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二项式定理展开的特点
项数：共有n+1项；
系数：依次为组合数Cn，Cn，Cn，Cn，…，Cn；
每一项的次数都是一样的，即为n次，展开式以a的降次幂排列，b的升次幂排列展开。
二项式定理的性质
二项式定理的系数具有对称性。在二项式展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；将它们绘成图像f(x)，图像关于x=n/2对称，即x=n/2为图像f(x)的对称轴；
二项式展开的中间项是二项式系数的最大值。当n为偶数时，中间项是第n/2+1项最大；当n为奇数时，中间项为两项，即为第（n+1）/2项和第（n+1）/2+1项的系数最大；
Cn+Cn+Cn+…+Cn=2，这也是（1+1）^2用二项式展开所得，同时偶次幂系数相加等于奇次幂系数相加=2^（n-1）；
二项式定理系数项的增减性
令（n-k+1）/k＞1得出k＜(n+1)/2，也就是说当k为二项式前半部分时，二项式的系数是递增的，反过来当k为二项式后面的数时二项式的系数是增减的，这也是二项式系数取中间项为最大项的原因。
二项式定理的拓展
（a+b+c）^n也可以运用二项式定理来计算其中的某个项的系数。
先将a+b看成一个整体，然后根据二项式定理展开，在将（a+b）的几次幂用二项式展开，也就是运用了两次二项式展开的过程。
二项式定理是由（a+b）^2，（a+b）^3，（a+b）^4等展开式归纳猜想而来，并由排列组合的方法证明了这一归纳。
一、 学习目的和要求
①、理解并掌握二项式定理,并能熟练写出二项展开式的通项,并能运用这一通项解决求指定项和指定项的系数等问题,能正确区分二项式系数、二项展开式项的系数等概念。
②、理解并掌握二项式定理的推导数学思想，并利用去解决多项式的类似问题（如三项化归二项），熟悉二项式定理在求近似值、证明整除性、证明不等式等方面的应用。
③、高考要求与动态：在高考中一般是以选择或填空题型出现，多为通项的应用和二项式系数的性质及其应用；但现在有向大题渗透综合数列、函数命题的迹象。
二、基本知识体系
①、公式：（a+b）n= + +…+ +…+ (n∈N*)
②、 I)、通项公式：Tr+1=Crn•an-r•br 是第r+1项，按a的降幂排列、按b 的升幂排列
Ⅱ）、注意展开式的二项式系数和展开式中项的系数的差别
Ⅲ）、常用特例：（1+x）n=1+ + +…+ ； (1-x)n=1- + +…+
处理问题的主要方法：特定项问题，如常数项、x2 等 扣住通项；展开式中系数和的问题 赋值法
③二项式系数的主要性质:
（1）、对称性 =
（2）、增减性与最大值:注意二项式系数最大与展开式系数最大的区别;当n为奇数时,中间两项的二项式系数 , 相等,且同时取得最大值; 当n为偶数时,中间的一项的二项式系数 取得最大值(二项式系数前增后减,在中间取得最大值)
（3）、各二项式系数的和公式→ + + +…+ =2n; （a+b）n的展开式中,奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和;其公式为→ + +…= + +…=2n-1
（4）、多项式（x）的各项系数之和为（1）; 多项式（x）的奇数项的系数之和为（1）-（-1）2,多项式（x）的偶数项的系数之和为（1）+（-1）2;此实质上是赋值之后的结果而已.
（5）、二项式的展开式中,求系数最大的项的方法→比较法,即记系数分别为Pr,、Pr+1、Pr-1；则 Pr最大
三、常见题型解析与规律、方法、技巧领悟
（Ⅰ）利用通项公式求展开式中的特定项问题
求二项式展开的某一项或者求满足某些条件、具备某些性质的项，其基本方法是利用二项式的通项公式分析讨论解之。
【★题1】（2006年全国Ⅰ•文10题）在（x - 12x）10 的展开式中，x4 的系数为（ ）
A -120 B 120 C -15 D 15
● 解、x4 的系数为C310（- ）3 =-15 【★题2】在二项式（3x –- 2 x )15的展开式中，①常数项为___;②有理项有几项¬______;③整式项有几项_____
●解、①展开式的通项为 ；②当r = 6时, 30-5r6 =0,则常数项为T7 = 26C615；③当 30-5r6 = 5 - 56 r为整数,则r可取0,6,12三个数,故共有3个有理项；④ 当5 - 56 r为非负整数时,得r = 0或6,故有两个整 首先是定理就不用说
通项
项的系数
二项式系数
会求某一项的系数
系数和 二项式系数和
求导在二项展开式中的应用
二项式定理：
又称牛顿二项式定理，由艾萨克牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。
二项式定理最初用于开高次方。在中国，成书于1世纪的《九章算术》提出了世界上最早的多位正整数开平方、开立方的一般程序。11世纪中叶，贾宪在其《释锁算书》中给出了“开方作法本原图”，满足了三次以上开方的需要。
贾宪并未给出二项式系数的一般公式，因而未能建立一般正整数次幂的二项式定理。13世纪，杨辉在其《详解九章算法》中引用了此图，并注明了此图出自贾宪的《释锁算书》。
贾宪的著作已经失传，而杨辉的著作流传至今，所以今称此图为“贾宪三角”或“杨辉三角”。14世纪初，朱世杰在其《四元玉鉴》中复载，并增加了两层，添上了两组平行的斜线。
二项式定理知识点总结是如下：
1、二项式定理是由（a+b）^2，（a+b）^3，（a+b）^4等展开式归纳猜想而来，并由排列组合的方法证明了这一归纳。
2、二项式定理又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。
3、二项式定理的系数具有对称性。在二项式展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；将它们绘成图像f(x)，图像关于x=n/2对称，即x=n/2为图像f(x)的对称轴。
4、二项式展开的中间项是二项式系数的最大值。当n为偶数时，中间项是第n/2+1项最大；当n为奇数时，中间项为两项，即为第（n+1）/2项和第（n+1）/2+1项的系数最大。
5、Cn+Cn+Cn+Cn=2，这也是（1+1）^2用二项式展开所得，同时偶次幂系数相加等于奇次幂系数相加=2^（n-1）。
二项式定理展开的特点
项数：共有n+1项；
系数：依次为组合数Cn，Cn，Cn，Cn，…，Cn；
每一项的次数都是一样的，即为n次，展开式以a的降次幂排列，b的升次幂排列展开。
二项式定理的性质
二项式定理的系数具有对称性。在二项式展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；将它们绘成图像f(x)，图像关于x=n/2对称，即x=n/2为图像f(x)的对称轴；
二项式展开的中间项是二项式系数的最大值。当n为偶数时，中间项是第n/2+1项最大；当n为奇数时，中间项为两项，即为第（n+1）/2项和第（n+1）/2+1项的系数最大；
Cn+Cn+Cn+…+Cn=2，这也是（1+1）^2用二项式展开所得，同时偶次幂系数相加等于奇次幂系数相加=2^（n-1）；
二项式定理系数项的增减性
令（n-k+1）/k＞1得出k＜(n+1)/2，也就是说当k为二项式前半部分时，二项式的系数是递增的，反过来当k为二项式后面的数时二项式的系数是增减的，这也是二项式系数取中间项为最大项的原因。
二项式定理的拓展
（a+b+c）^n也可以运用二项式定理来计算其中的某个项的系数。
先将a+b看成一个整体，然后根据二项式定理展开，在将（a+b）的几次幂用二项式展开，也就是运用了两次二项式展开的过程。
二项式定理是由（a+b）^2，（a+b）^3，（a+b）^4等展开式归纳猜想而来，并由排列组合的方法证明了这一归纳。
一、 学习目的和要求
①、理解并掌握二项式定理,并能熟练写出二项展开式的通项,并能运用这一通项解决求指定项和指定项的系数等问题,能正确区分二项式系数、二项展开式项的系数等概念。
②、理解并掌握二项式定理的推导数学思想，并利用去解决多项式的类似问题（如三项化归二项），熟悉二项式定理在求近似值、证明整除性、证明不等式等方面的应用。
③、高考要求与动态：在高考中一般是以选择或填空题型出现，多为通项的应用和二项式系数的性质及其应用；但现在有向大题渗透综合数列、函数命题的迹象。
二、基本知识体系
①、公式：（a+b）n= + +…+ +…+ (n∈N*)
②、 I)、通项公式：Tr+1=Crn•an-r•br 是第r+1项，按a的降幂排列、按b 的升幂排列
Ⅱ）、注意展开式的二项式系数和展开式中项的系数的差别
Ⅲ）、常用特例：（1+x）n=1+ + +…+ ； (1-x)n=1- + +…+
处理问题的主要方法：特定项问题，如常数项、x2 等 扣住通项；展开式中系数和的问题 赋值法
③二项式系数的主要性质:
（1）、对称性 =
（2）、增减性与最大值:注意二项式系数最大与展开式系数最大的区别;当n为奇数时,中间两项的二项式系数 , 相等,且同时取得最大值; 当n为偶数时,中间的一项的二项式系数 取得最大值(二项式系数前增后减,在中间取得最大值)
（3）、各二项式系数的和公式→ + + +…+ =2n; （a+b）n的展开式中,奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和;其公式为→ + +…= + +…=2n-1
（4）、多项式（x）的各项系数之和为（1）; 多项式（x）的奇数项的系数之和为（1）-（-1）2,多项式（x）的偶数项的系数之和为（1）+（-1）2;此实质上是赋值之后的结果而已.
（5）、二项式的展开式中,求系数最大的项的方法→比较法,即记系数分别为Pr,、Pr+1、Pr-1；则 Pr最大
三、常见题型解析与规律、方法、技巧领悟
（Ⅰ）利用通项公式求展开式中的特定项问题
求二项式展开的某一项或者求满足某些条件、具备某些性质的项，其基本方法是利用二项式的通项公式分析讨论解之。
【★题1】（2006年全国Ⅰ•文10题）在（x - 12x）10 的展开式中，x4 的系数为（ ）
A -120 B 120 C -15 D 15
● 解、x4 的系数为C310（- ）3 =-15 【★题2】在二项式（3x –- 2 x )15的展开式中，①常数项为___;②有理项有几项¬______;③整式项有几项_____
●解、①展开式的通项为 ；②当r = 6时, 30-5r6 =0,则常数项为T7 = 26C615；③当 30-5r6 = 5 - 56 r为整数,则r可取0,6,12三个数,故共有3个有理项；④ 当5 - 56 r为非负整数时,得r = 0或6,故有两个整 首先是定理就不用说
通项
项的系数
二项式系数
会求某一项的系数
系数和 二项式系数和
求导在二项展开式中的应用
二项式定理：
又称牛顿二项式定理，由艾萨克牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。
二项式定理最初用于开高次方。在中国，成书于1世纪的《九章算术》提出了世界上最早的多位正整数开平方、开立方的一般程序。11世纪中叶，贾宪在其《释锁算书》中给出了“开方作法本原图”，满足了三次以上开方的需要。
贾宪并未给出二项式系数的一般公式，因而未能建立一般正整数次幂的二项式定理。13世纪，杨辉在其《详解九章算法》中引用了此图，并注明了此图出自贾宪的《释锁算书》。
贾宪的著作已经失传，而杨辉的著作流传至今，所以今称此图为“贾宪三角”或“杨辉三角”。14世纪初，朱世杰在其《四元玉鉴》中复载，并增加了两层，添上了两组平行的斜线。
二项式定理知识点总结是如下：
1、二项式定理是由（a+b）^2，（a+b）^3，（a+b）^4等展开式归纳猜想而来，并由排列组合的方法证明了这一归纳。
2、二项式定理又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。
3、二项式定理的系数具有对称性。在二项式展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；将它们绘成图像f(x)，图像关于x=n/2对称，即x=n/2为图像f(x)的对称轴。
4、二项式展开的中间项是二项式系数的最大值。当n为偶数时，中间项是第n/2+1项最大；当n为奇数时，中间项为两项，即为第（n+1）/2项和第（n+1）/2+1项的系数最大。
5、Cn+Cn+Cn+Cn=2，这也是（1+1）^2用二项式展开所得，同时偶次幂系数相加等于奇次幂系数相加=2^（n-1）。
