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高一数学典型题及解析目录
高一数学典型题及解析
一、集合与逻辑
1. 选择题：设全集 U = { x | -3 u003c x u003c 3}，A = { x | -1 u003c x u003c 2}，B = { x | 0 u003c x u003c 1}，求 A ∪ B 和 A ∩ B。
【分析】
根据并集和交集的定义，求出 A ∪ B 和 A ∩ B。
【解答】
解：因为全集 U = { x | -3 u003c x u003c 3}，A = { x | -1 u003c x u003c 2}，B = { x | 0 u003c x u003c 1}，
所以 A ∪ B = { x | -1 u003c x u003c 2}，A ∩ B = { x | 0 u003c x u003c 1}。
二、函数性质
2. 选择题：函数 y = f(x) 在 ( -∞,0) 上是减函数，则下列不等式成立的是 ( )
A. f(a) u003e f(-a) B. f(a) u003c f(-a) C. f(-a) u003e f(a) D. f(-a) u003c f(a)
【分析】
根据函数单调性的性质，判断函数值的大小。
【解答】
解：因为函数$y = f(x)$在$( - infty,0)$上是减函数，且$- a u003e a$，
所以$f( - a) u003c f(a)$。
故选D。
三、指数与对数
3. 选择题：若 (log_5 x)2 + log_5 (√x) - m = 0 存在实根，则实数 m 的取值范围是 ( )
A. (-∞, -1] B. (-∞, -1) C. (-∞, 1] D. (-∞, 1)
【分析】
将方程转化为对数方程，根据对数方程有解转化为函数有交点，通过数形结合求解。
【解答】
解：方程$(log_{5}x){2} + log_{5}(sqrt{x}) - m = 0$可化为$(log_{5}x){2} + frac{1}{2}log_{5}x - m = 0$，
令$t = log_{5}x$，则$t in R$，且方程$t{2} + frac{1}{2}t - m = 0$有实根。
即$Delta = frac{1}{4} + 4m geqslant 0$，解得$m geqslant - frac{1}{16}$。
故选C。
四、三角函数
4. 选择题：已知函数 y = sin(π/6 - 2x) 在 (0,π/2) 内的一个单调递增区间是 ()
A. (π/6,π/2) B. (π/3,π/4) C. (π/6,7π/12) D. (π/4,5π/12)
【分析】利用诱导公式将函数转化为正弦型函数，再利用整体思想求出单调递增区间。
【解答】解：由题意得，$therefore y = sin(frac{pi}{6} - 2x) = - sin(2x - frac{pi}{6})$，令$- frac{pi}{2} + 2kpi leqslant 2x - frac{pi}{6} leqslant frac{pi}{2} + 2kpi ，k in Z$，解得$- frac{pi}{6} + kpi leqslant x leqslant frac{pi}{3} + kpi ，k in Z$，令$k = 1$，则$frac{7pi}{12} leqslant x leqslant frac{5pi}{12}$，则函数的一个单调递增区间是$(frac{7pi}{12},frac{5pi}{12})$，故选D。
三、解答题
15．已知 三边 所在直线的方程分别为: ，求
（1） 的大小；
（2） 边上的中线所在直线的方程；
（3） 边上的高所在的直线方程。
16．已知圆的半径为 ，圆心在直线 上，圆被直线 截得的弦长为 ，求圆的方程。
17．一直线被两平行直线 所截线段的中点在直线 上，并且这条直线与两平行直线的夹角为 ，求这条直线的方程。
18．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180吨支援物资的任务，该公司有8辆载重为6吨的 型卡车与4辆载重为10吨的
型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返次数为 型卡车4次， 型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费用为 型卡车320元，
型卡车504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费用最低。
1、
因为a⊥b，所以a·b = 0
cosZ+sinZ=0
即 cosZ=-sinZ，
又因为 -π/2<Z<π
所以z=-π/4或 z=3π/4
2、 a+b = （cosZ+1，sinZ+1）
|a+b|^2=(cosZ+1)^2 + (sinZ+1)^2
=3+2(sinZ + cosZ)
=3+2√2sin（z+π/4）
当 Z＝3π/4时，上式最大3+2√2
本题结果为 1＋√2
1：当x＞0，原式化为：x的平方—5x+6＜0，解得2＜x＜3
2：当x＜0，原式化为：x的平方—（—5x）+6＜0，解得—3＜x＜—2
综上所诉。
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一、集合与逻辑
1. 选择题：设全集 U = { x | -3 u003c x u003c 3}，A = { x | -1 u003c x u003c 2}，B = { x | 0 u003c x u003c 1}，求 A ∪ B 和 A ∩ B。
【分析】
根据并集和交集的定义，求出 A ∪ B 和 A ∩ B。
【解答】
解：因为全集 U = { x | -3 u003c x u003c 3}，A = { x | -1 u003c x u003c 2}，B = { x | 0 u003c x u003c 1}，
所以 A ∪ B = { x | -1 u003c x u003c 2}，A ∩ B = { x | 0 u003c x u003c 1}。
二、函数性质
2. 选择题：函数 y = f(x) 在 ( -∞,0) 上是减函数，则下列不等式成立的是 ( )
A. f(a) u003e f(-a) B. f(a) u003c f(-a) C. f(-a) u003e f(a) D. f(-a) u003c f(a)
【分析】
根据函数单调性的性质，判断函数值的大小。
【解答】
解：因为函数$y = f(x)$在$( - infty,0)$上是减函数，且$- a u003e a$，
所以$f( - a) u003c f(a)$。
故选D。
三、指数与对数
3. 选择题：若 (log_5 x)2 + log_5 (√x) - m = 0 存在实根，则实数 m 的取值范围是 ( )
A. (-∞, -1] B. (-∞, -1) C. (-∞, 1] D. (-∞, 1)
【分析】
将方程转化为对数方程，根据对数方程有解转化为函数有交点，通过数形结合求解。
【解答】
解：方程$(log_{5}x){2} + log_{5}(sqrt{x}) - m = 0$可化为$(log_{5}x){2} + frac{1}{2}log_{5}x - m = 0$，
令$t = log_{5}x$，则$t in R$，且方程$t{2} + frac{1}{2}t - m = 0$有实根。
即$Delta = frac{1}{4} + 4m geqslant 0$，解得$m geqslant - frac{1}{16}$。
故选C。
四、三角函数
4. 选择题：已知函数 y = sin(π/6 - 2x) 在 (0,π/2) 内的一个单调递增区间是 ()
A. (π/6,π/2) B. (π/3,π/4) C. (π/6,7π/12) D. (π/4,5π/12)
【分析】利用诱导公式将函数转化为正弦型函数，再利用整体思想求出单调递增区间。
【解答】解：由题意得，$therefore y = sin(frac{pi}{6} - 2x) = - sin(2x - frac{pi}{6})$，令$- frac{pi}{2} + 2kpi leqslant 2x - frac{pi}{6} leqslant frac{pi}{2} + 2kpi ，k in Z$，解得$- frac{pi}{6} + kpi leqslant x leqslant frac{pi}{3} + kpi ，k in Z$，令$k = 1$，则$frac{7pi}{12} leqslant x leqslant frac{5pi}{12}$，则函数的一个单调递增区间是$(frac{7pi}{12},frac{5pi}{12})$，故选D。
三、解答题
15．已知 三边 所在直线的方程分别为: ，求
（1） 的大小；
（2） 边上的中线所在直线的方程；
（3） 边上的高所在的直线方程。
16．已知圆的半径为 ，圆心在直线 上，圆被直线 截得的弦长为 ，求圆的方程。
17．一直线被两平行直线 所截线段的中点在直线 上，并且这条直线与两平行直线的夹角为 ，求这条直线的方程。
18．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180吨支援物资的任务，该公司有8辆载重为6吨的 型卡车与4辆载重为10吨的
型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返次数为 型卡车4次， 型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费用为 型卡车320元，
型卡车504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费用最低。
1、
因为a⊥b，所以a·b = 0
cosZ+sinZ=0
即 cosZ=-sinZ，
又因为 -π/2<Z<π
所以z=-π/4或 z=3π/4
2、 a+b = （cosZ+1，sinZ+1）
|a+b|^2=(cosZ+1)^2 + (sinZ+1)^2
=3+2(sinZ + cosZ)
=3+2√2sin（z+π/4）
当 Z＝3π/4时，上式最大3+2√2
本题结果为 1＋√2
1：当x＞0，原式化为：x的平方—5x+6＜0，解得2＜x＜3
2：当x＜0，原式化为：x的平方—（—5x）+6＜0，解得—3＜x＜—2
综上所诉。
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