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①5√8-2√32+√50
=5*3√2-2*4√2+5√2
=√2(15-8+5)
=12√2
②√6-√3/2-√2/3
=√6-√6/2-√6/3
=√6/6
③(√45+√27)-(√4/3+√125)
=(3√5+3√3)-(2√3/3+5√5)
=-2√5+7√5/3
④(√4a-√50b)-2(√b/2+√9a)
=(2√a-5√2b)-2(√2b/2+3√a)
=-4√a-6√2b
⑤√4x*(√3x/2-√x/6)
=2√x(√6x/2-√6x/6)
=2√x*(√6x/3)
=2/3*|x|*√6
⑥(x√y-y√x)÷√xy
=x√y÷√xy-y√x÷√xy
=√x-√y
⑦(3√7+2√3)(2√3-3√7)
=(2√3)^2-(3√7)^2
=12-63
=-51
⑧(√32-3√3)(4√2+√27)
=(4√2-3√3)(4√2+3√3)
=(4√2)^2-(3√3)^2
=32-27
=5
⑨(3√6-√4)²
=(3√6)^2-2*3√6*√4+(√4)^2
=54-12√6+4
=58-12√6
⑩（1+√2-√3）（1-√2+√3）
=[1+(√2-√3)][1-(√2-√3)]
=1-(√2-√3)^2
=1-(2+3+2√6)
=-4-2√6
√48x³
=√(4²×3×x²×x)
=√[(4x)²×3x]
=4x√3x
√9.8×40
=√(49×0.2×4×10)
=√(7²×2²×2)
=√(14²×2)
=14√2
√0.1
=√(10/100)
=√[10/(10²)]
=(√10)/10
√1/32
=√(2/64)
=√[2/(8²)]
=(√2)/8 √4+√2020的0次方
一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式，其中“”称为二次根号，“a”叫作被开方数。
关键提醒：
二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于0。
二次根式 (a≥0)中a可以表示数、单项式、多项式以及符合条件的一切代数式。
2.二次根式的性质
关键提醒：
区分与，要注意平方与开方的先后顺序，中，要求a≥0才能使其有意义；中，a取任何实数都能使二次根式有意义。
例1：
已知|a|＝5，＝3，且ab＞0，则a＋b的值为（ ）
A.8
B.－2
C.8或－8
D.2或－2
解析：因为|a|＝5，＝3，所以a＝±5，b＝±3.又因为ab＞0，所以a、b同号，即a＝－5，b＝－3或a＝5，b＝3.所以a＋b＝±8.
答案：C
二次根式的乘法
(1)二次根式的乘法：(a≥0，b≥0)
关键提醒：
意义:两个二次根式相乘，等于被开方数相乘，根指数不变。
被开方数a，b可以是数值非负的数字、字母或代数式。
例2：
(2)积的算术平方根的性质：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即(a≥0，b≥0).
2.二次根式的除法及商的算术平方根的性质
(1)二次根式的除法:(a≥0，b＞0).
(2)商的算术平方根的性质:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即(a≥0，b＞0).
关键提醒：
两个二次根式相除，等于被开方数相除，根指数不变，商要化成最简二次根式。
在实际解题时，若不考虑a、b的正、负性，而得出，这是错误的。
例3：
例4：
3.最简二次根式
最简二次根式的两个特点:
(1)被开方数不含分母.
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.
二次限式的加减
1.同类二次根式
几个二次根式化成最简根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫作同类二次根式。
关键提醒：
定义中强调在化成最简二次根式后，要满足“两相同，即根指数是2，被开方数相同”这一条件，这一定义的应用很广。
例5:
答案D
2.二次根式相加减
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，找出同类次根式，然后把同类二次根式分别合并。
关键提醒:
二次根式的加减和整式的加减很相似，前者是合并同类二次根式，后者为合并同类项。
例6:
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序为：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先去括号，计算结果中的二次根式必须是最简二次根式。
在计算过程中，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，有时还需要逆用公式，这样可以简化计算过程。
例7:
二次根式大小的比较
二次根式大小的比较，要根据二次根式的特点，灵活选用不同的方法，常用的方法有：求差法、求商法、例数法、平方法、移动因式法。
例8:
因式的外移和内移
如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；
如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。
反之，也可以将根号外面的正因式，经平方后移到根号里面去。 应用二次根式的应用主要体现在两个方面：利用从特殊到一般，再由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题；利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。
二次根式与算数平方根有区别吗？
一、二次根式是一种代数式，而算术平根是一种运算。
二、二次根式比算术平方根内涵更丰富。
三、二次根式一定带有根号，而算术平方根不一定带根号。
四、二次根式都可看作是算术平方根，用根号表示的算术平方根也都是二次根式。
1：根号50+根号1/2-（根号12+根号3）/根号27 答案： (11/2根号2)2：（（2根号2）-3）*（2根号2）+3）答案：-13：（（3根号2）-1）的平方+根号8 答案：19-4根号24：3根号3（（-3根号3）+（根号12））答案：95：根号18-根号12+3根号1/3 答案：3根号2-根号36：（（3根号2）-2）的平方+根号20 答案：49-10根号57：（（根号18）-（根号8）/根号2）*（根号6-根号2）答案：3-2根号38：（（根号7）-3）*（3+（根号7））-4 答案：-69：2根号12-4根号1/27+3根号48 答案：140/9根号310：（根号20+根号80）/根号5 答案：611：根号125+根号 45-根号 48 答案：8根号5-4根号712：根号15*根号2/3/根号12 答案：1/6根号3013：（2X-3）的平方=9 答案：X=3 X=014：2（X-1）的3方=16 答案：X=315：(2+根号3)（2-根号3）+（根号3-2根号5）的平方 答案：24-4根号1516：根号0.5-根号1/8+根号1又1/8+2根号2*（根号2-根号3）答案：根号2+4-2根号617：根号75-2根号8-（2-根号3）*（根号3+2）答案：-1+5根号5-4根号218：（根号27-根号3）/根号3-（-2+根号3）的平方 答案：-5+4根号3
①5√8-2√32+√50
=5*3√2-2*4√2+5√2
=√2(15-8+5)
=12√2
②√6-√3/2-√2/3
=√6-√6/2-√6/3
=√6/6
③(√45+√27)-(√4/3+√125)
=(3√5+3√3)-(2√3/3+5√5)
=-2√5+7√5/3
④(√4a-√50b)-2(√b/2+√9a)
=(2√a-5√2b)-2(√2b/2+3√a)
=-4√a-6√2b
⑤√4x*(√3x/2-√x/6)
=2√x(√6x/2-√6x/6)
=2√x*(√6x/3)
=2/3*|x|*√6
⑥(x√y-y√x)÷√xy
=x√y÷√xy-y√x÷√xy
=√x-√y
⑦(3√7+2√3)(2√3-3√7)
=(2√3)^2-(3√7)^2
=12-63
=-51
⑧(√32-3√3)(4√2+√27)
=(4√2-3√3)(4√2+3√3)
=(4√2)^2-(3√3)^2
=32-27
=5
⑨(3√6-√4)²
=(3√6)^2-2*3√6*√4+(√4)^2
=54-12√6+4
=58-12√6
⑩（1+√2-√3）（1-√2+√3）
=[1+(√2-√3)][1-(√2-√3)]
=1-(√2-√3)^2
=1-(2+3+2√6)
=-4-2√6
√48x³
=√(4²×3×x²×x)
=√[(4x)²×3x]
=4x√3x
√9.8×40
=√(49×0.2×4×10)
=√(7²×2²×2)
=√(14²×2)
=14√2
√0.1
=√(10/100)
=√[10/(10²)]
=(√10)/10
√1/32
=√(2/64)
=√[2/(8²)]
=(√2)/8 √4+√2020的0次方
一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式，其中“”称为二次根号，“a”叫作被开方数。
关键提醒：
二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于0。
二次根式 (a≥0)中a可以表示数、单项式、多项式以及符合条件的一切代数式。
2.二次根式的性质
关键提醒：
区分与，要注意平方与开方的先后顺序，中，要求a≥0才能使其有意义；中，a取任何实数都能使二次根式有意义。
例1：
已知|a|＝5，＝3，且ab＞0，则a＋b的值为（ ）
A.8
B.－2
C.8或－8
D.2或－2
解析：因为|a|＝5，＝3，所以a＝±5，b＝±3.又因为ab＞0，所以a、b同号，即a＝－5，b＝－3或a＝5，b＝3.所以a＋b＝±8.
答案：C
二次根式的乘法
(1)二次根式的乘法：(a≥0，b≥0)
关键提醒：
意义:两个二次根式相乘，等于被开方数相乘，根指数不变。
被开方数a，b可以是数值非负的数字、字母或代数式。
例2：
(2)积的算术平方根的性质：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即(a≥0，b≥0).
2.二次根式的除法及商的算术平方根的性质
(1)二次根式的除法:(a≥0，b＞0).
(2)商的算术平方根的性质:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即(a≥0，b＞0).
关键提醒：
两个二次根式相除，等于被开方数相除，根指数不变，商要化成最简二次根式。
在实际解题时，若不考虑a、b的正、负性，而得出，这是错误的。
例3：
例4：
3.最简二次根式
最简二次根式的两个特点:
(1)被开方数不含分母.
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.
二次限式的加减
1.同类二次根式
几个二次根式化成最简根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫作同类二次根式。
关键提醒：
定义中强调在化成最简二次根式后，要满足“两相同，即根指数是2，被开方数相同”这一条件，这一定义的应用很广。
例5:
答案D
2.二次根式相加减
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，找出同类次根式，然后把同类二次根式分别合并。
关键提醒:
二次根式的加减和整式的加减很相似，前者是合并同类二次根式，后者为合并同类项。
例6:
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序为：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先去括号，计算结果中的二次根式必须是最简二次根式。
在计算过程中，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，有时还需要逆用公式，这样可以简化计算过程。
例7:
二次根式大小的比较
二次根式大小的比较，要根据二次根式的特点，灵活选用不同的方法，常用的方法有：求差法、求商法、例数法、平方法、移动因式法。
例8:
因式的外移和内移
如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；
如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。
反之，也可以将根号外面的正因式，经平方后移到根号里面去。 应用二次根式的应用主要体现在两个方面：利用从特殊到一般，再由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题；利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。
二次根式与算数平方根有区别吗？
一、二次根式是一种代数式，而算术平根是一种运算。
二、二次根式比算术平方根内涵更丰富。
三、二次根式一定带有根号，而算术平方根不一定带根号。
四、二次根式都可看作是算术平方根，用根号表示的算术平方根也都是二次根式。
1：根号50+根号1/2-（根号12+根号3）/根号27 答案： (11/2根号2)2：（（2根号2）-3）*（2根号2）+3）答案：-13：（（3根号2）-1）的平方+根号8 答案：19-4根号24：3根号3（（-3根号3）+（根号12））答案：95：根号18-根号12+3根号1/3 答案：3根号2-根号36：（（3根号2）-2）的平方+根号20 答案：49-10根号57：（（根号18）-（根号8）/根号2）*（根号6-根号2）答案：3-2根号38：（（根号7）-3）*（3+（根号7））-4 答案：-69：2根号12-4根号1/27+3根号48 答案：140/9根号310：（根号20+根号80）/根号5 答案：611：根号125+根号 45-根号 48 答案：8根号5-4根号712：根号15*根号2/3/根号12 答案：1/6根号3013：（2X-3）的平方=9 答案：X=3 X=014：2（X-1）的3方=16 答案：X=315：(2+根号3)（2-根号3）+（根号3-2根号5）的平方 答案：24-4根号1516：根号0.5-根号1/8+根号1又1/8+2根号2*（根号2-根号3）答案：根号2+4-2根号617：根号75-2根号8-（2-根号3）*（根号3+2）答案：-1+5根号5-4根号218：（根号27-根号3）/根号3-（-2+根号3）的平方 答案：-5+4根号3
