初三数学压轴题,关于抛物线的,急

分析：（1）由题意抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的图象经过点B（12，0）和C（0，-6），对称轴为x=2，根据待定系数法可以求得该抛物线的解析式；假设存在，设出时间t，则根据线段PQ被直线CD垂直平分，再由垂直平分线的性质及勾股定理来求解t，看t是否存在；

（2）假设直线x=1上是存在点M，使△MPQ为等腰三角形，此时要分两种情况讨论：①当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点；②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点；然后再根据等腰三角形的性质及直角三角形的勾股定理求出M点坐标．

解答：解：算抛物线解析式时

方法一：∵抛物线过C（0，-6）

∴c=-6，即y=ax²+bx-6

由 {-b/2a=2,144a+12b-6=0

解得：a= 1/16，b=- 1/4

∴该抛物线的解析式为y= 1/16x²-1/4x-6

方法二：∵A、B关于x=2对称

∴A（-8，0）

设y=a（x+8）（x-12）

C在抛物线上

∴-6=a×8×（-12）

即a= 1/16

∴该抛物线的解析式为：y= 1/16x²-1/4x-6；

存在，设直线CD垂直平分PQ，

在Rt△AOC中，AC=√( 8²+6²)=10=AD，

∴点D在对称轴上，连接DQ，显然∠PDC=∠QDC

由已知∠PDC=∠ACD，

∴∠QDC=∠ACD，

∴DQ∥AC

∴DB=AB-AD=20-10=10，

∴DQ为△ABC的中位线，

∴DQ= 1/2AC=5，

∴AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5，

∴t=5÷1=5（秒），

∴存在t=5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分

在Rt△BOC中，BC=√( 6²+12²)=6√5，

而DQ为△ABC的中位线，

∴CQ=3√ 5，

∴点Q的运动速度为每秒 3√5/5单位长度；

（2）存在，过点Q作QH⊥x轴于H，则QH=3，PH=9

在Rt△PQH中，PQ= √(9²+3²)=3√10

①当MP=MQ，即M为顶点，

设直线CD的直线方程为：y=kx+b（k≠0），

则： {-6=b，0=2k+b

解得： {b=-6，k=3

∴y=3x-6

当x=1时，y=-3，

∴M1（1，-3）

②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点．

设直线x=1上存在点M（1，y），

有勾股定理得：4²+y²=90

即 y=±√74

∴M2（1， √74）， M3(1，-√74)

③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点，

过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x=1于F，则F（1，-3）

设直线x=1存在点M（1，y），由勾股定理得：

（y+3）²+5²=90即y= -3 ±√65

∴ M4(1，-3+√65)M5(1，-3-√65)

综上所述：存在这样的五点：

M1（1，-3），M2（1， √74）， M3(1，-√74)M4(1，-3+√65)M5(1，-3-√65)．

点评：此题是一道综合题，难度较大，主要考查二次函数的性质，用待定系数法求函数的解析式，还考查等腰三角形的性质及勾股定理，同时还让学生探究存在性问题，对待问题要思考全面，学会分类讨论的思想． 1

C(0,-6)

c=-6

B(12,0)

对称轴x=2 (12+Ax)/2=2

Ax=-8

A(-8,0)

x1x2=-8*12=c/a

a=1/16

-b/2a=2

b=-4a=-1/4

y=x^2/16-x/4-6

|AC|=√(6^2+8^2)=10

Dx=10-8=2

D(2,0)

CD直线l1：y+6=[(-6)/(-2)](x-2)

y=3x-12

CB直线l2：y+6=[(-6)/(-12)](x-12)

y=x/2-12 k=1/2,tana=1/2,(cosa)^2=1/(1+(1/2)^2)=4/5 cosa=2/√5,sina=1/√5

Px=-8+t,Py=0

设Q速度为每秒k单位

Qx=kt*cosa=2kt/√5, Qy=-6+ktsina=-6+kt/√5

直线PQ：

(-6+kt/√5)/(2kt/√5-(-8+t)=(-1/3)

(-6+kt/√5)(-3)=(2kt/√5+8-t)

18-3kt/√5=8+2kt/√5-t

10=kt√5-t 1)

PQ中点M

Mx=[(-8+t)+2kt/√5]/2=-4+t/2+kt/√5

My=[-6+kt/√5]/2=-3+kt/(2√5)

My=3Mx-12

-3+kt/(2√5)=3*(-4+t/2+kt/√5)-12

kt/(2√5)-3kt/√5-3t/2=-21

-√5kt/2-3t/2=-21

√5kt+3t=42

由1）10=kt√5-t

10+4t=42

t=8

k=18/(8√5)=9/(4√5)

一道难的初中数学压轴题

解：（1)k2-k1 … ………………………………3分

（2）①EF∥AB． ……………………………………4分

证明：如图，由题意可得A（–4，0），B（0，3），E（-4，-k2/4） ，F（k2/3，3） ．

∴PA=3，PE= ，PB=4，PF= k2/3+4．

∴ PA/PE=12/（12+k）， PB/PF=12/（12+k），

∴ PA/PE=PB/PF． ………………………… 6分

又∵∠APB=∠EPF．

∴△APB ∽△EPF，∴∠PAB=∠PEF．

∴EF∥AB． …………………………… 7分

②S2没有最小值，理由如下：

过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，两线交于点Q．

由上知M（0，-k2/4 ），N（ k2/3，0），Q（ k2/3， -k2/4）． ……………… 8分

而S△EFQ= S△PEF，

∴S2＝S△PEF－S△OEF＝S△EFQ－S△OEF＝S△EOM＋S△FON＋S矩形OMQN

=1/12*(k2+6)2-3 ． ………………………… 10分

当 k2＞-6时，S2的值随k2的增大而增大，而0＜k2＜12． …………… 11分

∴0＜S2＜24，s2没有最小值． …………………………… 12分

说明：1．证明AB∥EF时，还可利用以下三种方法．方法一：分别求出经过A、B两点和经过E、F两点的直线解析式，利用这两个解析式中x的系数相等来证明AB∥EF；方法二：利用 ＝ 来证明AB∥EF；方法三：连接AF、BE，利用S△AEF＝S△BFE得到点A、点B到直线EF的距离相等，再由A、B两点在直线EF同侧可得到AB∥EF．

2．求S2的值时，还可进行如下变形：

S2＝ S△PEF－S△OEF＝S△PEF－（S四边形PEOF－S△PEF）＝2 S△PEF－S四边形PEOF，再利用第（1）题中的结论． 如图解答

初三数学变态难的压轴题及答案

分析：（1）由题意抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的图象经过点B（12，0）和C（0，-6），对称轴为x=2，根据待定系数法可以求得该抛物线的解析式；假设存在，设出时间t，则根据线段PQ被直线CD垂直平分，再由垂直平分线的性质及勾股定理来求解t，看t是否存在；

（2）假设直线x=1上是存在点M，使△MPQ为等腰三角形，此时要分两种情况讨论：①当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点；②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点；然后再根据等腰三角形的性质及直角三角形的勾股定理求出M点坐标．

解答：解：算抛物线解析式时

方法一：∵抛物线过C（0，-6）

∴c=-6，即y=ax²+bx-6

由 {-b/2a=2,144a+12b-6=0

解得：a= 1/16，b=- 1/4

∴该抛物线的解析式为y= 1/16x²-1/4x-6

方法二：∵A、B关于x=2对称

∴A（-8，0）

设y=a（x+8）（x-12）

C在抛物线上

∴-6=a×8×（-12）

即a= 1/16

∴该抛物线的解析式为：y= 1/16x²-1/4x-6；

存在，设直线CD垂直平分PQ，

在Rt△AOC中，AC=√( 8²+6²)=10=AD，

∴点D在对称轴上，连接DQ，显然∠PDC=∠QDC

由已知∠PDC=∠ACD，

∴∠QDC=∠ACD，

∴DQ∥AC

∴DB=AB-AD=20-10=10，

∴DQ为△ABC的中位线，

∴DQ= 1/2AC=5，

∴AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5，

∴t=5÷1=5（秒），

∴存在t=5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分

在Rt△BOC中，BC=√( 6²+12²)=6√5，

而DQ为△ABC的中位线，

∴CQ=3√ 5，

∴点Q的运动速度为每秒 3√5/5单位长度；

（2）存在，过点Q作QH⊥x轴于H，则QH=3，PH=9

在Rt△PQH中，PQ= √(9²+3²)=3√10

①当MP=MQ，即M为顶点，

设直线CD的直线方程为：y=kx+b（k≠0），

则： {-6=b，0=2k+b

解得： {b=-6，k=3

∴y=3x-6

当x=1时，y=-3，

∴M1（1，-3）

②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点．

设直线x=1上存在点M（1，y），

有勾股定理得：4²+y²=90

即 y=±√74

∴M2（1， √74）， M3(1，-√74)

③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点，

过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x=1于F，则F（1，-3）

设直线x=1存在点M（1，y），由勾股定理得：

（y+3）²+5²=90即y= -3 ±√65

∴ M4(1，-3+√65)M5(1，-3-√65)

综上所述：存在这样的五点：

M1（1，-3），M2（1， √74）， M3(1，-√74)M4(1，-3+√65)M5(1，-3-√65)．

点评：此题是一道综合题，难度较大，主要考查二次函数的性质，用待定系数法求函数的解析式，还考查等腰三角形的性质及勾股定理，同时还让学生探究存在性问题，对待问题要思考全面，学会分类讨论的思想． 1

C(0,-6)

c=-6

B(12,0)

对称轴x=2 (12+Ax)/2=2

Ax=-8

A(-8,0)

x1x2=-8*12=c/a

a=1/16

-b/2a=2

b=-4a=-1/4

y=x^2/16-x/4-6

|AC|=√(6^2+8^2)=10

Dx=10-8=2

D(2,0)

CD直线l1：y+6=[(-6)/(-2)](x-2)

y=3x-12

CB直线l2：y+6=[(-6)/(-12)](x-12)

y=x/2-12 k=1/2,tana=1/2,(cosa)^2=1/(1+(1/2)^2)=4/5 cosa=2/√5,sina=1/√5

Px=-8+t,Py=0

设Q速度为每秒k单位

Qx=kt*cosa=2kt/√5, Qy=-6+ktsina=-6+kt/√5

直线PQ：

(-6+kt/√5)/(2kt/√5-(-8+t)=(-1/3)

(-6+kt/√5)(-3)=(2kt/√5+8-t)

18-3kt/√5=8+2kt/√5-t

10=kt√5-t 1)

PQ中点M

Mx=[(-8+t)+2kt/√5]/2=-4+t/2+kt/√5

My=[-6+kt/√5]/2=-3+kt/(2√5)

My=3Mx-12

-3+kt/(2√5)=3*(-4+t/2+kt/√5)-12

kt/(2√5)-3kt/√5-3t/2=-21

-√5kt/2-3t/2=-21

√5kt+3t=42

由1）10=kt√5-t

10+4t=42

t=8

k=18/(8√5)=9/(4√5)

初三数学变态难的压轴题视频

一、图形运动产生的面积问题

知识点睛

研究_基本_图形

分析运动状态：

①由起点、终点确定t的范围；

②对t分段，根据运动趋势画图，找边与定点，通常是状态转折点相交时的特殊位置．

分段画图，选择适当方法表达面积．

二、精讲精练

已知，等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上，沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点与点重合，点N到达点时运动终止），过点M、N分别作边的垂线，与△ABC的其他边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为秒．

（1）线段MN在运动的过程中，为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积．

（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

1题图 2题图

如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝， CD＝，高CE＝，对角线AC、BD交于点H．平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发，沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G，当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的面积为，被直线RQ扫过的面积为，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒．

（1）填空：∠AHB＝____________；AC＝_____________；

（2）若，求x．

如图，△ABC中，∠C＝90°，AC=8cm，BC=6cm，点P、Q同时从点C出发，以1cm/s的速度分别沿CA、CB匀速运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动．过点P作AC的垂线l交AB于点R，连接PQ、RQ，并作△PQR关于直线l对称的图形，得到△PQ'R．设点Q的运动时间为t（s），△PQ'R与△PAR重叠部分的面积为S（cm2）．

（1）t为何值时，点Q' 恰好落在AB上？

（2）求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．

（3）S能否为？若能，求出此时t的值；

若不能，请说明理由．

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm，动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．以AP为边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为ts，正方形APDE和梯形BCFQ重叠部分的面积为Scm2．

（1）当t=_____s时，点P与点Q重合；

（2）当t=_____s时，点D在QF上；

（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，

求S与t之间的函数关系式．

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、D（-2，0），作直线AD并以线段AD为一边向上作正方形ABCD．

（1）填空：点B的坐标为________，点C的坐标为_________．

（2）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线DA向上平移，直至正方形的顶点C落在y轴上时停止运动．在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为S，求S关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围．

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y=x与直线l2：y=-x+6相交于点M，直线l2与x轴相交于点N．

（1）求M，N的坐标．

（2）已知矩形ABCD中，AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动．设矩形ABCD与△OMN重叠部分的面积为S，移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束）．求S与自变量t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围．

二、二次函数中的存在性问题

一、知识点睛

解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤：

①画图分析．研究确定图形，先画图解决其中一种情形．

②分类讨论.先验证①的结果是否合理，再找其他分类，类比第一种情形求解．

③验证取舍.结合点的运动范围，画图或推理，对结果取舍．

二、精讲精练

如图，已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于A、B两点. 若以AB为直角边的△PAB与△OAB相似，请求出所有符合条件的点P的坐标．

抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．点P在抛物线上，直线PQ//BC交x轴于点Q，连接BQ．

（1）若含45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式；

（2）若含30°角的直角三角板的一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上（点D不与点Q重合），另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．

如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD＝10，

OB＝8．将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合．

（1）若抛物线经过A、B两点，求该抛物线的解析式：______________；

（2）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，

作MN⊥x轴于点N．是否存在点M，使△AMN

与△ACD相似？若存在，求出点M的坐标；

若不存在，说明理由．

已知抛物线经过A、B、C三点，点P（1，k）在直线BC：y=x3上，若点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

抛物线与y轴交于点C，与直线y=x交于A(-2，-2)、B(2，2)两点．如图，线段MN在直线AB上移动，且，若点M的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q．以P、M、Q、N为顶点的四边形否为平行四边形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．

三、二次函数与几何综合

一、知识点睛

“二次函数与几何综合”思考流程：

整合信息时，下面两点可为我们提供便利：

①研究函数表达式．二次函数关注四点一线，一次函数关注k、b；

②)关键点坐标转线段长．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边和角度信息．

二、精讲精练

如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线y=ax2-2ax-b（a>0）与x轴交于A、B两点，点A在点B的右侧，且点B的坐标为(-1，0)，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．连接AC、CD，∠ACD=90°．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，

且以B、A、F、E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．设△PDE的周长为l，

点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的值．

已知，抛物线经过A(-1，0)，C(2，)两点，

与x轴交于另一点B．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点 （不与点B重合），点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=，求y2与x的函数关系式，

并直接写出自变量x的取值范围．

已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A(1，0)，C(0，-3).

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A），

①如图1，当△PBC的面积与△ABC的面积相等时，求点P的坐标；

②如图2，当∠PCB =∠BCA时，求直线CP的解析式．

四、中考数学压轴题专项训练

1.如图，在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A(1，1)，B(3，1)．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过点P作PQ⊥OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0

△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．

（1）求经过O，A，B三点的抛物线解析式．

（2）求S与t的函数关系式．

（3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

2.如图，抛物线与x轴交于A(-1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标．

（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标．

（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q．若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′，是否存在点P，使点Q′恰好在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3.（11分）如图，已知直线与坐标轴交于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线的另一个交点为E．

（1）请直接写出C，D两点的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止，设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积．

4.（11分）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(-3，0)，点B(1，0)，交y轴于点E(0，-3)．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y=-x+m过点C，交y轴于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线，交直

线CD于点H，交抛物线于点G，求线段HG长度的值；

（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以A，C，M，

N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．

5.（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线与

抛物线交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A，B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．

①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的值．

②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，

正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，

直接写出对应的点P的坐标．

6.（11分）如图1，点A为抛物线C1：的顶点，点B的坐标为

(1，0)，直线AB交抛物线C1于另一点C．

（1）求点C的坐标；

（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB于点F，交抛物线C1于点G，若FG:DE=4:3，求a的值；

（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m>0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为P，交x轴负半轴于点M，交射线AB于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．

附：参考答案

一、图形运动产生的面积问题

1. （1）当t=时，四边形MNQP恰为矩形．此时，该矩形的面积为平方厘米．

（2） 当0＜t≤1时，；当1＜t≤2时，；

当2＜t＜3时，

2．（1）90°；4 （2）x=2.

3．（1）当t=时，点Q' 恰好落在AB上.

（2）当0＜t≤时，；当＜t≤6时，

（3）由（2）问可得，当0＜t≤时， ；

当＜t≤6时，；

解得，或，此时.

4．（1）1 （2）（3）当1＜t≤时，；

当＜t＜2时，.

5．（1）（﹣1，3），（﹣3，2） （2）当0＜t≤时，；当＜t≤1时，；

当1＜t≤时，.

6．（1）M（4，2） N（6，0）（2）当0≤t≤1时，；

当1＜t≤4时，；

当4＜t≤5时，；

当5＜t≤6时，；

当6＜t≤7时，

二、二次函数中的存在性问题

1.解：由题意，设OA=m，则OB=2m；当∠BAP=90°时，

△BAP∽△AOB或△BAP∽△BOA；

若△BAP∽△AOB，如图1，

可知△PMA∽△AOB，相似比为2：1；则P1（5m，2m），

代入，可知，

若△BAP∽△BOA，如图2，

可知△PMA∽△AOB，相似比为1：2；则P2（2m，），

代入，可知，

当∠ABP=90°时，△ABP∽△AOB或△ABP∽△BOA；

若△ABP∽△AOB，如图3，

可知△PMB∽△BOA，相似比为2：1；则P3（4m，4m），

代入，可知，

若△ABP∽△BOA，如图4，

可知△PMB∽△BOA，相似比为1：2；则P4（m，），

代入，可知，

2.解：（1）由抛物线解析式可得B点坐标（1，3）.

要求直线BQ的函数解析式，只需求得点Q坐标即可，即求CQ长度.

过点D作DG⊥x轴于点G，过点D作DF⊥QP于点F.

则可证△DCG≌△DEF.则DG=DF，∴矩形DGQF为正方形.

则∠DQG=45°，则△BCQ为等腰直角三角形.∴CQ=BC=3，此时，Q点坐标为（4，0）

可得BQ解析式为y=－x+4.

（2）要求P点坐标，只需求得点Q坐标，然后根据横坐标相同来求点P坐标即可.

而题目当中没有说明∠DCE=30°还是∠DCE=60°，所以分两种情况来讨论.

当∠DCE=30°时，

a）过点D作DH⊥x轴于点H，过点D作DK⊥QP于点K.

则可证△DCH∽△DEK.则，

在矩形DHQK中，DK=HQ，则.

在Rt△DHQ中，∠DQC=60°.则在Rt△BCQ中，∴CQ=，此时，Q点坐标为（1+,0）

则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.∴P（1+,）.

b）又P、Q为动点，∴可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.

由对称性可得此时点P坐标为（1－,）

当∠DCE=60°时，

过点D作DM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥QP于点N.

则可证△DCM∽△DEN.则，

在矩形DMQN中，DN=MQ，则.

在Rt△DMQ中，∠DQM=30°.则在Rt△BCQ中，

∴CQ=BC=，此时，Q点坐标为（1+，0）

则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.∴P（1+,）.

b）又P、Q为动点，∴可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.

由对称性可得此时点P坐标为（1－,）

综上所述，P点坐标为（1+,），（1－,），（1+,）或（1－,）.

3．解：（1）∵AB=BC=10，OB=8 ∴在Rt△OAB中，OA=6 ∴ A（6，0）

将A（6，0），B（0，-8）代入抛物线表达式，得，

（2）存在：

如果△AMN与△ACD相似，则或

设M（0

假设点M在x轴下方的抛物线上，如图1所示：

当时，，

即∴∴

如图2验证一下

当时，，即

∴（舍）

2）如果点M在x轴上方的抛物线上：

当时，，即 ∴ ∴M

此时, ∴ ∴△AMN∽△ACD ∴M满足要求

当时，，即 ∴m=10（舍）

综上M1,M2

4.解：满足条件坐标为：

思路分析：A、M、N、P四点中点A、点P为顶点，则AP可为平行四边形边、对角线；

(1)如图，当AP为平行四边形边时，平移AP；

∵点A、P纵坐标差为2 ∴点M、N纵坐标差为2；

∵点M的纵坐标为0 ∴点N的纵坐标为2或-2

①当点N的纵坐标为2时

解： 得

又∵点A、P横坐标差为2 ∴点M的坐标为： 、

②当点N的纵坐标为-2时

解： 得

又∵点A、P横坐标差为2 ∴点M的坐标为： 、

(2)当AP为平行四边形边对角线时； 设M5（m,0）

MN一定过AP的中点（0，-1）

则N5（-m，-2），N5在抛物线上 ∴

（负值不符合题意，舍去）

∴ ∴

综上所述:

符合条件点P的坐标为：

5．解：分析题意，可得：MP∥NQ，若以P、M、N、Q为顶点的四边形为平行四边形，只需MP=NQ即可。由题知：，，，

故只需表达MP、NQ即可.表达分下列四种情况：

①如图1，，，令PM=QN，

解得：（舍去），；

②如图2，，，令PM=QN，

解得：（舍去），；

③如图3，，，令PM=QN，

解得：，（舍去）；

④如图4，，，令PM=QN，

解得：，（舍去）；

综上，m的值为、、、．

三、二次函数与几何综合

解：（1）令x=0，则y=4， ∴点C的坐标为（0，4），

∵BC∥x轴，∴点B，C关于对称轴对称，

又∵抛物线y=ax2-5ax+4的对称轴是直线，即直线

∴点B的坐标为（5，4），∴AC=BC=5，

在Rt△ACO中，OA=，∴点A的坐标为A（，0），

∵抛物线y=ax2-5ax+4经过点A，∴9a+15a+4=0，解得， ∴抛物线的解析式是

（2）存在，M（，）

理由：∵B，C关于对称轴对称，∴MB=MC，∴；

∴当点M在直线AC上时，值，

设直线AC的解析式为，则，解得，∴

令，则，∴M（，）

2、解：（1）∵抛物线过点B（，0），

∴a+2a-b=0，∴b=3a，∴

令y=0，则x=或x=3，∴A（3，0），∴OA=3，

令x=0，则y=-3a，∴C（0，a），∴OC=3a

∵D为抛物线的顶点，∴D（1，4a）

过点D作DM⊥y轴于点M，则∠AOC=∠CMD=90°，

又∵∠ACD+∠MCD=∠AOC+∠1，∠ACD=∠AOC=90°

∴∠MCD=∠1 ，∴△AOC∽△CMD，∴，

∵D（1，4a），∴DM=1，OM=4a，∴CM=a

∴，∴，∵a>0，∴a=1

∴抛物线的解析式为：

（2）当AB为平行四边形的边时，则BA∥EF，并且EF= BA =4

由于对称轴为直线x=1，∴点E的横坐标为1,∴点F的横坐标为5或者3

将x=5代入得y=12，∴F（5，12）．将x=-3代入得y=12，∴F（-3，12）．

当AB为平行四边形的对角线时，点F即为点D， ∴F（1，4）．

综上所述，点F的坐标为（5，12），（3，12）或（1，4）．

3、解：（1）对于，当y=0，x=2；当x=8时，y=.

∴A点坐标为（2，0），B点坐标为

由抛物线经过A、B两点，得

解得

（2）设直线与y轴交于点M

当x=0时，y=. ∴OM=.

∵点A的坐标为（2，0），∴OA=2，∴AM=

∴OM：OA：AM=3：4：5.

由题意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM ∽△PED.

∴DE：PE：PD=3：4：5

∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点，

∴PD=

由题意知：

4、解：(1) ∵抛物线y1=ax22axb经过A(1，0)，C(0，)两点，

∴，∴，∴抛物线的解析式为y1= x2x

（2）解法一：过点M作MN⊥AB交AB于点N，连接AM

由y1= x2x可知顶点M(1，2) ，A(1，0)，B(3，0)，N(1，0)

∴AB=4，MN=BN=AN=2，AM=MB=.

∴△AMN和△BMN为等腰直角三角形.

∵∠MPA+∠QPB=∠MPA +∠PMA=135°

∴∠QPB=∠PMA

又∵∠QBP=∠PAM=45°∴△QPB∽△PMA

∴ 将AM=，AP=x+1，BP=3－x，BQ=代入，

可得，即.

∵点P为线段OB上一动点 （不与点B重合）∴0x＜3

则y2与x的函数关系式为y2=x2x(0x<3)

解法二：

过点M作MN⊥AB交AB于点N.

由y1= x2x易得M(1，2)，N(1，0)，A(1，0)，B(3，0)，

∴AB=4，MN=BN=2，MB=2，MBN=45.

根据勾股定理有BM 2BN 2=PM 2PN 2. ∴…①，

又MPQ=45=MBP，∴△MPQ∽△MBP，∴=y22

由、得y2=x2x.

∵0x<3，∴y2与x的函数关系式为y2=x2x(0x<3)

5、解：（1）由题意，得，解得

∴抛物线的解析式为.

（2）①令，解得 ∴B（3， 0）

则直线BC的解析式为 当点P在x轴上方时，如图1，

过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，∴设直线AP的解析式为，

∵直线AP过点A（1，0），∴直线AP的解析式为，交y轴于点.

解方程组，得 ∴点

当点P在x轴下方时，如图1，

根据点，可知需把直线BC向下平移2个单位，此时交抛物线于点，

得直线的解析式为，

解方程组，得

综上所述，点P的坐标为：

②过点B作AB的垂线，交CP于点F.如图2，∵

∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45° ∴∠CBF=∠ABC=45°

又∵∠PCB=∠BCA，BC=BC ∴△ACB≌△FCB

∴BF=BA=2，则点F（3，－2）又∵CP过点F，点C ∴直线CP的解析式为.

四、中考数学压轴题专项训练答案

1．（1）；

（2）；

（3）t=1或2．

2．（1），；

（2）；

（3）存在，点P的坐标为．

3．（1），；

（2）；

（3）15．

4．（1）；

（2）；

（3）．

5．（1）；

（2）①，当时，；

②．

6．（1）；

（2）； （3）．

初三数学难题压轴题

1、如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点，P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．

（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；

（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动，请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）

2、如图，菱形ABCD中，AB＝10，sinA＝ 4 5 ，点E在AB上，AE＝4，过点E作EF∥AD，交CD于F，点P从点A出发，以每秒1个单位长的速度沿线段AB向终点B匀速运动，同时点Q从点E出发，以相同的速度沿线段EF向终点F匀速运动，设运动时间为t（秒）．

（1）当t＝5秒时，求PQ的长；

（2）当BQ平分∠ABC时，直线PQ将菱形ABCD的周长分成两部分，求这两部分的比；

（3）以P为圆心，PQ长为半径的⊙P是否能与直线AD相切？如果能，求此时t的值；如果不能，说明理由．

解：（1）根据题意画出图形，如图所示： 过点P作PM⊥EF，垂足为M，

由题意可知AE=4，AP=EQ=5，则EP=1，

∵EF∥AD，

∴∠BEF=∠A，即sin∠BEF=sinA=4/ 5 ，

即PM EP =4/ 5 ，则PM=4/ 5 ，

根据勾股定理得：EM=3 /5 ，

则MQ=5-3/ 5 =22/ 5 ，

在直角三角形PQM中，根据勾股定理得：

PQ= (4 5 )2+(22 5 )2 =2 5 ；

（2）根据题意画出图形，如图所示：

∵BQ平分∠ABC，

∴∠EBQ=∠CBQ，

又∵BC∥EF，

∴∠CBQ=∠EQB，

∴∠EBQ=∠EQB，

∴EB=EQ=10-4=6，

则t=6，AP=6，

∴BP=4，QF=4，

设PQ交CD于点M，

∵AB∥CD，

∴∠EPQ=∠FMQ，∠PEQ=∠MFQ，

∴△EPQ∽△FMQ，

∴EP/ FM =EQ/ QF ，即2 /FM =6 /4 ，

∴FM=4 /3 ，

则MD=4-4/ 3 =8 /3 ，MC=22 /3 ，

则直线PM分菱形分成的两部分的周长分别为AP+AD+MD和PB+BC+CM，

即菱形的周长被分为56 /3 和64 /3 ，

所以这两部分的比为7：8；

（3）过P作PH⊥AD于H，交EF于G点，

则PH=4 /5 t，PE=t-4，PG=4/ 5 （t-4），EG=3/ 5 （t-4），

∴GQ=t-EG=2/ 5 t+12 /5 ，

PQ2=PG2+GQ2=（4/ 5 t-16/ 5 ）2+（2/ 5 t+12 /5 ）2，

由题意可得方程(4/ 5 t)2=（4 /5 t-16/ 5 ）2+（2/ 5 t+12 /5 ）2，

解得：t=10．

3、已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．

（1）如图①，当PA的长度等于_________时，∠PAB＝60° ；

当PA的长度等于_________时，△PAD是等腰三角形；

（2）如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），记△PAD、△PAB、△PBC的面积分别为S1、S2、S3．设P点坐标为（a，b），试求2S1S3－S22的最大值，并求出此时a、b的值．

4、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，点M是AD的中点，点E是边AB上的一动点．连结EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交BC的延长线于点G，连结EG，交边DC于点H．设AE的长为x，△MEG的面积为y．

（1）求sin∠MEG的值；

（2）求y关于x的函数解析式，并确定自变量x的取值范围；

（3）设线段MG的中点为N，连结CN．是否存在x的值，使得以N、C、G为顶点的三角形与△EFH相似？若存在，求x和y的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）过点G作GN⊥AD交AD的延长线于点N，可证得△AEM∽△NMG，

∴MG /EM =GN/ MA ，

∴GN=AB=4，

∵M是AD的中点，

∴AM=1，

∴MG/ EM =GN/ MA =4，

∵GM⊥EF，

∴在Rt△EMG中，

∴tan∠MEG=MG /EM =4；

（2）由（1）知，MG /EM =4，即MG=4EM，

∵在Rt△AEM中，EM= x2+1 ，

∴MG=4 x2+1 ，

∵S△EMG=1 2 EM•MG，

∴y=2x2+2 （1/ 4 ＜x≤4）；

（3）分别过点P、M作PH、MI垂直BG于点H，I，

∴BE=4-x，IG=4x，

∴BG=4x+1，CF=x+4，CG=4x-1，CH=2x-1，

∴EF=PG，∠F=∠PGC，

∵△PGC∽△EFQ，

∴∠QEF=∠CPG或∠QEF=∠PCG，

①当∠QEF=∠CPG时，则可证：△CPG≌△QEF，

∴QF=CG=4x-1，

∴CQ=CF-QF=5-3x，

可证BE∥CQ，

∴CG BG =CQ BE ，即CG•BE=CQ•BG，

∴（4x-1）（4-x）=（5-3x）（4x+1），

解得：x1=3/ 4 2 ，x2= -3/ 4 2 （舍去），

∴y=17 /4 ；

②当∠QEF=∠PCG时，则可证∠PCG=∠MEG＜90°，

∴点H在点C的右侧，即CH=2x-1，

又可PH /CH =tan∠MEG=4，即PH=4CH， ∴2=4（2x-1），

解得：x=3/ 4 ，

∴y=25/ 8

综上所述，可知y的值是17 /4 或25/ 8 ． 1．a与b互为相反数，c与d互为倒数，求2a+2b-83cd+1

-2

． 2．规定a﹡b=5a+2b-1，则（-4）﹡6的值为

-9

． 3．已知|2x-1|+（y+2）2=0，则（xy）2006=

4．一商店把某商品按标价的九折出售仍可获得20%的利润率，若该商品的进价是每件30元，则标价是每件

40

元5．我校球类联赛期间买回排球和足球共16个，花去900元钱，已知排球每个42元，足球每个80元，则排球买了

10

个6．今年母女两人的年龄和为60岁，10年前母亲的年龄是女儿的7倍，则今年女儿的年龄为

15

岁．7．自来水公司为鼓励节约用水，对水费按以下方式收取：用水不超过10吨，每吨按0.8元收费，超过10吨的部分按每吨1.5元收费，王老师三月份平均水费为每吨1.0元，则王老师家三月份用水

14

吨．8．甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲的速度是17.5千米/时，乙的速度为15千米/时，若设经过x小时，两人相遇？列方程为

17.5x+15x=65

． 9．多伦多与北京的时间差为-12小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数），如果北京时间是10月1日14：00，那么多伦多时间是

10月1日2：00

． 10．圆柱的侧面展开图是

长方

形． 显示解析11．俯视图为圆的立体图形可能是

球或圆柱

12．若要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之和为6，x=

，y=

二、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

13．下列说法：①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于本身的数只有正数，③不相等的两个数绝对值不相等；④绝对值相等的两数一定相等．其中正确的有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

14．如果|-2a|=-2a，则a的取值范围是（　　）

A．a＞O B．a≥O C．a≤O D．a＜O

15．若x2+3x-5的值为7，则3x2+9x-2的值为（　　）

A．0 B．24 C．34 D．44

16．已知-1

x3y2n与2x3my2是同类项，则mn的值是（　　）

A．1 B．3 C．6 D．9

17．某试卷由26道题组成，答对一题得8分，答错一题倒扣5分．今有一考生虽然做了全部的26道题，但所得总分为零，他做对的题有（　　）

A．10道 B．15道 C．20道 D．8道

18．一旅客携带了30千克行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津，按民航规定，旅客最多可免费携带20千克行李，超重部分每千克按飞机票价格的1.5%购买行李票，现该旅客购买了120元的行李票，则他的飞机票价格为（　　）

A．1000元 B．800元 C．600元 D．400元

19．已知x=2是关于x的方程3x-2m=4的解，则m的值是（　　）

A．5 B．-5 C．1 D．-1

20．某服装商贩同时出售两套衣服，每套均卖168元，以成本计算，其中一套赚了20%，另一套亏了20%，则在这次买卖中商贩（　　）

A．不赚不赔 B．赚了37.2元 C．赚了14元 D．赔了14元

三、解答题（共2小题，满分10分）

21．化简求值：（1）2（x2-xy）-3（2x2-3xy）-2x2，其中x=2，y=3． 显示解析22．2x-1

-10x-1

=2x+1

-1． 四、解答题（共3小题，满分30分）

23．列方程解应用题：某人从家里骑自行车到学校．若每小时行15千米，可比预定的时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定的时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？ 显示解析24．某学校班主任暑假带领该班三好学生去旅游，甲旅行社说：“如果教师买全票一张，其余学生享受半价优惠；”乙旅行社说：“教师在内全部按票价的6折优惠；”若全部票价是240元；

（1）当学生人数是多少时，两家旅行社收费一样多？

（2）如果有10名学生，应参加哪个旅行社，并说出理由． 显示解析25．阅读下列材料：让我们来规定一种运算：. a b

c d

=ad-bc．例如：. 2 3

4 5

=2×5-3×4=10-12=-2，再如：. x 2

1 4

=4x-2．

按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：

①. 1 -3

-2 0.5

-5.5

（只填最后结果）

再来一套吧

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分．以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）

1．如果|x-2|+x-2=0，那么x的取值范围是（　　）

A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2

2．一项工程，甲队独做需用m天，乙队独做需用n天，若甲，乙两队合作完成这项工程，则所需天数为（　　）

A．1

+1

B．m+n

mn

C．mn

m+n

D．m+n

3．线段y=-1

x+a（1≤x≤3），当a的值由-1增加到2时，该线段运动所经过的平面区域的面积为（　　）

A．6 B．8 C．9 D．10

4．已知实数a、b满足：ab=1且M=1

1+a

+1

1+b

，N=a

1+a

+b

1+b

，则M、N的关系为（　　）

A．M＞N B．M＜N

C．M=N D．M、N的大小不能确定

5．如图在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，AB=AD，若这个四边形的面积是10，则BC+CD等于（　　）

A．4 5

B．2 10

C．4 6

D．8 2

6．在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（　　）

A．1 B．4 C．7 D．10

7．已知a3±b3=（a±b）（a2±ab+b2），如果一列数a1，a2，…满足对任意的正整数n都有a1+a2+…an=n3，则1

a2-1

+1

a3-1

+…1

a100-1

的值为（　　）

A．33

100

B．11

100

C．11

99

D．33

101

8．如图，表示阴影区域的不等式组为（　　）

A． 2x+y≥5

3x+4y≥9

y≥0

B． 2x+y≤5

3x+4y≤9

y≥0

C． 2x+y≥5

3x+4y≥9

x≥0

D． 2x+y≤5

3x+4y≥9

x≥0

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9．方程|5x+6|=6x-5的解是

x=11或-1

11

．10．观察下面一列分式：-1

，2

x2

，-4

x3

，8

x4

，-16

x5

，…，根据规律，它的第n项是

(-1)n2n-1

xn

． 11．若 5-2 6

= m

- n

，则m=

，n=

12．若|a|=3， b

=2且ab＜0，则a-b=

-7

13．如图，若长方形APHM、BNHP、CQHN的面积分别是7、4、6，则△PDN的面积是

8.5

． 14．一只青蛙从点A（-6，3）出发跳到点B（-2，5），再从点B跳到y轴上的点C，继续从点C跳到x轴上的点D，最后由点D回到点A（青蛙每次所跳的距离不一定相等）．当青蛙四步跳完的路程最短时，直线CD的解析式是

y=x+3

． 三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）

15．如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．

（1）“20”在射线

OB

上．

（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律．

（3）“2010”在哪条射线上？ 16．某仓储系统有20条输入传送带，20条输出传送带．某日，控制室的电脑显示，每条输入传送带每小时进库的货物流量如图（1），每条输出传送带每小时出库的货物流量如图（2），而该日仓库中原有货物8吨，在0时至5时，仓库中货物存量变化情况如图（3），则在0时至2时有多少条输入传送带和输出传送带在工作在4时至5时有多少条输入传送带和输出传送带在工作？

17．（1）已知：如图1，在四边形ABCD中，BC⊥CD，∠ACD=∠ADC．求证：AB+AC＞ BC2+CD2

（2）已知：如图2，在△ABC中，AB上的高为CD，试判断（AC+BC）2与AB2+4CD2之间的大小关系，并证明你的结论．

18．某市对电话费作了调整，原市话费为每3分钟0.2元（不足3分钟按3分钟计算）．调整后，前3分钟为0.2元，以后每分钟加收0.1元（不足1分钟按1分钟计算）．设通话时间x分钟时，调整前的话费为y1元，调整后的话费为y2元．

（1）当x=4，4.3，5.8时，计算对应的话费值y1、y2各为多少，并指出x在什么范围取值时，y1≤y2；

（2）当x=m（m＞5，m为常数）时，设计一种通话方案，使所需话费最小．