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初中数学竞赛定理目录
1、正弦定理:△ABC，设3条边分别为a、b、c，则a/sinA=b/sinB=c/sinC= 2r。
(R是外接圆的半径)
2、余弦定理:△ABC，设3边为a、b、c，则a * 2=b * 2+c * 2- 2bcosa。
b * 2= 2+c * 2-2 accosb
c * 2=b * 2+a * 2-2 bacosb
3、面积公式:
S=1/ 2absinc =1/ 2acsinb =1/ 2bcsina =abc/(4r)。
a。
b、c分别是三角形的三条边，A是边b、c的角，其他类似。R是外接圆的半径。)
设三角形的三条边为a、b、c, p=1/2(a+b+c)。
面积S =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]。
4、投影定理。
5、交叉弦定理。
6 .对于Rt△，斜边c，直角边a、b，内切圆半径r为r=(a+b+c)/2。
7、△三边的中线交点(重心)将中线分成两部分，这两部分的长度之比是2:1。
8、太多了，不能一一列举。
这是经常发生的、经常被使用的、容易被忽视的事情。
梅涅洛斯定理的反义词。
3.塞瓦定理。
4.塞瓦定理的逆定理。
5.广勾股定理的两个推论。
推论:平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和。
6.三角形内、外角平分线定理:
7.托勒密定理。
8.三角形相位近似定理。
9.正弦定理
10.余弦定理。
11.西姆森定理
12.欧拉定理
13.巴斯加线定理
梅涅洛斯定理。
这是直线和△ABC的三边AB, BC, CA或其延长线在F, D, E点相交时，(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
证明:
过了A点AG‖BC交叉DF的延长线为G。
AF/FB=AG/BD, BD/DC=BD/DC, CE/EA=DC/AG。
三式相乘得到:AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1。
塞瓦定理。
将O设为△ABC中的任意点。
AO、BO、CO分别与D、E、F交对边，则BD/DC*CE/EA*AF/FB=1。
证明方法。
(第1)根据用梅涅吉劳斯定理的证明，
∵△ADC直线被BOE切断了
∴CB/BD*DO/OA*AE/EC=1①。
△ABD被直线COF切断，∴BC/CD*DO/OA*AF/BF=1②。
②÷①:BD/DC*CE/EA*AF/FB=1。
(ii)也可以利用的面积关系证明
∵bd / dc = s△△acd abd / s = s△△cod bod / s = (s abd?s△bpd) / (s acd?s△cod) = s aob / s△aoc③
同样，CE/EA=S△BOC/ S△AOB④AF/FB=S△AOC/S△BOC⑤。
③×④×⑤BD/DC*CE/EA*AF/FB=1。
他运用塞瓦定理证明了三角形的三条高线一定会相交于一点。
三边AB、BC、AC的垂脚分别为D、E、F。
根据塞瓦定理逆定理，从(ad: db)到* (be: ec) * (cf:fa) = [* ctga (cd) / [* ctgb (cd)] *[(锁定ae * ctgb) /(锁定ae * ctgc)] * [(bf * ctgc) /
[(AE*ctgB)]=1，所以三个高CD, AE, BF相交于一点。
托勒密定理。
来证明。
在四边形ABCD中，连接AC，角ABE= ACD，角BAE= CAD。
三角形ABE和ACD是相似的。
因此BE/CD=AB/AC，即BE*AC=AB*CD(1)。
也有比例公式AB/AC=AE/AD
角BAC=角DAE。
三角形ABC类似三角形AED
BC/ED=AC/AD。ed ac = bc * * ad (2)
(1)+(2)。
AC(BE+ED)=AB*CD+AD*BC。
因为BE+ ed>=BD
这个命题已经被证明了。
西姆森定理。
从一点向三角形的三边画垂线的垂足共线的必要条件是，该点落在三角形的外接圆上。
证明:
△ABC外接圆上有P, PE ? AC为E, PF ? AB为F, PD ? BC为D，分别连接DE、DF。
因为P、B、F、D以及P、D、C、E和A、B、P、C分别类似于圆，所以∠FDP=∠ACP①，(∵皆∠ABP的补角)∠PDE=∠PCE
②∠ACP+∠PCE=180°
③∴∠FDP+∠PDE=180°
④是F、D、E共线。反之，F、D、E共圆时，④→②→③→①，可知A、B、P、E共圆。
初中数学竞赛定理目录
1、正弦定理:△ABC，设3条边分别为a、b、c，则a/sinA=b/sinB=c/sinC= 2r。
(R是外接圆的半径)
2、余弦定理:△ABC，设3边为a、b、c，则a * 2=b * 2+c * 2- 2bcosa。
b * 2= 2+c * 2-2 accosb
c * 2=b * 2+a * 2-2 bacosb
3、面积公式:
S=1/ 2absinc =1/ 2acsinb =1/ 2bcsina =abc/(4r)。
a。
b、c分别是三角形的三条边，A是边b、c的角，其他类似。R是外接圆的半径。)
设三角形的三条边为a、b、c, p=1/2(a+b+c)。
面积S =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]。
4、投影定理。
5、交叉弦定理。
6 .对于Rt△，斜边c，直角边a、b，内切圆半径r为r=(a+b+c)/2。
7、△三边的中线交点(重心)将中线分成两部分，这两部分的长度之比是2:1。
8、太多了，不能一一列举。
这是经常发生的、经常被使用的、容易被忽视的事情。
梅涅洛斯定理的反义词。
3.塞瓦定理。
4.塞瓦定理的逆定理。
5.广勾股定理的两个推论。
推论:平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和。
6.三角形内、外角平分线定理:
7.托勒密定理。
8.三角形相位近似定理。
9.正弦定理
10.余弦定理。
11.西姆森定理
12.欧拉定理
13.巴斯加线定理
梅涅洛斯定理。
这是直线和△ABC的三边AB, BC, CA或其延长线在F, D, E点相交时，(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
证明:
过了A点AG‖BC交叉DF的延长线为G。
AF/FB=AG/BD, BD/DC=BD/DC, CE/EA=DC/AG。
三式相乘得到:AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1。
塞瓦定理。
将O设为△ABC中的任意点。
AO、BO、CO分别与D、E、F交对边，则BD/DC*CE/EA*AF/FB=1。
证明方法。
(第1)根据用梅涅吉劳斯定理的证明，
∵△ADC直线被BOE切断了
∴CB/BD*DO/OA*AE/EC=1①。
△ABD被直线COF切断，∴BC/CD*DO/OA*AF/BF=1②。
②÷①:BD/DC*CE/EA*AF/FB=1。
(ii)也可以利用的面积关系证明
∵bd / dc = s△△acd abd / s = s△△cod bod / s = (s abd?s△bpd) / (s acd?s△cod) = s aob / s△aoc③
同样，CE/EA=S△BOC/ S△AOB④AF/FB=S△AOC/S△BOC⑤。
③×④×⑤BD/DC*CE/EA*AF/FB=1。
他运用塞瓦定理证明了三角形的三条高线一定会相交于一点。
三边AB、BC、AC的垂脚分别为D、E、F。
根据塞瓦定理逆定理，从(ad: db)到* (be: ec) * (cf:fa) = [* ctga (cd) / [* ctgb (cd)] *[(锁定ae * ctgb) /(锁定ae * ctgc)] * [(bf * ctgc) /
[(AE*ctgB)]=1，所以三个高CD, AE, BF相交于一点。
托勒密定理。
来证明。
在四边形ABCD中，连接AC，角ABE= ACD，角BAE= CAD。
三角形ABE和ACD是相似的。
因此BE/CD=AB/AC，即BE*AC=AB*CD(1)。
也有比例公式AB/AC=AE/AD
角BAC=角DAE。
三角形ABC类似三角形AED
BC/ED=AC/AD。ed ac = bc * * ad (2)
(1)+(2)。
AC(BE+ED)=AB*CD+AD*BC。
因为BE+ ed>=BD
这个命题已经被证明了。
西姆森定理。
从一点向三角形的三边画垂线的垂足共线的必要条件是，该点落在三角形的外接圆上。
证明:
△ABC外接圆上有P, PE ? AC为E, PF ? AB为F, PD ? BC为D，分别连接DE、DF。
因为P、B、F、D以及P、D、C、E和A、B、P、C分别类似于圆，所以∠FDP=∠ACP①，(∵皆∠ABP的补角)∠PDE=∠PCE
②∠ACP+∠PCE=180°
③∴∠FDP+∠PDE=180°
④是F、D、E共线。反之，F、D、E共圆时，④→②→③→①，可知A、B、P、E共圆。
