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二次函数知识点较多，归纳为2点
1.二次函数的基本性质：包括二次函数代数特征和几何形态
代数特征：解析式有一般式、顶点式、交点式三种形式
几何形态：抛物线开口、顶点、对称轴、截距
2.二次函数的延伸知识：
二次不等式的解法
二次方程根系关系
二次函数知识点
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数 的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是2．
⑵ 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式： 的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
的符号
开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ．
向下
时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ．
2. 的性质：
上加下减。
的符号
开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ．
向下
时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ．
3. 的性质：
左加右减。
的符号
开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上
X=h 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ．
向下
X=h 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ．
4. 的性质：
的符号
开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上
X=h 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ．
向下
X=h 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ．
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；
⑵ 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：
2. 平移规律
在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
⑴ 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成
（或 ）
⑵ 沿轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成 （或 ）
四、二次函数 与 的比较
从解析式上看， 与 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 ，其中 ．
五、二次函数 图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.
六、二次函数 的性质
1. 当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 ．
当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；当 时， 有最小值 ．
2. 当 时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 ．当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；当 时， 有最大值 ．
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式： （ ， ， 为常数， ）；
2. 顶点式： （ ， ， 为常数， ）；
3. 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数
二次函数 中， 作为二次项系数，显然 ．
⑴ 当 时，抛物线开口向上， 的值越大，开口越小，反之 的值越小，开口越大；
⑵ 当 时，抛物线开口向下， 的值越小，开口越小，反之 的值越大，开口越大．
总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数
在二次项系数 确定的前提下， 决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在 的前提下，
当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴左侧；
当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；
当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的右侧．
⑵ 在 的前提下，结论刚好与上述相反，即
当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴右侧；
当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；
当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的左侧．
总结起来，在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置．
的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 ，在 轴的右侧则 ，概括的说就是“左同右异”
总结：
3. 常数项
⑴ 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ；
⑶ 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为负．
总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置．
总之，只要 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于 轴对称
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
2. 关于 轴对称
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
3. 关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是 ；
关于原点对称后，得到的解析式是 ；
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
关于顶点对称后，得到的解析式是 ；
关于顶点对称后，得到的解析式是 ．
5. 关于点 对称
关于点 对称后，得到的解析式是
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
十、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 轴交点情况）：
一元二次方程 是二次函数 当函数值 时的特殊情况.
图象与 轴的交点个数：
① 当 时，图象与 轴交于两点 ，其中的 是一元二次方程 的两根．这两点间的距离 .
② 当 时，图象与 轴只有一个交点；
③ 当 时，图象与 轴没有交点.
当 时，图象落在 轴的上方，无论 为任何实数，都有 ；
当 时，图象落在 轴的下方，无论 为任何实数，都有 ．
2. 抛物线 的图象与 轴一定相交，交点坐标为 ， ；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数 中 ， ， 的符号，或由二次函数中 ， ， 的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
抛物线与 轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根
抛物线与 轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根
抛物线与 轴无交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 本身就是所含字母 的二次函数；下面以 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
图像参考：
十一、函数的应用
二次函数应用
二次函数考查重点与常见题型
1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：
已知以 为自变量的二次函数 的图像经过原点， 则 的值是
2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：
如图，如果函数 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 的图像大致是（ ）
y y y y
1 1
0 x o-1 x 0 x 0 -1 x
A B C D
3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：
已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为 ，求这条抛物线的解析式。
4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：
已知抛物线 （a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－32
（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。
【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
例1 （1）二次函数 的图像如图1，则点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(1) (2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．
例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1
A 1个 B. 2个 C. 3个 D．4个
答案：D
会用待定系数法求二次函数解析式
例3.已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( )
A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2)
答案：C
例4、（2006年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2．
（1）写出y与x的关系式；
（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，
三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、
对称轴.
例5、已知抛物线y= x2+x- ．
（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．
【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．
例6.已知：二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于 ， 两点 ，交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OB．
(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角∠MCO>∠ACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由．
(1)解：如图∵抛物线交x轴于点A(x1，0)，B(x2，O)，
则x1•x2=3<0，又∵x1 ∴x2>O，x1 ∴x1•x2=-3x12=-3．∴x12=1. x1<0，∴x1=-1．∴．x2=3． ∴点A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3 ∴．二次函数的解析式为y-2x2-4x-6． (2)存在点M使∠MC0<∠ACO． (2)解：点A关于y轴的对称点A’(1，O)， ∴直线A，C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)． ∴符合题意的x的范围为-1 当点M的横坐标满足-1 例7、 “已知函数 的图象经过点A（c，－2）， 求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 （1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。 （2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 [解答] （1）根据 的图象经过点A（c，－2），图象的对称轴是x=3，得 解得 所以所求二次函数解析式为 图象如图所示。 （2）在解析式中令y=0，得 ，解得 所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+ ”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是 令x=3代入解析式，得 所以抛物线 的顶点坐标为 所以也可以填抛物线的顶点坐标为 等等。 函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。 用二次函数解决最值问题 例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积． 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间． 例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表： x（元） 15 20 30 … y（件） 25 20 10 … 若日销售量y是销售价x的一次函数． （1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则 解得k=-1，b=40，即一次函数表达式为y=-x+40． （2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225． 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元． 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示) ( ) A．1．5 m B．1．625 m C．1．66 m D．1．67 m 分析：本题考查二次函数的应用 答案：B 二次函数是初中比较重点的一部分，下面我为大家总结了初中二次函数知识点，仅供大家参考。 二次函数的定义 一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数.如y=3x2，y=3x2-2，y=2x2+x-1等都是二次函数. 注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式，二次项系数a必须是非零实数，即a≠0，而b，c是任意实数，二次函数的表达式是一个整式; (2)二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，自变量x的取值范围是全体实数; (3)当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数; (4)一个函数是否是二次函数，要化简整理后，对照定义才能下结论，例如y=x2-x(x-1)化简后变为y=x，故它不是二次函数. 二次函数y=ax2的图象和性质 (1)函数y=ax2的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫抛物线.实际上所有 二次函数 的图象都是抛物线. 二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是(0，0). ①当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，在对称轴的左边，曲线自左向右下降;在对称轴的右边，曲线自左向右上升，顶点是抛物线上位置最低的点，也就是说，当a>0时，函数y=ax2具有这样的性质：当x<0时，函数y随x的增大而减小;当x>0时，函数y随x的增大而增大;当x=0时，函数y=ax2取最小值，最小值y=0; ②当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，在对称轴的左边，曲线自左向右上升;在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点是抛物线上位置最高的点.也就是说，当a<0时，函数y=ax2具有这样的性质：当x<0时，函数y随x的增大而增大;当x>0时，函数y随x的增大而减小;当x=0时，函数y=ax2取最大值，最大值y=0; ③当|a|越大时，抛物线的开口越小，当|a|越小时，抛物线的开口越大. (2)二次函数y=ax2的表达式的确定 因为二次函数y=ax2中只含有一个需待定的系数a，所以只需给出x与y的一对对应值即可求出a的值. 抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。 以上就是我为大家总结的初中 数学 二次函数知识点，仅供参考，希望对大家有所帮助。 九年级数学学习对我们来说很关键，因此必须掌握好课堂上学习的数学知识，而数学思维导图可以帮助我们更好的学习。下面我精心整理了九年纪上的数学思维导图，供大家参考，希望你们喜欢! 九年纪上的数学思维导图欣赏初三二次函数知识点归纳
二次函数知识点归纳思维导图
二次函数知识点较多，归纳为2点
1.二次函数的基本性质：包括二次函数代数特征和几何形态
代数特征：解析式有一般式、顶点式、交点式三种形式
几何形态：抛物线开口、顶点、对称轴、截距
2.二次函数的延伸知识：
二次不等式的解法
二次方程根系关系
二次函数知识点
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数 的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是2．
⑵ 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式： 的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
的符号
开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ．
向下
时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ．
2. 的性质：
上加下减。
的符号
开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ．
向下
时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ．
3. 的性质：
左加右减。
的符号
开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上
X=h 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ．
向下
X=h 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ．
4. 的性质：
的符号
开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上
X=h 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ．
向下
X=h 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ．
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；
⑵ 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：
2. 平移规律
在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
⑴ 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成
（或 ）
⑵ 沿轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成 （或 ）
四、二次函数 与 的比较
从解析式上看， 与 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 ，其中 ．
五、二次函数 图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.
六、二次函数 的性质
1. 当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 ．
当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；当 时， 有最小值 ．
2. 当 时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 ．当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；当 时， 有最大值 ．
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式： （ ， ， 为常数， ）；
2. 顶点式： （ ， ， 为常数， ）；
3. 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数
二次函数 中， 作为二次项系数，显然 ．
⑴ 当 时，抛物线开口向上， 的值越大，开口越小，反之 的值越小，开口越大；
⑵ 当 时，抛物线开口向下， 的值越小，开口越小，反之 的值越大，开口越大．
总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数
在二次项系数 确定的前提下， 决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在 的前提下，
当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴左侧；
当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；
当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的右侧．
⑵ 在 的前提下，结论刚好与上述相反，即
当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴右侧；
当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；
当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的左侧．
总结起来，在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置．
的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 ，在 轴的右侧则 ，概括的说就是“左同右异”
总结：
3. 常数项
⑴ 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ；
⑶ 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为负．
总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置．
总之，只要 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于 轴对称
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
2. 关于 轴对称
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
3. 关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是 ；
关于原点对称后，得到的解析式是 ；
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
关于顶点对称后，得到的解析式是 ；
关于顶点对称后，得到的解析式是 ．
5. 关于点 对称
关于点 对称后，得到的解析式是
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
十、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 轴交点情况）：
一元二次方程 是二次函数 当函数值 时的特殊情况.
图象与 轴的交点个数：
① 当 时，图象与 轴交于两点 ，其中的 是一元二次方程 的两根．这两点间的距离 .
② 当 时，图象与 轴只有一个交点；
③ 当 时，图象与 轴没有交点.
当 时，图象落在 轴的上方，无论 为任何实数，都有 ；
当 时，图象落在 轴的下方，无论 为任何实数，都有 ．
2. 抛物线 的图象与 轴一定相交，交点坐标为 ， ；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数 中 ， ， 的符号，或由二次函数中 ， ， 的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
抛物线与 轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根
抛物线与 轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根
抛物线与 轴无交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 本身就是所含字母 的二次函数；下面以 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
图像参考：
十一、函数的应用
二次函数应用
二次函数考查重点与常见题型
1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：
已知以 为自变量的二次函数 的图像经过原点， 则 的值是
2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：
如图，如果函数 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 的图像大致是（ ）
y y y y
1 1
0 x o-1 x 0 x 0 -1 x
A B C D
3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：
已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为 ，求这条抛物线的解析式。
4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：
已知抛物线 （a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－32
（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。
【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
例1 （1）二次函数 的图像如图1，则点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(1) (2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．
例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1
A 1个 B. 2个 C. 3个 D．4个
答案：D
会用待定系数法求二次函数解析式
例3.已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( )
A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2)
答案：C
例4、（2006年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2．
（1）写出y与x的关系式；
（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，
三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、
对称轴.
例5、已知抛物线y= x2+x- ．
（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．
【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．
例6.已知：二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于 ， 两点 ，交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OB．
(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角∠MCO>∠ACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由．
(1)解：如图∵抛物线交x轴于点A(x1，0)，B(x2，O)，
则x1•x2=3<0，又∵x1 ∴x2>O，x1 ∴x1•x2=-3x12=-3．∴x12=1. x1<0，∴x1=-1．∴．x2=3． ∴点A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3 ∴．二次函数的解析式为y-2x2-4x-6． (2)存在点M使∠MC0<∠ACO． (2)解：点A关于y轴的对称点A’(1，O)， ∴直线A，C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)． ∴符合题意的x的范围为-1 当点M的横坐标满足-1 例7、 “已知函数 的图象经过点A（c，－2）， 求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 （1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。 （2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 [解答] （1）根据 的图象经过点A（c，－2），图象的对称轴是x=3，得 解得 所以所求二次函数解析式为 图象如图所示。 （2）在解析式中令y=0，得 ，解得 所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+ ”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是 令x=3代入解析式，得 所以抛物线 的顶点坐标为 所以也可以填抛物线的顶点坐标为 等等。 函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。 用二次函数解决最值问题 例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积． 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间． 例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表： x（元） 15 20 30 … y（件） 25 20 10 … 若日销售量y是销售价x的一次函数． （1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则 解得k=-1，b=40，即一次函数表达式为y=-x+40． （2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225． 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元． 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示) ( ) A．1．5 m B．1．625 m C．1．66 m D．1．67 m 分析：本题考查二次函数的应用 答案：B 二次函数是初中比较重点的一部分，下面我为大家总结了初中二次函数知识点，仅供大家参考。 二次函数的定义 一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数.如y=3x2，y=3x2-2，y=2x2+x-1等都是二次函数. 注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式，二次项系数a必须是非零实数，即a≠0，而b，c是任意实数，二次函数的表达式是一个整式; (2)二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，自变量x的取值范围是全体实数; (3)当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数; (4)一个函数是否是二次函数，要化简整理后，对照定义才能下结论，例如y=x2-x(x-1)化简后变为y=x，故它不是二次函数. 二次函数y=ax2的图象和性质 (1)函数y=ax2的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫抛物线.实际上所有 二次函数 的图象都是抛物线. 二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是(0，0). ①当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，在对称轴的左边，曲线自左向右下降;在对称轴的右边，曲线自左向右上升，顶点是抛物线上位置最低的点，也就是说，当a>0时，函数y=ax2具有这样的性质：当x<0时，函数y随x的增大而减小;当x>0时，函数y随x的增大而增大;当x=0时，函数y=ax2取最小值，最小值y=0; ②当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，在对称轴的左边，曲线自左向右上升;在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点是抛物线上位置最高的点.也就是说，当a<0时，函数y=ax2具有这样的性质：当x<0时，函数y随x的增大而增大;当x>0时，函数y随x的增大而减小;当x=0时，函数y=ax2取最大值，最大值y=0; ③当|a|越大时，抛物线的开口越小，当|a|越小时，抛物线的开口越大. (2)二次函数y=ax2的表达式的确定 因为二次函数y=ax2中只含有一个需待定的系数a，所以只需给出x与y的一对对应值即可求出a的值. 抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。 以上就是我为大家总结的初中 数学 二次函数知识点，仅供参考，希望对大家有所帮助。 九年级数学学习对我们来说很关键，因此必须掌握好课堂上学习的数学知识，而数学思维导图可以帮助我们更好的学习。下面我精心整理了九年纪上的数学思维导图，供大家参考，希望你们喜欢! 九年纪上的数学思维导图欣赏初三二次函数知识点归纳
二次函数知识点归纳思维导图
