

1、一次函数的图像是一条直线，可以通过以下步骤进行绘制：首先，列出与函数相关的数据；然后，找出图像与x轴和y轴的交点，这两个点是确定一条直线所必需的；最后，通过这两个点画出一条直线。 一次函数的性质和图像是我们在数学中经常遇到的概念，其相关内容如下：

一、一次函数的性质如下

1、斜率性质：一次函数的斜率是由k值决定的。k值大于0，则函数图像呈上升趋势；k值小于0，则函数图像呈下降趋势。斜率的变化直接反映了函数图像的走势。

2、截距性质：b值决定了函数图像与y轴的交点。当b等于0时，函数图像经过原点；当b大于0时，函数图像与y轴交于正半轴；当b小于0时，函数图像与y轴交于负半轴。截距的变化影响了函数图像在y轴上的位置。

3、单调性：一次函数在定义域内是单调的。当k大于0时，函数在定义域内单调递增；当k小于0时，函数在定义域内单调递减。单调性反映了函数值随自变量变化的趋势。

一次函数的知识点整理

一次函数的应用知识点有以下这些：

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；