2014-2015学年上海市闸北区高二(上)期末数学试卷【附答案】
ID:69509 2021-11-29 1 5.00元 4页 27.28 KB
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2014-2015学年上海市闸北区高二(上)期末数学试卷一、填空题(每题5分,共8小题,总计40分))1.limn→∞[2+n21+n2+(12)n]的值是________.2.设数列{cn}的首项c1=1且前n项和为Sn.已知向量an→=(cn, 2),bn→=(cn+1, 1)满足an→ // bn→,则limn→∞Sn=________.3.在边长为1的正方形ABCD中,若E是CD的中点,则AD→⋅BE→=________.4.若圆(x-1)2+y2=4与直线x+y+1=0相交于A,B两点,则弦|AB|的长为________.5.某抛物线形拱桥的跨度为20米,拱高是4米,在建桥时,每隔4米需用一根柱支撑,其中最高支柱的高度是________.6.设F1,F2分别是椭圆x29+y24=1的左、右焦点.若点P在椭圆上,且|PF1→+PF2→|=25,则向量PF1→与向量PF2→的夹角的大小为________.7.已知A(2, 1),B(2, -1),O为坐标原点,动点P(x, y)满足OP→=mOA→+nOB→,其中m、n∈R,且m2+n2=12,则动点P的轨迹方程是________.8.在研究关于曲线C:x416-y2=1的性质过程中,有同学得到了如下结论①曲线C关于原点、x,y轴对称 ②曲线C的渐近线为y=±x2 ③曲线C的两个顶点分别为(-2, 0),(2, 0)④曲线C上的点到原点的最近距离为2.上述判断正确的编号为________.二、解答题(每题15分,共4题,总计60分))9.依次计算a1=2×(1-14),a2=2×(1-14)(1-19),a3=2×(1-14)(1-19)(1-116),a4=2×(1-14)(1-19)(1-116)(1-125),猜想an=2×(1-14)(1-19)(1-116)…(1-1(n+1)2)结果并用数学归纳法证明你的结论.10.三条直线l1:2x-y-10=0,l2:4x+3y-10=0,l3:ax+2y-8=0(1)求l1与l2的夹角大小.(用反三角函数表示)(2)若三条直线l1,l2,l3不能围成一个三角形,求a的所有可能值.11.已知两点A(-2, 0),B(2, 0),动点P在x轴上的射影为H,且PA→⋅PB→=λ⋅|PH→|2,其中λ≥0(1)求动点P(x, y)的轨迹C的方程并讨论C的轨迹形状(2)过点A(-2, 0)且斜率为1的直线交曲线C于M,N两点,若MN中点横坐标为-23.求实数λ?试卷第3页,总4页 12.双曲线C的方程为x24-y2=1,其渐近线为l1,l2(1)设P(x0, y0)为双曲线上一点,P到l1,l2距离分别为d1,d2,求证:d1d2为定值(2)斜率为1的直线l交双曲线C于A,B两点,若OA→⋅OB→=203,求直线l的方程.试卷第3页,总4页 参考答案与试题解析2014-2015学年上海市闸北区高二(上)期末数学试卷一、填空题(每题5分,共8小题,总计40分)1.12.23.14.225.3.84米6.90∘7.x24+y2=18.①③④二、解答题(每题15分,共4题,总计60分)9.解:a1=2×(1-14)=32,a2=2×(1-14)(1-19)=43,a3=2×(1-14)(1-19)(1-116)=54,a4=2×(1-14)(1-19)(1-116)(1-125)=65,猜想:an=n+2n+1证明:(1)当n=1时,显然成立;(2)假设当n=k(k∈N+)命题成立,即ak=k+2k+1则当n=k+1时,ak+1=ak•[1-1(k+2)2]=k+3k+2∴命题成立由(1)(2)可知,an=n+2n+1对n∈N+成立.10.解:(1)设l1与l2的夹角为θ,∵l1:2x-y-10=0,l2:4x+3y-10=0,∴两直线的斜率分别为2和-43,∴由夹角公式可得tanθ=|2-(-43)1+2×(-43)|=2,∴l1与l2的夹角为arctan2;(2)当l1与l3的平行(或重合)时可得-a-2×2=0,解得a=-4;当l2与l3的平行(或重合)时可得3a-4×2=0,解得a=83;当l1与l2与l3三线共点时,联立2x-y-10=04x+3y-10=0可解得x=4y=-2,代入l3的方程可得4a-4-8=0,解得a=3,综上可得:a=-4或a=83或a=3试卷第3页,总4页 11.解:(1)设P(x, y),∵两点A(-2, 0),B(2, 0),动点P在x轴上的射影为H,且PA→⋅PB→=λ⋅|PH→|2,其中λ≥0,∴(-2-x, -y)⋅(2-x, -y)=λ⋅y2,整理,得x2+y2-4=λy2,即x2+(1-λ)y2=4.①λ=0时,轨迹C是圆;②0<λ<1,轨迹C是椭圆,③λ=1,轨迹C是两条平行直线;④λ>1,轨迹C是双曲线.(2)设M(x1, y1),N(x2, y2),过点A(-2, 0)且斜率为1的直线为:y=x+2,联立y=x+2x2+(1-λ)y2=4,得(2-λ)x2+4(1-λ)x-4λ=0,∵直线交曲线C于M,N两点,∴△>0,设M(x1, y1),N(x2, y2),则x1+x2=-4(1-λ)2-λ,x1x2=-4λ2-λ,∵MN中点横坐标为-23,∴x1+x22=-2(1-λ)2-λ=-23,解得λ=12.12.解:(1)双曲线的渐近线方程为x±2y=0,P(x0, y0)满足x24-y2=1,即x02-4y02=4,则d1d2=|x0-2y0|5⋅|x0+2y0|5=|x02-4y02|5=45,(2)设A(x1, y1),B(x2, y2),由y=x+mx2-4y2=4, 得3x2+8mx+4(m2+1)=0,则由判别式△>0,解得m2>0,则x1+x2=-8m3x1x2=4(m2+1)3,则OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=x1x+(x1+m)(x2+m)=2x1x2+m(x1+x2)+m2=m2+83=203,∴m2=4,解得m=±2,故直线方程为y=x+2或y=x-2试卷第3页,总4页
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