赚现金
正弦定理
证明
步骤1
在锐角△abc中，设bc=a，ac=b，ab=c。作ch⊥ab垂足为点h
ch=a·sinb
ch=b·sina
∴a·sinb=b·sina
得到
a/sina=b/sinb
同理，在△abc中，
b/sinb=c/sinc
步骤2.
证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：
如图，任意三角形abc,作abc的外接圆o.
作直径bd交⊙o于d.
连接da.
因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠dab=90度
因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠d等于∠c.
所以c/sinc=c/sind=bd=2r
类似可证其余两个等式。
余弦定理
平面几何证法
在任意△abc中
做ad⊥bc.
∠c所对的边为c，∠b所对的边为b，∠a所对的边为a
则有bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c
根据勾股定理可得：
ac2=ad2+dc2
b2=(sinb*c)2+(a-cosb*c)2
b2=(sinb*c)2+a2-2ac*cosb+(cosb)2*c2
b2=(sinb2+cosb2)*c2-2ac*cosb+a2
b2=c2+a2-2ac*cosb
cosb=(c2+a2-b2)/2ac 由正弦定理：a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2R，
得：a/（2R）＝sinA，b/（2R）＝sinB，c/（2R）＝sinC。
进而得：（a^2＋b^2－2ab×cosC）/（2R）^2＝（sinA）^2＋（sinB）^2－2sinAsinBcosC
＝（sinA）^2＋（sinB）^2－2sinAsinBcos（180°－A－B）
＝（sinA）^2＋（sinB）^2＋2sinAsinBcos（A＋B）
＝（sinA）^2＋（sinB）^2＋2sinAsinB（cosAcosB－sinAsinB）
＝（sinA）^2＋（sinB）^2＋2sinAsinBcosAcosB－2（sinAsinB）^2
＝［（sinA）^2－（sinAsinB）^2］＋［（sinB）^2－（sinAsinB）^2］＋2sinAcosBcosAsinB
＝（sinA）^2［1－（sinB）^2］＋（sinB）^2［1－（sinA）^2］＋2sinAcosBcosAsinB
＝（sinAcosB）^2＋（cosAsinB）^2＋2sinAcosBcosAsinB
＝（sinAcosB＋cosAsinB）^2
＝［sin（A＋B）］^2
＝［sin（180°－C）］^2
＝（sinC）^2
＝c^2/（2R）^2
两边同时乘以（2R）^2，得：a^2＋b^2－2ab×cosC＝c^2
浙江师范大学与浙江省丽水市的两所中学合作开展一年的校本教研培训活动,培训形式除了专家讲学外,大量的是“同课异构”式的教研活动·笔者在参加“同课异构”活动:《正弦定理、余弦定理复习》时深感高中数学新教材实施在许多省已经好几年了,关于课程、教材、教法的研究成果已有很多,但关于新教材中如何上复习课这个问题,却为研究者所忽略·一线教师常说:复习课?还会有什么新花样?以下是我们的思考与实践·1注重数学知识产生、发展的过程许多教师认为:知识产生、发展的过程这是在上新课过程中应该关注的,复习课如何体现?其实不然,对数学知识产生、发展过程的复习更加有利于贯串知识点,提高应用能力,从而深层次地理解问题的背景·如在《正弦定理、余弦定理复习》的教学设计中笔者以开放性问题:“请同学们思考‘在三角形中给出哪几个条件(边、角)三角形的形状可以确定?如何确定?’”·学生非常感兴趣,很自然地探究:已知三边如何解三角形,已知两边及夹角如何解三角形,已知两边及一边的对角如何解三角形,已知两角一边如何解三角形·学生不仅会自觉复习正弦、余弦定理的基本内容,而且会从更深层次去理解:给定条件三角形解...... (本文共计2页) [继续阅读本文] 赞
1.高三下册数学教案范例
教学目标
进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.
教学重难点
教学重点：熟练运用定理.
教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.
设任意三角形△ABC，角A、B、C的对边分别记作a、b、c，则可得到正弦定理、余弦定理的公式及其推论如下。
正弦定理公式及其推论
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等。
正弦定理
证明
步骤1
在锐角△abc中，设bc=a，ac=b，ab=c。作ch⊥ab垂足为点h
ch=a·sinb
ch=b·sina
∴a·sinb=b·sina
得到
a/sina=b/sinb
同理，在△abc中，
b/sinb=c/sinc
步骤2.
证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：
如图，任意三角形abc,作abc的外接圆o.
作直径bd交⊙o于d.
连接da.
因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠dab=90度
因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠d等于∠c.
所以c/sinc=c/sind=bd=2r
类似可证其余两个等式。
余弦定理
平面几何证法
在任意△abc中
做ad⊥bc.
∠c所对的边为c，∠b所对的边为b，∠a所对的边为a
则有bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c
根据勾股定理可得：
ac2=ad2+dc2
b2=(sinb*c)2+(a-cosb*c)2
b2=(sinb*c)2+a2-2ac*cosb+(cosb)2*c2
b2=(sinb2+cosb2)*c2-2ac*cosb+a2
b2=c2+a2-2ac*cosb
cosb=(c2+a2-b2)/2ac 由正弦定理：a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2R，
得：a/（2R）＝sinA，b/（2R）＝sinB，c/（2R）＝sinC。
进而得：（a^2＋b^2－2ab×cosC）/（2R）^2＝（sinA）^2＋（sinB）^2－2sinAsinBcosC
＝（sinA）^2＋（sinB）^2－2sinAsinBcos（180°－A－B）
＝（sinA）^2＋（sinB）^2＋2sinAsinBcos（A＋B）
＝（sinA）^2＋（sinB）^2＋2sinAsinB（cosAcosB－sinAsinB）
＝（sinA）^2＋（sinB）^2＋2sinAsinBcosAcosB－2（sinAsinB）^2
＝［（sinA）^2－（sinAsinB）^2］＋［（sinB）^2－（sinAsinB）^2］＋2sinAcosBcosAsinB
＝（sinA）^2［1－（sinB）^2］＋（sinB）^2［1－（sinA）^2］＋2sinAcosBcosAsinB
＝（sinAcosB）^2＋（cosAsinB）^2＋2sinAcosBcosAsinB
＝（sinAcosB＋cosAsinB）^2
＝［sin（A＋B）］^2
＝［sin（180°－C）］^2
＝（sinC）^2
＝c^2/（2R）^2
两边同时乘以（2R）^2，得：a^2＋b^2－2ab×cosC＝c^2
浙江师范大学与浙江省丽水市的两所中学合作开展一年的校本教研培训活动,培训形式除了专家讲学外,大量的是“同课异构”式的教研活动·笔者在参加“同课异构”活动:《正弦定理、余弦定理复习》时深感高中数学新教材实施在许多省已经好几年了,关于课程、教材、教法的研究成果已有很多,但关于新教材中如何上复习课这个问题,却为研究者所忽略·一线教师常说:复习课?还会有什么新花样?以下是我们的思考与实践·1注重数学知识产生、发展的过程许多教师认为:知识产生、发展的过程这是在上新课过程中应该关注的,复习课如何体现?其实不然,对数学知识产生、发展过程的复习更加有利于贯串知识点,提高应用能力,从而深层次地理解问题的背景·如在《正弦定理、余弦定理复习》的教学设计中笔者以开放性问题:“请同学们思考‘在三角形中给出哪几个条件(边、角)三角形的形状可以确定?如何确定?’”·学生非常感兴趣,很自然地探究:已知三边如何解三角形,已知两边及夹角如何解三角形,已知两边及一边的对角如何解三角形,已知两角一边如何解三角形·学生不仅会自觉复习正弦、余弦定理的基本内容,而且会从更深层次去理解:给定条件三角形解...... (本文共计2页) [继续阅读本文] 赞
1.高三下册数学教案范例
教学目标
进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.
教学重难点
教学重点：熟练运用定理.
教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.
设任意三角形△ABC，角A、B、C的对边分别记作a、b、c，则可得到正弦定理、余弦定理的公式及其推论如下。
正弦定理公式及其推论
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等。
