2015-2016学年上海市宝山区高二（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）)lim1.________．ͷ2.若直线的一个方向向量为㽘Ω㽘，则的倾斜角为________．3.等差数列㽘，，…的前㽘项之和为________．4.设向量㽘Ω㽘与Ω，则与的夹角为________．5.若直线㽘݉㽘与直线݉㽘垂直，则实数݉________．6.已知椭圆㽘的长轴在轴上，若焦距为，则݉＝________．㽘݉݉7.过圆上一点㽘Ω㽘的切线方程为________．8.已知为等差数列，㽘ͷ㽘ͷ，香香，则________．9.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值为________．10.设变量，满足约束条件：㽘．则目标函数＝的最小值为________．11.设，是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值等于________．㽘12.设线性方程组的增广矩阵为，解为，则三阶行列式㽘ͷ㽘㽘㽘㽘㽘的值为________．㽘13.已知为椭圆㽘上任意一点，为：㽘㽘的任意一条香直径，则的取值范围是________．14.将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列．如果数列存在成等比数列的子数列，那么称该数列为“弱等比数列”．已知试卷第1页，总7页 ݉‸㽘，设区间݉Ω内的三个正整数，，满足：数列，㽘，cos，㽘为“弱等比数列”，则的最小值为________．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）)㽘㽘㽘㽘15.证明“㽘㽘‸㽘Ω”，当时，中间的式子为（）㽘A.㽘B.㽘㽘㽘㽘㽘㽘C.㽘D.㽘16.“点㽘Ω在曲线ͷ上”是“㽘”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件17.给出下列命题：㽘若数列存在极限，则该极限唯一；若直线的倾斜角为，则的斜率存在且为tan；设向量与的夹角为，若‸，则为锐角；到轴、轴距离相等的点的轨迹方程为．其中所有正确命题的序号为（）A.㽘B.C.㽘D.18.记㽘㽘ǤǤǤ，㽘ǤǤǤ，设关于实数的函数㽘㽘ͷ满足㽘㽘，则可取的值为（）㽘݅㽘㽘㽘香A.B.C.D.㽘三、解答题（共5小题，满分74分）)19.设直线过点Ω，且与直线㽘平行，若点Ω‸到直线ͷ的距离为，试求的值．ͷ20.已知向量，满足：㽘，，且ͷ．（1）求与的夹角；（2）若݉，求实数݉的值．21.设是首项为，公比为的等比数列，且是㽘与的等差㽘㽘ͷ中项，数列的前项和．（1）求数列的通项公式；试卷第2页，总7页 （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．㽘22.设点㽘Ω，Ω，动点满足㽘，的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过定点Ω作直线交曲线于、两点，设为坐标原点，若直线与轴垂直，求面积的最大值；（3）设㽘，在轴上，是否存在一点，使直线和的斜率的乘积为非零常数？若存在，求出点的坐标和这个常数，若不存在，说明理由．23.对于无穷数列，若正整数，使得时，有‸，则称㽘为“不减数列”．（1）设，为正整数，且‸，甲：为“不减数列”，乙：为“不减数列”．试判断命题：“甲是乙的充分条件”的真假，并说明理由；㽘（2）已知函数与函数的图象关于直线对称，数列满足，，如果为“不减数列”，试求的最小值；㽘㽘，㽘（3）设，且，是否存在实数使得㽘㽘cos，Ω㽘为“（）不减数列”？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由．试卷第3页，总7页 参考答案与试题解析2015-2016学年上海市宝山区高二（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1.2.3.㽘ͷ4.㽘5.6.7.8.㽘9.㽘ͷ10.11.12.㽘香13.Ω㽘ͷ݅14.二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15.D16.B17.C18.D三、解答题（共5小题，满分74分）㽘19.解：直线过点Ω，且与直线㽘平行的斜率为：，㽘所求直线方程为：，即直线方程为：，ͷͷ点Ω‸到直线的距离为，可得：ͷ㽘ͷ∵‸，∴㽘（㽘舍去）．20.解：（1）∵ͷ，∴ͷͷ，∴㽘．㽘∴cos．∴．试卷第4页，总7页 （2）∵݉，∴݉，∴݉，∴㽘㽘݉，解得݉．21.解：（1）由是㽘㽘与ͷ的等差中项，可得㽘㽘，即有，㽘ͷ解得或，由，可得．又，可得㽘，㽘㽘（2）由数列的前项和，可得㽘㽘㽘，‸㽘时，㽘㽘．㽘综上可得㽘，对任意恒成立，即为㽘㽘㽘对任意恒成立，即有对任意恒成立，㽘㽘ͷ㽘ͷ由㽘݅㽘݅，㽘㽘㽘ͷ当且仅当㽘，即时，取得最小值．㽘从而．即实数的取值范围是Ω݅．22.解：（1）由动点满足㽘，的轨迹曲线是椭圆，中心在原点，半长轴，半焦距，㽘．∴曲线的方程为：㽘．（2）不妨设直线与椭圆的交点为Ω，Ω‸，㽘把代入椭圆方程可得：，㽘㽘㽘，当且仅当，即时取等号，此时，，综上可得：面积的最大值为㽘．（3）设直线与椭圆的交点为㽘Ω㽘，Ω，㽘可设直线㽘，联立，化为，㽘‸，∴㽘，∴㽘，㽘㽘㽘，㽘．假设在轴上，存在一点݉Ω，使直线和的斜率的乘积为非零常数，即．㽘㽘∴，㽘݉݉㽘݉㽘݉݉݉㽘（݉为常数，是非零常数）．݉݉݉要使得等式对恒成立，则，解得，或㽘．݉㽘㽘试卷第5页，总7页 即当定点是椭圆的右顶点Ω时，非零常数．㽘当定点是椭圆的左顶点Ω时，非零常数．㽘综上可得：当定点是椭圆的右顶点Ω时，非零常数．㽘当定点是椭圆的左顶点Ω时，非零常数．㽘23.解：（1）对于甲：为“不减数列”㽘…，对于乙：为“不减数列”㽘…，∵，为正整数，且‸，∴乙甲，显然甲推不出乙，故甲是乙的必要条件，从而“甲是乙的充分条件”是假命题．㽘（2）∵函数与函数的图象关于直线对称，㽘∴函数与函数互为反函数，㽘故，㽘由㽘得㽘，由㽘得㽘㽘，假设㽘，㽘则㽘㽘，即时，㽘；㽘㽘于是㽘‸，故㽘，且ͷ…，故的最小值为．㽘（3）假设存在实数使得为“（）不减数列”，㽘∵（）㽘，∴是单调递增数列，∵cos㽘，且，，㽘∴㽘，㽘㽘，又∵，㽘㽘故当时，㽘㽘‸，㽘‸，㽘若为大于或等于的偶数，则有‸恒成立，㽘㽘㽘㽘故‸max，故‸，ͷͷ试卷第6页，总7页 㽘㽘㽘若为大于或等于的奇数，则有恒成立，故min，故㽘香，㽘香ͷ又当时，㽘‸，故；㽘综上可知，的取值范围为Ω．ͷ㽘香试卷第7页，总7页