赚现金
解：设售价定为x元。
﹙x－40﹚·[500－﹙x－50﹚×10]＝8000
化简得：x²－140x＋4800＝0
﹙x－60﹚﹙x－80﹚＝0
x1＝80
x2＝60
① 当售价定为80元/个时，
进货量： 500－﹙80－50﹚×10＝200个
② 当售价定为60元/个时。
进货量： 500－﹙60－50﹚×10＝400个。
积分。
计算过程请参考下图。 本例子以一元二次方程的计算为例，因式分解法：
6x=x(x+4),
6x-x(x+4)=0,
x(6-x-4)=0,
x(2-x)=0,
所以x1=0，或者x2=2。
1.一队伍长120米，现通讯员从队尾跑到排头又立即从排头跑回队尾，设在此过程中，队伍与通讯员均作匀速运动，且在这过程中队伍前进了160米，求通讯员往返所跑过的路程?
设通讯员的速度为x米/秒，队伍的速度为y米/秒，根据题意
120÷(x + y) + 120÷(x - y) = 160÷y
(2x + y)(x - 2y) = 0
x = 2y
就是说通讯员的速度是队伍速度的2倍。那么在相同的时间内，队伍行进了160米，所以通讯员行进了 160×2 = 320米。
答:通讯员往返所跑过的路程是320米。
2.某商品的原价a元，降价百分之二十后，销售额猛增，商品提价百分之十后，又提价百分之十，求此商品的价格。
解：降价百分之二十后价格=a*(1-20%)=0.8a
提价百分之十后价格=0.8a*(1+10%)=0.88a
又提价百分之十价格=0.88a*(1+10%)=0.968a
3.某人将一条长为56m的竹篱笆分成2段，每一段都围城一块正方形的菜地，要想围成的两块正方形菜地面积之和为100平方米，该怎么分？
解：设其中一段长为x米，则另一段长为56-x米，依题意有：
(x/4)^2+[(56-x)/4]^2=100
化简整理得：x^2-56x+768=0
解这个一元二次方程得：一个根为24，另一个根为32
所以只有一种分法：一段长为24米，则另一段长为32米；
4.某人将一条长为56m的竹篱笆分成2段，每一段都围城一块正方形的菜地，若想围成的两块正方形菜地的面积之和为200平方米，可能吗?
解：不可能，因为56/4=14,14^2=196平方米，也就是说，最大面积为196平方米，所以不可能。
5.从正方形铁皮上截去4cm宽的一条长方形，余下的面积是96cm^2,则原来正方形铁皮的面积为？
解：设正方形边长为x厘米。
x^2=96+4*x
x^2-4*x-96=0
(x-12)(x+8)=0
x1=12,x2=-8(舍）
正方形面积为 12*12=144 cm^2
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
[例题]
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的
方程，其解为x=m± .
例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11
分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以
此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
（2）解： 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
将二次项系数化为1：x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2
方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=
当b2-4ac≥0时，x+ =±
∴x=(这就是求根公式)
例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0
解：将移到方程右边 3x2-4x=2
将二次项系数化为1：x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2
配方：(x-)2=
直接开平方得：x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2= .
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项
系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5
解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解为x1=,x2= .
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次分解成两个一次因式的积的形式，让
两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解：2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
(3)解：6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
1、例题：x²-2x=0
变化：x²-2x+1=1
变化：（x-1） ²=1
变化：x-1=±1
解为：x=2 或 x=0
2、例题：x²-2x=4
变化：x²-2x+1=5
变化：（x-1） ²=5
变化：x-1=±√5
解为：x=1+√5 或 x=1-√5
3、例题：2x²-4x=4
变化：x²-2x+1=3
变化：（x-1） ²=3
变化：x-1=±√3
解为：x=1+√3 或 x=1-√3
4、例题：x²-4x=-4
变化：x²-4x+4=0 用配方法解一元二次方程练习题
1．用适当的数填空：
①、x2+6x+ =（x+ ）2；
②、x2－5x+ =（x－ ）2；
③、x2+ x+ =（x+ ）2；
④、x2－9x+ =（x－ ）2
2．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________．
3．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______．
4．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，所以方程的根为_________．
5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对
6．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（ ）
A．（a-2）2+1 B．（a+2）2-1 C．（a+2）2+1 D．（a-2）2-1
7．把方程x+3=4x配方，得（ ）
A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=2
8．用配方法解方程x2+4x=10的根为（ ）
A．2± B．-2± C．-2+ D．2-
9．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7
C．可为任何实数 D．可能为负数
10．用配方法解下列方程：
（1）3x2-5x=2． （2）x2+8x=9
（3）x2+12x-15=0 （4） x2-x-4=0
11.用配方法求解下列问题
（1）求2x2-7x+2的最小值 ；
（2）求-3x2+5x+1的最大值。
解：设售价定为x元。
﹙x－40﹚·[500－﹙x－50﹚×10]＝8000
化简得：x²－140x＋4800＝0
﹙x－60﹚﹙x－80﹚＝0
x1＝80
x2＝60
① 当售价定为80元/个时，
进货量： 500－﹙80－50﹚×10＝200个
② 当售价定为60元/个时。
进货量： 500－﹙60－50﹚×10＝400个。
积分。
计算过程请参考下图。 本例子以一元二次方程的计算为例，因式分解法：
6x=x(x+4),
6x-x(x+4)=0,
x(6-x-4)=0,
x(2-x)=0,
所以x1=0，或者x2=2。
1.一队伍长120米，现通讯员从队尾跑到排头又立即从排头跑回队尾，设在此过程中，队伍与通讯员均作匀速运动，且在这过程中队伍前进了160米，求通讯员往返所跑过的路程?
设通讯员的速度为x米/秒，队伍的速度为y米/秒，根据题意
120÷(x + y) + 120÷(x - y) = 160÷y
(2x + y)(x - 2y) = 0
x = 2y
就是说通讯员的速度是队伍速度的2倍。那么在相同的时间内，队伍行进了160米，所以通讯员行进了 160×2 = 320米。
答:通讯员往返所跑过的路程是320米。
2.某商品的原价a元，降价百分之二十后，销售额猛增，商品提价百分之十后，又提价百分之十，求此商品的价格。
解：降价百分之二十后价格=a*(1-20%)=0.8a
提价百分之十后价格=0.8a*(1+10%)=0.88a
又提价百分之十价格=0.88a*(1+10%)=0.968a
3.某人将一条长为56m的竹篱笆分成2段，每一段都围城一块正方形的菜地，要想围成的两块正方形菜地面积之和为100平方米，该怎么分？
解：设其中一段长为x米，则另一段长为56-x米，依题意有：
(x/4)^2+[(56-x)/4]^2=100
化简整理得：x^2-56x+768=0
解这个一元二次方程得：一个根为24，另一个根为32
所以只有一种分法：一段长为24米，则另一段长为32米；
4.某人将一条长为56m的竹篱笆分成2段，每一段都围城一块正方形的菜地，若想围成的两块正方形菜地的面积之和为200平方米，可能吗?
解：不可能，因为56/4=14,14^2=196平方米，也就是说，最大面积为196平方米，所以不可能。
5.从正方形铁皮上截去4cm宽的一条长方形，余下的面积是96cm^2,则原来正方形铁皮的面积为？
解：设正方形边长为x厘米。
x^2=96+4*x
x^2-4*x-96=0
(x-12)(x+8)=0
x1=12,x2=-8(舍）
正方形面积为 12*12=144 cm^2
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
[例题]
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的
方程，其解为x=m± .
例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11
分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以
此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
（2）解： 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
将二次项系数化为1：x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2
方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=
当b2-4ac≥0时，x+ =±
∴x=(这就是求根公式)
例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0
解：将移到方程右边 3x2-4x=2
将二次项系数化为1：x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2
配方：(x-)2=
直接开平方得：x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2= .
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项
系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5
解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解为x1=,x2= .
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次分解成两个一次因式的积的形式，让
两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解：2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
(3)解：6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
1、例题：x²-2x=0
变化：x²-2x+1=1
变化：（x-1） ²=1
变化：x-1=±1
解为：x=2 或 x=0
2、例题：x²-2x=4
变化：x²-2x+1=5
变化：（x-1） ²=5
变化：x-1=±√5
解为：x=1+√5 或 x=1-√5
3、例题：2x²-4x=4
变化：x²-2x+1=3
变化：（x-1） ²=3
变化：x-1=±√3
解为：x=1+√3 或 x=1-√3
4、例题：x²-4x=-4
变化：x²-4x+4=0 用配方法解一元二次方程练习题
1．用适当的数填空：
①、x2+6x+ =（x+ ）2；
②、x2－5x+ =（x－ ）2；
③、x2+ x+ =（x+ ）2；
④、x2－9x+ =（x－ ）2
2．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________．
3．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______．
4．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，所以方程的根为_________．
5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对
6．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（ ）
A．（a-2）2+1 B．（a+2）2-1 C．（a+2）2+1 D．（a-2）2-1
7．把方程x+3=4x配方，得（ ）
A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=2
8．用配方法解方程x2+4x=10的根为（ ）
A．2± B．-2± C．-2+ D．2-
9．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7
C．可为任何实数 D．可能为负数
10．用配方法解下列方程：
（1）3x2-5x=2． （2）x2+8x=9
（3）x2+12x-15=0 （4） x2-x-4=0
11.用配方法求解下列问题
（1）求2x2-7x+2的最小值 ；
（2）求-3x2+5x+1的最大值。
