铁人中学2019级高三上学期阶段考试理科数学试题试题说明：1、本试题满分150分，答题时间150分钟。2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.集合，，则()2.若(为虚数单位)是纯虚数，则实数()3.已知，，，则()4.已知命题，命题若，则，则下列命题为真命题的是()5.若，则6.在正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为()7.在等比数列中，，，则()
或或8.双曲线的右焦点为，圆截双曲线的一条渐近线所得的弦长为，截轴所得的弦长为，则双曲线的离心率为()9.记表示不超过的最大整数，(例如)，则不等式的解集为()10.祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的，祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥，四棱锥，圆锥(高度都为)，其中三棱锥的底面是边长为的正三角形，四棱锥的底面是边长为，有一个角为的菱形，圆锥的体积为，现用平行于这两个平行平面的平面去截三个几何体，如果截得的面积总相等，那么，下列关系式正确的是()，，，，，，，，11.设函数，，，.若，，且
的最小正周期大于，则()12.已知函数，关于的方程有六个不同的实数解，则实数的取值范围是()二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.向量的夹角为，，则.14.若抛物线的焦点到准线的距离为，则实数.15.若函数为偶函数，则实数.16.已知数列的前项和为，且，，则使时的的最小值为.三、解答题（共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答.）17.(本小题满分12分)已知数列的前项和为，数列是以为首项，为公差的等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.18.(本小题满分12分)在中，角的对边分别为，若，
.(1)求的值；(2)内有一点，满足，，，求的值.19.(本小题满分12分)在四棱锥中，四边形为平行四边形，平面平面，是边长为的等边三角形，，是的中点.(1)求证：；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，为椭圆的左，右焦点，，直线与交于两点，且四点共圆.(1)求椭圆的方程；(2)为上的一点(非长轴的端点)，线段，的延长线分别与交于点，求的最大值.21.(本小题满分12分)
已知函数，，其中，为自然对数的底数.(1)判断函数的单调性；(2)若不等式在区间上恒成立，求的取值范围.22.(本小题满分分)选修：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的普通方程为，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线的极坐标方程；(2)若点为曲线上的动点，，，求的最大值.23.(本小题满分分)选修：不等式选讲已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若，函数的最小值为，，求的最小值.铁人中学2019级高三上学期阶段考试理科数学答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.14.15.16.三、解答题（本大题共6小题，17-21每小题12分，22题10分，共70分）
17.解：(1)因为数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以.当时，，当时，，又当时，，满足上式，所以数列的通项公式为.(2)由(1)得，所以.18.解：(1)由题及正弦定理得，即，即，即，又为的两个内角，所以，又，所以，又，所以，故.(2)设，则，，在中，由正弦定理得，，所以，整理得，所以.19.(1)证明：因为是等边三角形，是的中点，所以又平面平面，平面平面，平面平平面，所以，又，，所以平面，所以，又，所以.
（2）解：由(1)易得平面，所以就是直线与平面所成角，因为直线与平面所成角的正弦值为，所以直线与平面所成角的余弦值为，所以，所以，所以，由(1)得两两互相垂直，所以，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系(如图).则，，，则，，设平面的一个法向量为，则所以，则，，令可得平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.20.解：(1)设，又，互相平分且四点共圆，所以，是圆的直径，且是圆心，所以，，，又，所以，所以椭圆的方程为(2)由(1)知，设，直线的方程为，代入得，则，且，，所以，连接，
则，因为，当且仅当时取等号，所以所以，面积的最大值为.21.解：(1)函数的定义域为，，由得，由得，所以，在单调递减；在上单调递增.(2)由题意得，且，当时，因为时，，所以在上单调递减，又，故在上不可能恒成立；当时，令，则，则，所以在上单调递增，则，(i)当,即时，在上单调递增，所以，故在上恒成立；(ii)当,即时，,,故存在在使得，此时函数在上单调递减，又，故在上不可能恒成立，故不符合题意.综上所述，的取值范围.22.解：(1)将极坐标与直角坐标的互化公式代入曲线的普通方程，得，化简整理得曲线的极坐标方程为.(2)设点的坐标为，又，，所以
因为，所以，所以的最大值为.23.解：(1)由题知，所以，当时，有，解得；当时，有，解得；当时，有，解得；所以原不等式的解集为.(2)由题知，当且仅当时取等号，所以，所以，所以的方程为，当且仅当代入，即得时取等号，所以的最小值为.
