2018-2019学年上海市长宁区高二(上)期末数学试卷一、填空题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.答案填在答题纸相应位置.))1.已知数列 是等差数列,若 = , = ,则 =________. 阵 解 2.若线性方程组的增广矩阵为,解为 ,则 ᦙ =________.阵 解 3.无穷等比数列 的首项为 ,公比为,则 的各项的和为________. 阵4.三阶行列式 阵 中,元素 的代数余子式的值为________. 5.若点 ᦙ 、 ᦙ 阵 在直线 直 = 的两侧,则实数 取值范围为________.6.执行如图所示的程序框图,若输入 = ,则输出 的值为________. 7.若向量 与 的夹角为 阵 ,且 = , = ,则 =________. 8.若直线 的一个方向向量是 解ᦙ ,则直线 的倾斜角是________. 解 9.已知数列 的通项公式为 解 ᦙ 晦 ,则数列 的前 项和 解 =________. 10.如图,在矩形 中,点 、 分别在线段 、 的中点,若 解 ᦙ ᦙ ,则 ᦙ =________.试卷第1页,总6页
11.古埃及数学中有一个独特现象:除用一个单独的符号表示以外,其他分数都要写 成若干个单位分数和的形式.例如解ᦙ,可以这样来理解:假定有两个面包,要 平均分给 个人,每人不够,每人余,再将这分成 份,每人得,这样每人分得 ᦙ.形如ᦙ = ,… 的分数的分解:解ᦙ,解ᦙ,解ᦙ,按此 规律,解________ᦙ 晦 . 12.已知向量 、 、 共面, 是单位向量,若向量 满足 ᦙ =阵,向量 与 的夹角为,则 的最小值为________. 二、选择题(本大题共4小题,每小题3分,共12分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)13.已知直线 与 的斜率存在,且分别为 、 ,则“ = ”是“ ”()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不是充分也不是必要条件 ᦙ 阵阵阵 14.数列 中, 解 ᦙ 晦 ,则lim 解ᦙ 阵阵 ᦙ A.阵B.阵或 C. D.不存在15.在用数学归纳法证明等式 ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ 解 ᦙ ᦙ 晦 的第二步中,假设 解 时原等式成立,那么在 解 ᦙ 时需要证明的等式为()A. ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ 解 ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙᦙ ᦙ B. ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ 解 ᦙ ᦙ ᦙᦙ ᦙ C. ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ 解 ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙᦙ ᦙ D. ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ 解 ᦙ ᦙ ᦙᦙ ᦙ 16.已知圆 的方程为 ᦙ = ,点 ᦙ ᦙ 阵 是圆 内一点,设以 为中点的弦所在的直线为 ,方程为 ᦙ = 的直线为 ,则()A. ,且 与圆 相交B. ,且 与圆 相离C. ,且 与圆 相交D. ,且 与圆 相离三、解答题(本大题共5小题,共52分,解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤)) 17.已知向量 解 , 解 ᦙ ,其中 , 是互相垂直的单位向量. (1)求向量 在向量 方向上的投影;试卷第2页,总6页
(2)设向量 解 , 解 ᦙ ,若 ,求实数 的值.18.已知直线 直 ᦙ = ᦙ , 直 = .(1)若直线 与 重合,求实数 , 的值;(2)若直线 与圆 ᦙ = 相切,求实数 的值. 19.已知数列 是等差数列,数列 是等比数列,且 = = ,记数列 的前 项和为 ,数列 的前 项和为 .(1)若 = , = ,求 ;(2)若数列 的公差 = , = ,求数列 的公比 及 .20.如图 ,点 为半径为 千米的圆形海岛的最东端,点 为最北端,在点 的正东 千米 处停泊着一艘缉私艇,某刻,发现在 处有一小船正以速度ν(千米/小时)向正北方向行驶,已知缉私艇的速度为 (千米/小时).(1)为了在最短的时间内拦截小船检査,缉私艇应向什么方向行驶?(精确到 )(2)海岛上有一快艇要为缉私艇送去给养,问选择海岛边缘的哪一点 出发才能行程最短?(如图 建立坐标系,用坐标表示点 的位置) ᦙ 21.若数列 满足:对任意 晦,都有 ,则称 为“紧密”数列. (1)设某个数列为“紧密”数列,其前 项依次为 、、、 、,求 的取值范围. (2)若数列 的前项和 解ᦙ ᦙ ᦙ 晦 ,判断 是否为“紧密”数列,并 说明理由.(3)设 是公比为 的等比数列,前 项和为 ,且 与 均为“紧密”数列,求实数 的取值范围.试卷第3页,总6页
参考答案与试题解析2018-2019学年上海市长宁区高二(上)期末数学试卷一、填空题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.答案填在答题纸相应位置.)1. 2. 3. 4. 5.ᦙ阵 6. 7. 8. 9. ᦙ ᦙ 10. 11.ᦙ ᦙ 12. 二、选择题(本大题共4小题,每小题3分,共12分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的13.C14.C15.D16.B三、解答题(本大题共5小题,共52分,解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.向量 在 方向上的投影为 阵 解 ; 阵 ∵ 解阵, ∴ ᦙᦙ =阵,∴ 阵 ᦙ ᦙ =阵,∴ =阵.18.根据题意,直线 直 ᦙ = ᦙ , 直 = ,即 ᦙ = , 解 若直线 与 重合,必有 , ᦙ 解 解可得 = , 解; 试卷第4页,总6页
ᦙ 若直线 与圆 ᦙ = 相切,必有解 , ᦙ 解可得: 解. 19.根据题意,等差数列 中,若 = ,则 = ᦙ ᦙ = = ,则 = ,则 = = = ,又由 = ,则有 = ᦙᦙ = = ,解可得: = ;根据题意, = = ᦙ = , 则 解解 , ᦙ ᦙ 则 解解解 . 20.根据题意,为了在最短的时间内拦截小船检査,缉私艇应该在 的延长线上与小船相遇,设经过 小时,缉私艇在 的延长线上拦截小船,此时 = , = ᦙ , = ,则有ᦙ =ᦙ ᦙ ᦙ , 解可得: 解或 (舍), 此时 解, 解, 则有tan 解,则 = , 故缉私艇应向南偏东 的方向行驶,当 与 垂直时,行程最短,如图 21.由题意得: , , 解得 ; 由 解ᦙ ᦙ ᦙ 晦 , 时, = 解ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ െ解 ᦙ, = 时, = = ,对于上式也成立.试卷第5页,总6页
因此 解 ᦙ. ᦙ ᦙ ∴解解 ᦙ. ᦙ ᦙ 晦 因为对任意 ,阵 ,即 ᦙ , ᦙ ᦙ ᦙ ∴ ᦙ 晦 , 即数列 是“紧密数列”; ᦙ 由 是公比为 的等比数列,得 解, ᦙ ∵ 是“紧密数列”,∴ , ᦙ ᦙ ①当 = 时, = ,解解 ᦙ, ∵ ᦙ , ∴ = 时,数列 为“紧密数列”,故 = 满足题意. ᦙ ②当 时, 解, ᦙ ᦙ 则解, ∵数列 为“紧密数列”, ᦙ 晦∴ ,对任意 恒成立. ᦙⅰ 当 时, ᦙ ᦙ ᦙ , ᦙ 即 ,对任意 晦恒成立. ᦙ ∵阵 ,阵 , , ∴ ᦙ , ᦙ ᦙ ᦙ 解 , ᦙ ∴当 时, ,对任意 晦恒成立. ᦙ ᦙⅱ 当 时, ᦙ ᦙ ᦙ , ᦙ 即 ,对任意 晦恒成立. ᦙ ∵ , , 阵. ᦙ ∴ ,解得 = , ᦙ 又 ,此时 不存在. 综上所述, 的取值范围是 െ. 试卷第6页,总6页