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简介：高中数学优质资料下载，包括：试题试卷、课件、教材、视频、各大名师网校合集。 第一章 集合(jihe)与函数概念

一、集合(jihe)有关概念

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素.

2、集合的中元素的三个特性：

1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性

说明：(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素.

(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素.

(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样.

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性.

3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

2．集合的表示方法：列举法与描述法.

注意啊：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集） 记作：N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

关于“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如：a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 a∈A ,相反,a不属于集合A 记作 aA

列举法：把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上.

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2}

4、集合的分类：

1．有限集 含有有限个元素的集合

2．无限集 含有无限个元素的集合

3．空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意： 有两种可能（1）A是B的一部分,；（2）A与B是同一集合.

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

2．“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5)

实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”

结论：对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即：A=B

① 任何一个集合是它本身的子集.AA

②真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)

③如果 AB, BC ,那么 AC

④ 如果AB 同时 BA 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.

三、集合的运算

1．交集的定义：一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．

记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}．

2、并集的定义：一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作：A∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}．

3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A,

A∪φ= A ,A∪B = B∪A.

4、全集与补集

（1）补集：设S是一个集合,A是S的一个子集（即 ）,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集（或余集）

记作： CSA 即 CSA ={x  xS且 xA}

（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集.通常用U来表示.

（3）性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U

二、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x),x∈A．其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

注意：○2如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．

定义域补充

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域.)

2． 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关.相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)

(见课本21页相关例2)

值域补充

(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础.

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．

C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }

图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.

(2) 画法

A、描点法：根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

B、图象变换法（请参考必修4三角函数）

常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换

(3)作用：

1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路.提高解题的速度.

发现解题中的错误.

4．快去了解区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．

5．什么叫做映射

一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射.记作“f：A B”

给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象

说明：函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说,则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.

6． 常用的函数表示法及各自的优点：

○1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据；○2 解析法：必须注明函数的定义域；○3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；○4 列表法：选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征．

注意啊：解析法：便于算出函数值.列表法：便于查出函数值.图象法：便于量出函数值

补充一：分段函数 （参见课本P24-25）

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数.在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式.分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集．

补充二：复合函数

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为f、g的复合函数.

例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)

公式一：

设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：

设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosα

cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα

(以上k∈Z)

诱导公式记忆口诀

※规律总结※

上面这些诱导公式可以概括为：

对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值,

①当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变；

②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.

（奇变偶不变）

然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号.

（符号看象限）

例如：

sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α),k＝4为偶数,所以取sinα.

当α是锐角时,2π－α∈(270°,360°),sin(2π－α)＜0,符号为“－”.

所以sin(2π－α)＝－sinα

上述的记忆口诀是：

奇变偶不变,符号看象限.

公式右边的符号为把α视为锐角时,角k·360°+α（k∈Z）,-α、180°±α,360°-α

所在象限的原三角函数值的符号可记忆

水平诱导名不变；符号看象限.

各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”．

这十二字口诀的意思就是说：

第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；

第二象限内只有正弦是“＋”,其余全部是“－”；

第三象限内切函数是“＋”,弦函数是“－”；

第四象限内只有余弦是“＋”,其余全部是“－”．

其他三角函数知识：

同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式

倒数关系:

tanα ·cotα＝1

sinα ·cscα＝1

cosα ·secα＝1

商的关系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

平方关系：

sin^2(α)＋cos^2(α)＝1

1＋tan^2(α)＝sec^2(α)

1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

同角三角函数关系六角形记忆法

六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）

构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型.

（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；

（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积.

（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）.由此,可得商数关系式.

（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方.

两角和差公式

⒉两角和与差的三角函数公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ

tan（α＋β）＝——————

1－tanα ·tanβ

tanα－tanβ

tan（α－β）＝——————

1＋tanα ·tanβ

倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

2tanα

tan2α＝—————

1－tan^2(α)

半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

1－cosα

sin^2(α/2)＝—————

1＋cosα

cos^2(α/2)＝—————

1－cosα

tan^2(α/2)＝—————

1＋cosα

万能公式

⒌万能公式

2tan(α/2)

sinα＝——————

1＋tan^2(α/2)

1－tan^2(α/2)

cosα＝——————

1＋tan^2(α/2)

2tan(α/2)

tanα＝——————

1－tan^2(α/2)

万能公式推导

附推导：

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α)).*,

（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）

再把*分式上下同除cos^2(α),可得sin2α＝tan2α/(1＋tan^2(α))

然后用α/2代替α即可.

同理可推导余弦的万能公式.正切的万能公式可通过正弦比余弦得到.

三倍角公式

⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin3α＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

3tanα－tan^3(α)

tan3α＝——————

1－3tan^2(α)

三倍角公式推导

附推导：

tan3α＝sin3α/cos3α

＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)

上下同除以cos^3(α),得：

tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα

＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα

＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α)

＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα

＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)

＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))

＝4cos^3(α)－3cosα

sin3α＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

三倍角公式联想记忆

记忆方法：谐音、联想

正弦三倍角：3元 减 4元3角（欠债了(被减成负数),所以要“挣钱”(音似“正弦”)）

余弦三倍角：4元3角 减 3元（减完之后还有“余”）

☆☆注意函数名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦表示.

和差化积公式

⒎三角函数的和差化积公式

α＋β α－β

sinα＋sinβ＝2sin—----·cos—---

2 2

α＋β α－β

sinα－sinβ＝2cos—----·sin—----

2 2

α＋β α－β

cosα＋cosβ＝2cos—-----·cos—-----

2 2

α＋β α－β

cosα－cosβ＝－2sin—-----·sin—-----

2 2

积化和差公式

⒏三角函数的积化和差公式

sinα ·cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

cosα ·sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]

cosα ·cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]

sinα ·sinβ＝－ 0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]

和差化积公式推导

附推导：

首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.

我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

向量的运算

加法运算

AB＋BC＝AC,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则.

已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB,以OA、OB为邻边作平行四边形OACB,则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和,这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则.

对于零向量和任意向量a,有：0＋a＝a＋0＝a.

|a＋b|≤|a|＋|b|.

向量的加法满足所有的加法运算定律.

减法运算

与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,－(－a)＝a,零向量的相反向量仍然是零向量.

（1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0（2）a－b＝a＋(－b).

数乘运算

实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,|λa|＝|λ||a|,当λ > 0时,λa的方向和a的方向相同,当λ < 0时,λa的方向和a的方向相反,当λ = 0时,λa = 0.

设λ、μ是实数,那么：（1）(λμ)a = λ(μa)（2）(λ + μ)a = λa + μa（3）λ(a ± b) = λa ± λb（4）(－λ)a =－(λa) = λ(－a).

向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算.

向量的数量积

已知两个非零向量a、b,那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积,记作a•b,θ是a与b的夹角,|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影.零向量与任意向量的数量积为0.

a•b的几何意义：数量积a•b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

高中数学题

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简介：高中数学优质资料下载，包括：试题试卷、课件、教材、视频、各大名师网校合集。 高中数学必做100题—必修部分

（说明：《必修1》共精选16题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.必修1》精选）

1. 试选择适当的方法表示下列集合：

（1）函数的函数值的集合； （2）与的图象的交点集合.

2. 已知集合，，求,,,.（◎P1410）

3. 设全集，，. 求，，，. 由上面的练习，你能得出什么结论？请结合Venn图进行分析. （◎P12例8改编）

4. 设集合，. （◎P14 B4改编）

（1）求，； （2）若，求实数a的值；

（3）若，则的真子集共有 个, 集合P满足条件，写出所有可能的P.

5. 已知函数.（1）求的定义域与值域（用区间表示）；（2）求证在上递减.

6. 已知函数，求、、的值.（◎P49 B4）

7. 已知函数. （☆P16 8题）

（1）证明在上是减函数;（2）当时，求的最大值和最小值.

8.已知函数其中． （◎P84 4）

（1）求函数的定义域； （2）判断的奇偶性，并说明理由；

（3）求使成立的的集合.

9. 已知函数. （☆P37例2）

（1）判断的奇偶性； （2）若，求a，b的值.

10. 对于函数.

（1）探索函数的单调性；（2）是否存在实数a使得为奇函数. （◎P91 B3）

11. （1）已知函数图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点. （☆P40 8）

－2

－1.5

－1

－0.5

0.5

1.5

f (x)

－3.51

1.02

2.37

1.56

－0.38

1.23

2.77

3.45

4.89

（2）已知二次方程的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求的取值范围. （☆P40 9）

12. 某商场经销一批进货单价为40元的商品，销售单价与日均销售量的关系如下表：

销售单价/元

50

51

52

53

54

55

56

日均销售量/个

48

46

44

42

40

38

36

为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？（☆P49例1）

13. 家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式，其中是臭氧的初始量. （1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？ （参考数据：） （☆P44 9）

14. 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据. 用一个函数模拟产品的月产量与月份数的关系，模拟函数可选用二次函数（其中为常数，且）或指数型函数（其中为常数），已知4月份该产品产量为1.37万件，请问用上述哪个函数模拟较好？说明理由.（☆P51例2）

15. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为. 试求函数的解析式,并画出函数的图象. （◎P126B2）

16. 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线.

（1）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t)； （2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？（☆P45例3）

（说明：《必修2》共精选16题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.必修2》精选）

1. 在圆锥底面半径为1 cm，高为cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.（☆P3例3）

2. 如图（单位：cm），求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积. （☆P15例2）

3. 直角三角形三边长分别是、、，绕三边旋转一周分别形成三个几何体. 想象并说出三个几何体的结构，画出它们的三视图，求出它们的表面积和体积. （◎P36 10）

4. 已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且.

求证：（1）E、F、G、H四点共面；

（2）三条直线EF、GH、AC交于一点. （☆P21例3）

5. 如图，∥∥，直线与分别交,,于点和点，

求证：. （◎P63B3）

6. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中. （◎P79B2）

求证：（1）B1D⊥平面A1C1B；

（2）B1D与平面A1C1B的交点设为O，则点O是△A1C1B的垂心.

7.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.

（1）求证：；

（2）求证：平面；（3）求二面角的大小.（☆P38 9）

8.已知，，，求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．（◎P90 8）

9. 求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程. （◎P1009）

10. 三角形的三个顶点是A（4，0）、B（6，7）、C（0，3）. （◎P101 B1）

（1）求BC边上的高所在直线的方程； （2）求BC边上的中线所在直线的方程；

（3）求BC边的垂直平分线的方程．

11. 在x轴上求一点，使以点、和点P为顶点的三角形的面积为10.（◎P110 B5）

12. 过点有一条直线l，它夹在两条直线与之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程. （◎P115 B8）

13. 的三个顶点的坐标分别是、、，求它的外接圆的方程. （◎P119例2）

14. 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆上运动，求线段AB的中点轨迹方程. （◎P122例5）

15. 过点的直线l被圆所截得的弦长为，求直线l方程. （◎P127例2）

16. 求圆心在直线上，并且经过圆与圆的交点的圆的方程. （◎P1324）

（说明：《必修3》共精选8题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.必修3》精选）

1. 设计一个算法求的值，并画出程序框图. （◎P20 2）

2. 对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下. （☆P15例3）

寿命（h）

100～200

200～300

300～400

400～500

500～600

个 数

20

30

80

40

30

（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计元件寿命在100～400 h以内的在总体中占的比例；（4）估计电子元件寿命在400h以上的在总体中占的比例.

3. 甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下（单位：cm）： （☆P17例3）

甲：25 41 40 37 22 14 1939 21 42

乙：27 16 44 27 44 16 4040 16 40

问：（1）哪种玉米的苗长得高？（2）哪种玉米的苗长得齐？

4. 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料： （☆P22 8）

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求：

（1）回归直线方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？（参考：）

5. 在一次商贸交易会上，商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖.

（1）若抽奖规则是从一个装有6个红球和4个白球的袋中无放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率； （2）若甲计划在9：00～9：40之间赶到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率.

6. （2008年韶关模拟）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，…后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；

（3）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；

（3）从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们选在同一组的概率.

7.（08年广东卷.文）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：

初一年级

初二年级

初三年级

女生

373

男生

377

370

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.

（1）求x的值； （2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？

（3）已知y245, z245,求初三年级中女生比男生多的概率.

8.（09年广东卷.文）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图.

（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；

（2）计算甲班的样本方差；

（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率

（说明：《必修4》共精选16题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.必修4》精选）

1. 已知角a的终边经过P(4,-3).

（1）求2sina－cosa的值； （2）求角a的终边与单位圆的交点P的坐标.

2. 已知，计算： （◎P29 B2）

（1）； （2）； （3）； （4）.

3. 求函数的定义域、周期和单调区间. （◎P44例2）

4. 已知tanα＝，计算： （◎P71 4）

（1）； （2）.

5. 画函数y＝3sin(2x＋)，x∈R简图，并说明此函数图象怎样由变换而来. （☆P15例1）

6. 某正弦交流电的电压（单位V）随时间t（单位：s）变化的函数关系是 （◎P58 4改编）

（1）求该正弦交流电电压的周期、频率、振幅； （2）当，时，求瞬时电压；

（3）将此电压加在激发电压、熄灭电压均为84V的霓虹灯的两端，求在半个周期内霓虹灯管点亮的时间？（说明：加在霓虹灯管两端电压大于84V时灯管才发光. 取）

7. 平面上三个力、、作用于一点且处于平衡状态，，，与的夹角为，求：（1）的大小； （2）与夹角的大小. （◎P113 4）

8. 已知，，

（1）求与的夹角；（2）若，且，试求.

9. 已知，，求的值. （◎P138 17）

10. 已知，，，，求的值. （◎P146 2）

11. （1）已知，，求的值； （◎P146 7）

（2）已知，，求的值. （◎P147 B2）

12. 已知函数. （◎P147 9）

（1）求它的递减区间； （2）求它的最大值和最小值.

13. 已知函数. （◎P147 10）

（1）求的最小正周期； （2）当时，求的最小值以及取得最小值时x的集合.

14. 已知函数的最大值为1. （◎P147 12）

（1）求常数a的值； （2）求使成立的x的取值集合.

15.（2009年广东卷.理16）已知向量与互相垂直，其中．

（1）求和的值； （2）若，求的值.

16. 已知，且.

（1）求 及； （2）求函数的最小值.

（说明：《必修5》共精选16题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.必修5》精选）

1. 在△ABC中，已知，，B=45°，求A、C及c. （☆P4 8）

2. 在△ABC中，若，判断△ABC的形状.（☆P6 3）

3. 在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且a2＋b2＝c2＋ab.

（1）求C； （2）若，求A． （☆P6 8）

4. 如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于C，D，已知△ACD为边长等于a的正三角形．当目标出现于B时，测得∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，试求炮击目标的距离AB．（☆P8 8）

5. 如图，一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10千米，速度为180千米/小时，飞行员先看到山顶的俯角为，经过2分钟后又看到山顶的俯角为，求山顶的海拔高度. （☆P9例2）

6. 已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出.

（1）写出这个数列的前5项； （2）利用上面的数列，通过公式构造一个新的数列，试写出数列的前5项. （◎P34B3）

7. 已知数列的前项和为，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？（◎P44例3）

8.（09年福建卷.文17）等比数列中，已知. （☆P38 8）

（1）求数列的通项公式；

（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和.

9. 若一等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它的前15项的和等于多少？（◎P58 2）

10. 已知数列的前项和为，. （☆P32 9）

（1）求 （2）求证：数列是等比数列.

11. 已知不等式的解集为A，不等式的解集是B.（☆P42 9）

（1）求；（2）若不等式的解集是 求的解集.

12. 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏. 为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？ （◎P81 6）

13. 电视台应某企业之约播放两套连续剧. 其中，连续剧甲每次播放时间为80 min，广告时间为1 min，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40 min，广告时间为1 min，收视观众为20万. 已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6 min广告，而电视台每周播放连续剧的时间不能超过320分钟. 问两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收视率? （◎P93 3）

14. 已知为正数. （☆P52 8）

（1）若，求的最小值；（2）若，求的最大值.

15. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3 m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？（◎P99例2）

16. 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：．

（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？

（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？

（说明：《选修1-1》共精选12题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.选修1-1》精选）

1. 已知 , , 若的必要不充分条件，求实数的取值范围. （☆P6 9）

2. 点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求M的轨迹.（◎P41例6）

3. 双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，求此双曲线的方程.（◎P68 4）

4. 倾斜角的直线l过抛物线焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB长. （◎P61例4）

5. 当从到变化时，方程表示的曲线的形状怎样变换？（◎P68 5）

6. 一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米.

（1）建立如图所示的平面直角坐标系xoy，试求拱桥所在抛物线的方程；

（2）若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？

7. 已知椭圆C的焦点分别为F1（，0）和F2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点. 求：（1）线段AB的中点坐标； （2）弦AB的长.

8. 在抛物线上求一点P，使得点P到直线的距离最短, 并求最短距离.

9. 点M是椭圆上的一点，F1、F2是左右焦点，∠F1MF2=60º，

求△F1MF2的面积.

10. （06年江苏卷）已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）. （☆P21例4）

（1）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；

（2）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。

11. 已知函数（为自然对数的底）.

（1）求函数的单调递增区间； （2）求曲线在点处的切线方程.

12. 设函数.

（1）求函数f(x)的单调区间； （2）求函数f(x)的极大值和极小值.

13.（06年福建卷）已知函数的图象在点处的切线方程为.

（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间. （☆P50 8）

14. 已知a为实数，. （1）求导数；

（2）若，求在上的最大值和最小值；

（3）若在和上都是增函数，求a的取值范围. （☆P45例3）

15.（2005年全国卷III.文）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少? （☆P47例1）

16.（2006年江西卷）已知函数在与时都取得极值，（☆P49例2）

（1）求a、b的值与函数的单调区间；（2）若对时，不等式恒成立，求c的范围.

（说明：《选修1-2》共精选12题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.选修1-2》精选）

1. 某种产品的广告费用支出（万元）与销售额（万元）之间有如下的对应数据：

30

40

60

50

70

（1）画出散点图；

（2）求回归直线方程；

（3）据此估计广告费用为9万元时，销售收入的值．

参考公式：回归直线的方程，其中.

2. 甲乙两个班级均为40人，进行一门考试后，按学生考试成绩及格与不及格进行统计，甲班及格人数为36人，乙班及格人数为24人.

（1）根据以上数据建立一个的列联表；（2）试判断是否成绩与班级是否有关？ （◎P17练习改编）

参考公式：；

P(K2>k)

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.84

5.024

6.635

7.879

10.83

3. 已知，分别求，，，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.

4. （1）若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积，根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为，则此四面体的体积V= .

（2）（2003年全国卷）在平面几何里有勾股定理：“设的两边互相垂直，则.” 拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积之间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥的三侧面两两垂直，则 .”

5. 试分别用综合法、分析法、反证法等三种方法，证明下列结论：已知，则.

6．已知，，的等差中项，是的等比中项.

求证：（1）； （2）. （☆P18 9，◎P43例6）

7.（1）已知，，，求z. （◎P65 3）

（2）已知，求z及.（◎P65B1）

8. 已知z是复数，z+2i、均为实数，且复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.

9. [理]如图，PD垂直正方形ABCD所在平面，AB＝2，E是PB的中点，，）．

（1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标；

（2）在平面PAD内求一点F，使EF⊥平面PCB．

10. [理]（07年北京高考.理18）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．

（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；

（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．

（3）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．

11. [理]数列满足．（为前n项和）

（1）计算，并由此猜想；（2）用数学归纳法证明（1）中的结论．

12. [理]（2007年宁夏、海南.理）设函数．

（1）解不等式； （2）求函数的最小值．

高中数学教材人教版答案

1 (1) ｛ß/ß= π／4 +2κπ ,κ属于z｝ -4π/7 , π/4 , 9π/4

(2) ｛β/β=-2π/3+2kπ , k属于z｝ -2π/3 , 4π/3 , 10π/3

(3) ｛β/β=-12π/5+2κπ , k属于z｝ -8π/5 , 2π/5 , 12π/5

(4) ｛β/β=2kπ ， k属于z｝ -2π ， 0 ， 2π

2 周长约为44㎝ ； 面积约为1.1×10²㎝。

(可先将角度转化成弧度,再利用弧度制下的弧长公式和面积公式求解)。

3 ⑴负 ⑵正 ⑶负 ⑷正

(将角的弧度数转化成含有π形式或度,在判断)

4 当θ为第一象限时，sinθ=根号15/4 tanθ=根号15

当θ为第四象限时，sinθ= - 根号15/4 tanθ= - 根号15

（先求sinθ值，再求tanθ值）

5 当χ为第一象限角时，tanχ=2 ，cosχ=根号5/5 ， sinχ=2倍的根号5/2

当χ为第二象限角时，tanx=2 ， cosx= - 根号5/5 ，sinx= - 2倍的根号5/5

6 cos4a

（现将原式变为sin²a（sin²a－1）+cos²a。）

7 左边=2－2sina+2cosa－2sina·cosa

=1+sin²a+cos²a－2sina+2cosa－2sin·cosa

=右边

左边=sin²a·（1－sin²β）+sin²β+cos²a·cos²β

=cos²β·（sin²a+cos²a）+sin²β

=1 =右边

8 ⑴5/7 ⑵3/10 ⑶8/5

（第二题可由sin²a比cos²a=tan²a=9 ，得到cos²a=1/10，所以

sina·cosa=tana·cos²a=3/10）

9 ⑴ 0 ⑵ 1.0771

10 当a为第一象限角时，cos（2π－a）=根号3/2

当a为第二象限角时，cos（2π－a）= - 根号3/2

当a为第一象限角时，tan（a－7π）=根号3/3

当a为第二象限角时，tan（a－7π）= - 根号3/3

11 ⑴ tan1111°=0.601， sin378°21′=0.315， cos642.5°=0.216

⑵sin（-879°)= - 0.318，tan（-33π/8）= - 0.414， cos（-13π/10）= - 0.588

⑶sin3=0.141， cos（sin2）=0.614

（本题的要求是先估计各三角函数值的大小，再求值）

12 x 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 7π/4 11π/6

sinx -1/2 -根号2/2 -根号3/2 -1 -根号2/2 -1/2

cosx - 根号3/2 -根号2/2 -1/2 0 根号2/2 根号3/2

tanx 根号3/3 -1 根号3 不存在 -1 -根号3/2 感谢下面的= = ~~能顺便提供P70的答案么？-