圆锥体积公式推导过程是什么?

推导过程如下：

三棱锥1、2的底ΔABA’、ΔB’A’B的面积相等,高也相等（顶点都是C）。三棱锥2、3的底ΔB’CB’、ΔC’B’C的面积相等,高也相等.（顶点都是A’）。

∴V1=V2=V3=1/3V三棱柱 。

∵V棱柱Sh 。

∴V三棱锥=1/3Sh 。

最后,因为和一个三棱锥等底面积等高的任何锥体都和这个三棱锥的体积相等,所以得到下面的定理。

定理：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S,高是h,那么它的体积是：V锥体=1/3Sh。

推论：如果圆锥的底面半径是r,高是h,那么它的体积是：

V圆锥=1/3πr2h。

圆锥体积公式,推导过程

圆锥的体积

一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积．

一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3

根据圆柱体积公式V=Sh（V=rrπh），得出圆锥体积公式：

圆锥

V=1/3Sh

S是圆锥的底面积，h是圆锥的高，r是圆锥的底面半径。

证明：

把圆锥沿高分成k分 每份高 h/k,

第 n份半径：n*r/k

第 n份底面积：pi*n^2*r^2/k^2

第 n份体积：pi*h*n^2*r^2/k^3

总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3

因为

1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6

所以

总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3

=pi*h*r^2* k*(k+1)*(2k+1)/6k^3

=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6

因为当n越来越大，总体积越接近于圆锥体积，1/k越接近于0

所以pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3

因为V圆柱=pi*h*r^2

所以

V圆锥是与它等底等高的V圆柱体积的1/3 把圆锥装入装有水的与其圆锥等底等高圆柱体（长方体）容器里，根据水升高情况，借助圆柱（长方体）体积公式 底面积乘高，就可以算出圆锥的体积公式了 底面积乘高乘1/3

圆锥的体积公式推导过程运用了什么方法

一、等效替代法：

圆柱的体积为;SH

圆锥的体积是圆柱的三分之一(这个自己做实验就可以看出来.如:拿一个圆柱的器具和一个圆锥的器具,在圆锥的器具里倒满水,把水往圆柱的器具里倒,倒三次才倒满.对了,这个圆锥的器具的半径和高要和圆柱的器具一样),即用一个圆锥盛三次水,正好等于一个等低等高圆柱的容积,用圆柱的容积替代了圆锥的体积

所以圆锥的体积V＝1/3Sh

二、用微积分推导

思路是将圆锥微分为无限个半径逐渐减小的圆片的堆积,微圆片看成高度无限小的圆柱

设圆锥的高为HM地面半径R

几何法得到,每个界面的半径与界面高度的关系为 r=R-Rh/H

积分πr^2h

=E（π^2h)

∫(πr^2)dh=∫πR^2（1+h^2/H^2 -2h/H)dh h从0积分到H

=πR^2(H+H^3/3H^2-H^2/H

=πR^2(H+H/3-H

=πR^2H/3

圆锥的体积公式推导过程写下来高三网

圆锥体积公式推导是如下：

一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3，根据圆柱体积公式V=Sh(V=rrπh)，得出圆锥体积公式：圆锥V=1/3Sh。

S是圆锥的底面积，h是圆锥的高，r是圆锥的底面半径。

证明：

把圆锥沿高分成k分，每份高h/k。

第n份半径：n*r/k。

第n份底面积：pi*n^2*r^2/k^2。

第n份体积：pi*h*n^2*r^2/k^3。

总体积（1+2+3+4+5+...+n）份：pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3。

因为：1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6。

所以：总体积（1+2+3+4+5+...+n）份：pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3。

=pi*h*r^2*k*(k+1)*(2k+1)/6k^3。

=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6。

因为当n越来越大，总体积越接近于圆锥体积，1/k越接近于0。

所以pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3。

因为V圆柱=pi*h*r^2。