2018-2019学年上海市某校高二(上)期末数学试卷一、填空题:)1.若复数 ͷ ݉ ݉ ͵ ( 为实数, 为虚数单位)是纯虚数,则 =________.2.复数 = ݉ ,其中 为虚数单位,则 的虚部为________.3.抛物线 = 㜱的准线方程为________ 4.已知向量 量 , 量 , , ݉ ,如果 ,则实数 =________.5.若直线 ݉ 㜱= 和 ͵ ݉ ݉ 㜱݉ = 平行,则实数 的值为________. 㜱 6.设双曲线 的焦点为 、 , 为该双曲线上的一点,若 =ͷ, 则 =________. 㜱݉ 7.设 ,㜱满足约束条件 ݉㜱 ,则目标函数 = ͵㜱的最小值是 ͵________.8.若复数 满足 ݉ (其中 为虚数单位),则 ________.9.在直角坐标系 缄㜱中,已知点 量 和点 ͵量 ,若点 在 缄 的平分线上 且 缄 ,则缄 ________. ݉͵ ݉ 10.参数方程 ( 为参数)化成普通方程为________; 㜱 ݉ 11.在平面直角坐标系中,双曲线Γ的中心在原点,它的一个焦点坐标为 ͷ量 , 量 、 量 分别是两条渐近线的方向向量.任取双曲线Γ上的点 ,若缄 ݉ 、 ,则 、 满足的一个等式是________. 㜱 12.在平面直角坐标系 缄㜱中,已知点 在椭圆݉ 上,点 满足 ͷ 缄 ,且缄 缄 䁞,则线段缄 在 轴上的投影长度的最大值为________.二、选择题:)13.对于一元二次方程 ݉ ݉ = (其中 , , , )下列命题不正确的是() A.两根 , 满足 ݉ , B.两根 , 满足 C.若判别式 = 时,则方程有两个相异的实数根D.若判别式 = = 时,则方程有两个相等的实数根试卷第1页,总8页
14.已知两点 量 , 量 到直线 的距离分别为 , ,则满足条件的直线 共有()A. 条B. 条C.͵条D. 条 15.如图.在四边形 �中. , � � ,若 = , � = .则 � A. B. C. ݉ D. 16.已知 为抛物线 㜱 = 的集点, , , 为抛物线 上三点,当 ݉ ݉ 时,称 为“和谐三角形”,则“和谐三角形”有()A. 个B. 个C.͵个D.无数个三、解答题:)17.设 ݉ 为关于 的方程 ݉ ݉ = , , 的虚根, 为虚数单位.(1)当 = ݉ 时,求 、 的值;(2)若 = ,在复平面上,设复数 所对应的点为 ,复数 ݉ 所对应的点为 ,试求 的取值范围. 18.(1)已知非零复数 满足 ݉ = , ݉ ,求复数 .18. (2)已知虚数 使和都是实数,求虚数 . ݉ ݉ 㜱 19.已知椭圆݉ . 㜱(1) 为直线 ݉ 上动点, 为椭圆上动点,求 的最小值; (2)过点 量,作椭圆的弦 ,使 ͵ ,求弦 所在的直线方程. ݉ 㜱݉ ݉ 㜱݉ 20.圆 ,圆 ,动圆 与两圆 、 外切.(1)动圆圆心 的轨迹 的方程;(2)过点 量 的直线与曲线 交于不同的两点 , ,求直线 斜率的取值范围; (3)是否存在直线 㜱= ݉ 与轨迹 交于点 , ,使 缄 ,且 = 缄 ,若存在,求 , 的值;若不存在,说明理由.21.过抛物线㜱 = 的焦点 的直线交抛物线于 , 两点,且 , 两点的纵坐标之积为 .试卷第2页,总8页
(1)求抛物线的方程; (2)求缄 缄 的值(其中缄为坐标原点);(3)已知点 量 ,在抛物线上是否存在两点 、 ,使得 ?若存在,求出 点的纵坐标的取值范围;若不存在,则说明理由.试卷第3页,总8页
参考答案与试题解析2018-2019学年上海市某校高二(上)期末数学试卷一、填空题:1. 2. 3.㜱= ͵4. 5. ͵或 6. 7. 8. ͵ 9. 量 ͷͷ10.͵ ݉㜱 = ͵11. = 12. 二、选择题:13.B14.C15.A16.D三、解答题:17.∵ = ݉ ,∴ ݉ = ,则方程 ݉ ݉ = 的两根分别为 , . 由根与系数的关系可得 ,即 = , = ; 设 = ݉ 量 ,则 ݉ ݉ ݉ ݉ .由题意可得: ݉ ݉ ݉ ݉ = .令 ݉ =cos , =sin , 量 . cos ݉ sin sin ݉ 量 . 18.设 = ݉ ,( , 是实数),则 ݉ ݉ ݉ ݉ ݉ ݉ ݉ ݉݉ , ݉ ݉ ∵ ݉ , ∴ ,得 = , ݉ ݉ 得 = 或 ,得 ݉ = , ݉ 若 = ,则 = ,由 ݉ = 得 ݉ = 得 = ,或 = ,试卷第4页,总8页
当 = 时, = ,不满足条件.当 = 时, = ,满足条件,若 ݉ = ,由 ݉ = 得 ݉ ݉ = ,得 ݉ ݉ ,即 ݉ ݉ = ,即 ݉ ݉ ݉ = ,得 ݉ ݉ = ,得 = ,此时 = ͵,即 = ͵ .综上: = 或 = ͵ .设 = ݉ , ,( , 是实数), ∵和都是实数, ݉ ݉ ∴设 和 , ݉ ݉ 即 = ݉ , = ݉ ,即 ݉ = ݉ ݉ = ݉ ݉ , ݉ 则 ,即 = ,即 ݉ ݉ = ,① 由 = ݉ ,得 ݉ = ݉ ݉ ݉ 即 , 得 , ݉ ,即 ݉ = ,② ͵则 = ,得 , = , ͵即 . 19.设点 的坐标为 cos 量 sin , cos ͵ ݉sin sin ݉cos sin ݉ 则点 到直线 的距离为 ͷͷ ݉ ͵sin ݉ ,ͷ ͵ ͷ ͷ所以, 的最小值为 min ;ͷͷ ݉ cos 设直线 的参数方程为 ( 为参数,且 为倾斜角),设点 、 对㜱 ݉ sin 应的参数分别为 、 , 由于 ͵ ,则 =͵ ,将直线 的参数方程代入椭圆的方程,并化简得 ݉ ꀀ ݉ cos ݉ sin ͵ , cos ݉ sin sin ݉ cos ͵由韦达定理得 ݉ ݉ ꀀ ݉ꀀ , ͵ ݉ ꀀ , 则 , ݉ꀀ sin ݉ cos 所以, ,化简得 sin cos ݉͵ ꀀ ,得cos = 或 ݉ꀀ ݉ꀀ 试卷第5页,总8页
͵ tan ,䁞 ͵ 因此,弦 所在的直线方程为 或㜱㜱 ,即 或 䁞͵ ݉䁞㜱 . 20.圆 的圆心为 量 ,半径为 ,圆 的圆心为 量 ,半径为 . 设 量 㜱,动圆 的半径为 , 则 ݉ 㜱݉ ݉, ݉ 㜱 ݉, ∴ ݉ 㜱݉ ݉ 㜱 ݉ ,整理得:㜱 = .∴动圆圆心 的轨迹 的方程㜱 = 㜱 .设㜱= ,则 䁞 䁞 .㜱 联立 ,化为: ݉ = ,㜱 = ,解得: 䁞 䁞 . ∴ 量 . = 时,不成立. 时,直线缄 的方程为:㜱 ,则 或 䁞 ,解得 䁞 䁞 , 或 䁞 䁞 . 㜱 联立 ,解得 ,㜱 . 㜱 ݉ ∴ 缄 ݉㜱 . 设 量 㜱 , 量 㜱 .㜱 ݉ 联立 ,化为 ݉ ݉ = ,㜱 = ,化为: ݉ . ∴ ݉ , , ∴ = ݉ ݉ = ݉ ,∵ = 缄 ,∴ = 缄 , ݉ ∴ ݉ = . 化为: = . 㜱 联立 ,解得: 量.㜱 ݉ ݉ ݉ 试卷第6页,总8页
݉ ∴ ,化为: . ݉ ݉ ∴ , 䁞 䁞 . ∴ = ݉ , 解得 . 因此存在 , 满足题意.21.㜱 = ;(2) ͵; 量 量 ݉ ;设点 量 㜱 、 量 㜱 ,抛物线的焦点 的坐标为 量 ,设直线 的方程为 㜱݉, 㜱 将直线 的方程与抛物线的方程联立 ,消去 并整理得㜱 㜱 㜱݉ = .由韦达定理得㜱㜱 ,由于 ,解得= . 因此,抛物线的方程为㜱 = ; 㜱 㜱 㜱 㜱 缄 缄 ݉㜱 㜱 ݉㜱 㜱 ݉㜱 㜱 ͵;(1)设点 㜱 㜱 ͵ 量㜱͵、 量㜱 . 㜱 㜱 㜱 㜱 ͵͵ ͵ 量㜱͵ 量㜱͵ , 量㜱 㜱͵. 㜱 㜱 㜱 ͵ ͵∵ ,则 ݉ 㜱͵ 㜱 㜱͵ . 易知,㜱͵ ,㜱 㜱͵,化简得 㜱͵݉ 㜱 ݉㜱͵݉ = ,所以,㜱 㜱͵ 㜱͵݉ 㜱͵݉ ݉ .㜱͵݉ ①当㜱͵݉ 䁞 时,由基本不等式可得㜱 㜱͵݉ ݉ 㜱͵݉ 㜱͵݉ ݉ 䁞,㜱͵݉ 当且仅当 㜱͵݉ ,即当㜱͵= 时,等号成立;㜱͵݉ 试卷第7页,总8页
②当㜱͵݉ 时,㜱 㜱͵݉ ݉ 㜱͵݉ ݉ .㜱͵݉ 㜱͵݉ 当且仅当 㜱͵݉ 时,即当㜱͵= 时,等号成立,㜱͵݉ 事实上,㜱͵ ,此时,有㜱 䁞 .综上所述, 点纵坐标的取值范围是 量 量 ݉ .试卷第8页,总8页