反比例函数的应用

一、反比例函数的概念

形如 y=k/x (k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。自变量x的取值范围是不等于0的所有实数。

二、反比例函数的图象

反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

三、反比例函数的性质

当ku003e0时，图象在一，三象限。当ku003c0时，图象在二，四象限。常数a对图象的影响：|k|大于1时，图象在第一或第三象限内；|k|小于1时，图象在第二或第四象限内。无论k，a取何值，反比例函数的图像都不与y轴相交。

四、反比例函数的应用

1. 利用反比例函数性质求函数解析式。

例1：若反比例函数 y=(m-1)/x 的图象在每一个象限中，y随着x的增大而减小，则m的取值范围是( )

A. mu003c0 B. mu003e1 C. mu003c1 D. m≤1

【解答】解：∵反比例函数$y = frac{m - 1}{x}$的图象在每一个象限中，$y$随着$x$的增大而减小，

∴$m - 1 u003e 0$，解得$m u003e 1$．

故选B．

2. 利用反比例函数性质判断函数图象．

例2：下列四个点中，在反比例函数 y = -2/x 的图象上的是( )

A. (2, -1) B. (-1, -2) C. (2, 1) D. (1/2, -4)

【解答】解：A.∵ 2 × ( - 1) = - 2，∴此点在函数图象上，故A选项正确；

B.∵ - 1 × ( - 2) = 2 ≠ - 2，∴此点在函数图象上，故B选项错误；

C.∵ 2 × 1 = 2 ≠ - 2，∴此点在函数图象上，故C选项错误；

D.∵$frac{1}{2}$ × ( - 4) = - 2，∴此点在函数图象上，故D选项正确．

故选AD．

【解答】解：设此后每年治理水土流失面积的平均增长率为$x$.由题意得：$252(1 + x)^{2} = 332$.解得：$x_{1} = frac{1}{3}$或 $x_{2} = - frac{7}{3}$（舍去）$herefore x = frac{1}{3} = 33%$答：此后每年治理水土流失面积的平均增长率为$33%$．

五、反比例函数的综合应用。

例4：已知反比例函数 y = k/x 与一次函数 y = ax + b 的图象都经过点 (2,6)，且一次函数图像与x轴交于点(4,0)。

(1) 求反比例函数与一次函数的解析式；

(2) 设直线 y = ax + b 与x轴交于点A，求△ODA的面积。

【分析】

(1) 把已知点的坐标代入反比例函数解析式中，可求得$k$的值，再把点$(4$，$0)$代入一次函数解析式中，可求得$a$与$b$的值，进而可得出两个函数的解析式；

(2) 先求出点A的坐标，再根据三角形面积公式即可得出结论。

【解答】

(1)解：∵反比例函数$y = frac{k}{x}$与一次函数$y = ax + b$的图象都经过点$(2$，$6)$，∴${begi{marix} frac{k}{2} = 6

2a + b = 6

ed{marix}$，解得：${begi{marix} k = 12

a = 2

b = 2

ed{marix}$，∴反比例函数解析式为$y = frac{12}{x}$，一次函数解析式为$y = 2x + 2$；

(2)解：当$y = 0$时，$2x + 2 = 0$，解得：$x = - 1$，∴点A的坐标为$( - 1$，$0)$，∴△ODA的面积$= frac{1}{2} imes 1 imes 2 = 1$.