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2015-2016学年上海市徐汇区高二(上)期末数学试卷【附答案】
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2015-2016学年上海市徐汇区高二(上)期末数学试卷【附答案】
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2021-11-29
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2015-2016学年上海市徐汇区高二(上)期末数学试卷一、填空题(本大题满分36分)本大题共12小题,每个空格填对得3分,否则一律得0分.)1.直线3x-4y-5=0的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示)2.若OA→=(-5, 4),OB→=(7, 9),则与AB→同向的单位向量的坐标是________.3.若线性方程组的增广矩阵为a0201b,解为x=2,y=1, 则a+b=________.4.行列式中6-3125k14-2中元素-3的代数余子式的值为7,则k=________.5.以点P(3, 4)和点Q(-5, 6)为一条直径的两个端点的圆的方程是________.6.若顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2-4x=0的圆心重合,则该抛物线的准线方程为________.7.在△ABC中,|AB|=3,|BC|=7,|CA|=5,则BA→在AC→方向上的投影是________.8.已知双曲线kx2-y2=1的一条渐进线的方向向量d→=(2, -1),则k=________.9.在正三角形ABC中,D是BC上的点,AB=3,BD=1,则AB→⋅AD→=________.10.已知F1、F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0, b>0)的两个焦点,P是双曲线C上一点,且PF1→⊥PF2→,若△PF1F2的面积为16,则b=________.11.若点O和点F分别为椭圆x22+y2=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则|OP|2+|PF|2的最小值为________.12.在平面直角坐标系中,两个动圆均过点A(1, 0)且与直线l:x=-1相切,圆心分别为C1、C2,若动点M满足2C2M→=C2C1→+C2A→,则M的轨迹方程为________.二、本大题共4小题,每小题4分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)13.“D=a1b1a2b2≠0”是“方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2有唯一解”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条C.充要条件D.既不充分又不必要条件试卷第5页,总6页 14.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的k的值是( )A.4B.5C.6D.715.已知集合P={(x, y)||x|+2|y|=5},Q={(x, y)|x2+y2=5},则集合P∩Q中元素的个数是()A.0B.2C.4D.816.已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=±bax(a>0, b>0),若双曲线上有一点M(x0, y0),使b|x0|
b时,在x轴上D.当a>b时,在y轴上三、解答题(本大题满分48分)本大题共5小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.已知:a→,b→,c→是同一平面内的三个向量,其中a→=(1, 2).1若|c→|=25,且c→ // a→,求c→的坐标;2若|b→|=52,且a→+2b→与2a→-b→垂直,求a→与b→的夹角θ.18.已知直线l经过点P(-2, 3),并且与直线l0:x-3y+2=0的夹角为π3,求直线l的方程.19.如图所示,A(23, 0)、B、C是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的三点,BC过椭圆E的中心且斜率为1,椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形.(1)求椭圆E的方程;(2)求△ABC的面积.试卷第5页,总6页 20.如图所示的封闭区域的边界是由两个关于x轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的,其中上半圆所在圆的方程是x2+y2-4y-4=0,双曲线的左右顶点A、B是该圆与x轴的交点,双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于x轴的一条直径的两个端点.(1)求双曲线的方程;(2)记双曲线的左、右焦点为F1、F2,试在封闭区域的边界上求点P,使得∠F1PF2是直角.21.对于曲线C:f(x, y)=0,若存在非负实常数M和m,使得曲线C上任意一点P(x, y)有m≤|OP|≤M成立(其中O为坐标原点),则称曲线C为既有外界又有内界的曲线,简称“有界曲线”,并将最小的外界M0成为曲线C的外确界,最大的内界m0成为曲线C的内确界.(1)曲线y2=4x与曲线(x-1)2+y2=4是否为“有界曲线”?若是,求出其外确界与内确界;若不是,请说明理由;(2)已知曲线C上任意一点P(x, y)到定点F1(-1, 0),F2(1, 0)的距离之积为常数a(a>0),求曲线C的外确界与内确界.试卷第5页,总6页 参考答案与试题解析2015-2016学年上海市徐汇区高二(上)期末数学试卷一、填空题(本大题满分36分)本大题共12小题,每个空格填对得3分,否则一律得0分.1.arctan342.(1213, 513)3.24.35.(x+1)2+(y-5)2=176.x=-27.328.149.15210.411.212.y2=2x-1二、本大题共4小题,每小题4分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.13.C14.A15.A16.B三、解答题(本大题满分48分)本大题共5小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.解:1设c→=(x,y),∵|c→|=25,且c→ // a→,∴y-2x=0,x2+y2=20,解得x=2,y=4, 或x=-2,y=-4,故c→=(2,4) 或c→=(-2,-4).2∵(a→+2b→)⊥(2a→-b→),∴(a→+2b→)⋅(2a→-b→)=0, 即2a→2+3a→⋅b→-2b→2=0,∴2×5+3a→⋅b→-2×54=0,整理得a→⋅b→=-52试卷第5页,总6页 ,∴cosθ=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=-1,又∵θ∈[0, π],∴θ=π.18.解:由于直线l0:x-3y+2=0的斜率为33,故它的倾斜角为π6,由于直线l和直线l0:x-3y+2=0的夹角为π3,故直线l的倾斜角为π2 或5π6,故直线l的斜率不存在或斜率为-33.再根据直线l经过点P(-2, 3),可得直线l的方程为x=-2,或y-3=-33(x+2),即x=-2,或x+3y-1=0.如图:19.解:(1)A的坐标为(23, 0),即有a=23,椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形,可得a=3b,解得b=2,则椭圆E的方程为x212+y24=1,(2)直线BC的方程为y=x,代入椭圆方程x2+3y2=12,得y=x=±3,∴S△ABC=12|OA|⋅|yB-yC|=3×23=6,△ABC的面积为6.20.解:(1)上半个圆所在圆的方程为x2+y2-4y-4=0,圆心为(0, 2),半径为22;则下半个圆所在圆的圆心为(0, -2),半径为22;双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点,即为(-2, 0),(2, 0),即a=2,由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点,则令y=2,解得x=±22,即有交点为(±22, 2);设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0, b>0),则8a2-4b2=1,且a=2,解得b=2;所以双曲线的方程为x24-y24=1;试卷第5页,总6页 (2)双曲线的左、右焦点为F1(-22, 0),F2(22, 0),若∠F1PF2是直角,设点P(x, y),则有x2+y2=8,由x2+y2=8x2-y2=4,解得x2=6,y2=2;由x2+y2=8x2+(y±2)2=8,解得y=±1(不满足题意,应舍去);所以在封闭区域的边界上所求点P的坐标为(±6, 2)和(±6, -2).21.解:(1)y2=4x的图象为开口向右的抛物线,抛物线上的点到原点的距离的最小值为0,无最大值,∴曲线y2=4x不是“有界曲线”;∵曲线(x-1)2+y2=4的轨迹为以(1, 0)为圆心,以2为半径的圆,如图:由图可知曲线(x-1)2+y2=4上的点到原点距离的最小值为1,最大值为3,则曲线(x-1)2+y2=4是“有界曲线”,其外确界为3,内确界为1;(2)由已知得:(x-1)2+y2⋅(x+1)2+y2=a,整理得:(x2+y2+1)2-4x2=a2,∴y2=4x2+a2-(x2+1),∵y2≥0,∴4x2+a2≥x2+1,∴(x2+1)2≤4x2+a2,∴(x2-1)2≤a2,∴1-a≤x2≤a+1,则x2+y2=x2+4x2+a2-(x2+1)=4x2+a2-1,∵1-a≤x2≤a+1,∴(a-2)2≤4x2+a2≤(a+2)2,即|a-2|≤4x2+a2≤|a+2|,当0
3时,a-2≤4x2+a2≤a+2,则a-3≤4x2+a2-1≤a+1,∴a-3≤x2+y2≤a+1,则曲线C的外确界与内确界分别为a+1,a-3.试卷第5页,总6页
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