2013-2014学年上海市某校高二(上)期末数学试卷一、填空题(每题3分,共42分)) 㦀ܧ㦀Аܧ灰1.方程组的增广矩阵为________. ܧܧА2.抛物线 ܧܧܧ的准线方程是________.3.过点 ᦙА 和点 ᦙ㦀ܧ 的直线的倾斜角为________.4.执行如图程序框图,输入 ܧА,则输出 的值是________.5.已知点 ᦙ 㦀 和 ᦙܧ 㦀㌳ ,点 满足 ܧ ,则点 的轨迹方程是________. ㌳ 6.已知直线 ܧܧ ܧ灰过点ᦙ㦀㌳ 㦀㌳ ,则行列式㌳㌳ܧ的值为________.ܧ㦀㌳㌳ ܧܧ7.若方程ܧܧ㌳表示焦点在 轴上的椭圆,则 的取值范围是________. 㦀 ܧ 8.已知直线 ㌳ ܧ ܧ 㦀㌳ܧ灰平行于直线 ܧ:ᦙ 㦀㌳ ܧܧ㌳ܧ灰,则实数 ܧ________.9.直线ܧ ܧ 与圆ᦙ 㦀 ܧܧᦙ㦀ܧ ܧܧ 相交于 , 两点,若 ܧ ,则 的取值范围是________.10.若曲线ܧ 㦀 ܧ与直线ܧ ᦙ 㦀ܧ ܧ 有两个不同的公共点,则实数 的取值范围是________.11.点 是抛物线ܧܧ 上的动点,点 的坐标为ᦙ 灰 ,则 的最小值为________.12.一条光线从点 ᦙ㦀 А 射到直线 㦀㦀 ܧ灰后,在反射到另一点 ᦙܧ ㌳ܧ ,则反射光线所在的直线方程是________.13.记直线 ܧᦙ ܧ㌳ 㦀㌳ܧ灰ᦙ 与坐标轴所围成的直角三角形的面积为 , lim则ᦙ ㌳ܧ ܧܧ ܧ ܧ ܧ________. 试卷第1页,总7页
ܧܧ14.已知 为椭圆 ܧܧ㌳上的任意一点, 为椭圆 的右焦点, 的坐标为ܧА㌳ ᦙ㌳ ,则 ܧ 的最小值为________.二、选择题(每题4分,共16分))15.已知点 ᦙ㦀 灰 和点 ᦙ 灰 ,动点 满足 㦀 ܧ ,则点 的轨迹方程是() ܧܧ ܧܧA.㦀ܧ㌳ᦙ 灰 B.㦀ܧ㌳ᦙ 灰 А А ܧܧ ܧܧC.㦀ܧ㌳ᦙ 灰 D.㦀ܧ㌳ᦙ 灰 . А А16.已知直线 ㌳ ܧܧ㦀㌳ܧ灰与直线 ܧ 㦀ܧ㦀 ܧ灰,“ ܧܧ”是“ ㌳的方向向量是 ܧ的法向量”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 ܧ17.直线 ܧܧ与双曲线㦀ܧܧ㌳的渐近线交于 、 两点,设 为双曲线上的任 意一点,若 ܧ ܧ ( , , 为坐标原点),则 、 满足的关系是()㌳㌳ܧܧ㌳ܧܧ㌳A. ܧB. ܧC. ܧ ܧD. ܧ ܧܧ ܧ 18.如图,函数ܧܧ的图象是双曲线,下列关于该双曲线的性质的描述中正确 的个数是() ①渐近线方程是ܧ 和 ܧ灰; ②对称轴所在的直线方程为ܧ 和ܧ㦀 ; ③实轴长和虚轴长之比为 : ; ④其共轭双曲线的方程为ܧ㦀. A.㌳个B.ܧ个C. 个D. 个.试卷第2页,总7页
三、简答题(共42分)) ܧܧ19.已知双曲线与椭圆ܧܧ㌳焦点相同,且其一条渐近线方程为 㦀ܧܧ灰,求㌳ 该双曲线方程.20.已知曲线 在轴右侧, 上每一点到点 ᦙ㌳ 灰 的距离减去它到轴距离的差都等于㌳,求曲线 的方程.21.求直线 ܧ ܧ㦀 ܧ灰关于直线 ܧ 㦀㌳ܧ灰对称的直线 的方程.22.如图,抛物线的方程为ܧܧܧ ᦙ 灰 .(1)当 ܧ 时,求该抛物线上纵坐标为ܧ的点到其焦点 的距离;(2)已知该抛物线上一点 的纵坐标为 ᦙ 灰 ,过 作两条直线分别交抛物线与㌳ܧܧ ᦙ ㌳ ㌳ 、 ᦙ ܧ ܧ ,当 与 的斜率存在且倾斜角互补时,求证:为定值; 并用常数 、 表示直线 的斜率. ܧܧ23.如图,已知椭圆 的方程为ܧܧ㌳ᦙ ܧ ㌳ܧ ,且长轴长与焦距之比为 :ܧ,㌳ܧ ܧ圆 的圆心在原点 ,且经过椭圆 的短轴顶点.(1)求椭圆 和圆 的方程;(2)是否存在同时满足下列条件的直线 :①与圆 相切与点 ( 位于第一象限); ②与椭圆 相交于 、 两点,使得 ܧܧ.若存在,求出此直线方程,若不存在,请说明理由.试卷第3页,总7页
参考答案与试题解析2013-2014学年上海市某校高二(上)期末数学试卷一、填空题(每题3分,共42分)㌳㦀ܧА1. ㌳А㌳2.ܧ㦀ܧ㌳3. 㦀arctan 4. 灰5. 㦀㦀Аܧ灰6.灰7.㦀 㦀㌳8.ܧ 9. 㦀 灰 А 10.ᦙ, ㌳ܧ ㌳㌳11.ܧ12. ܧ㦀㌳Аܧ灰㌳13.ܧ14.А.二、选择题(每题4分,共16分)15.B16.A17.B18.D三、简答题(共42分)19.解:∵双曲线的渐近线方程为 㦀ܧܧ灰,∴可设双曲线方程为 ܧ㦀ܧܧܧ , ܧܧ由于双曲线与椭圆ܧܧ㌳焦点相同,㌳ ∴ 灰.将 ܧ㦀ܧܧܧ 化为标准方程,得 ܧܧ㦀 ܧ㌳, ܧ试卷第4页,总7页
则有 ܧܧ㌳ 㦀 ܧ㌳ܧ,ܧ解得 ܧА, ܧܧ故双曲线方程为㦀ܧ㌳.А 20.解:根据题意知, 上每一点到点 ᦙ㌳ 灰 的距离等于它到直线 ܧ㦀㌳的距离.所以,曲线 上每一点在开口向右的抛物线上,其中 ܧܧ,所以抛物线方程为ܧܧ .又因为曲线 在轴的右边,所以,曲线 的方程为ܧܧ ᦙ 灰 .21.解:由ܧ ܧ㦀 ܧ灰, ܧ 㦀㌳ܧ灰, 方法一:设直线 的斜率为 ,又知直线 的斜率为㦀ܧ,直线 的斜率为㦀. 㦀㦀ᦙ㦀ܧ 㦀ᦙ㦀 则 ܧ .㌳ܧᦙ㦀 ᦙ㦀ܧ ㌳ܧ ᦙ㦀 ܧ解得 ܧ㦀.㌳㌳代入点斜式得直线 的方程为ܧ㦀ᦙ㦀ܧ ܧ㦀ᦙ 㦀 ,㌳㌳即ܧ ܧ㌳㌳ܧ㌳ ܧ灰.方法二:在直线 ܧ ܧ㦀 ܧ灰上找一点 ᦙܧ 灰 ,设点 关于直线 的对称点 的坐标为ᦙ 灰 灰 ,ܧܧ 灰灰ܧ灰灰㦀灰 由 ܧ 㦀㌳ܧ灰,ܧ,ܧܧ 灰㦀ܧ А解得 ᦙ 㦀 .АА㦀ᦙ㦀ܧ 㦀 由两点式得直线 的方程为Аܧ ,㦀ܧ㦀ᦙ㦀 㦀АА即ܧ ܧ㌳㌳ܧ㌳ ܧ灰.方法三:设直线 上的动点 ᦙ 关于 ܧ 㦀㌳ܧ灰的对称点 ᦙ 灰 灰 ,则有 ܧ 灰ܧ灰㦀灰 ܧ 㦀㌳ܧ灰,ܧ.ܧܧ 㦀 灰 㦀ܧ ܧ 㦀ܧ 㦀 ܧА解得 灰ܧ,灰ܧ.ܧАܧА ᦙ 灰 灰 在直线 ܧ ܧ㦀 ܧ灰上, 㦀ܧ ܧ 㦀ܧ 㦀 ܧА则ܧ ܧ㦀 ܧ灰,ܧАܧА化简得ܧ ܧ㌳㌳ܧ㌳ ܧ灰是所求直线 的方程.22.解:(1)∵抛物线的方程为ܧܧܧ ᦙ 灰 ,ܧ㌳∴当 ܧ 时,ܧА ,代入ܧܧ,解得 ܧ.ܧ试卷第5页,总7页
则由抛物线定义知:该点到焦点 的距离即为其到准线 ܧ㦀ܧ的距离,㌳А∴该抛物线上纵坐标为ܧ的点到其焦点 的距离 ܧ㦀ᦙ㦀ܧ ܧ.ܧܧ ܧ(2)设 ᦙ, ᦙ 灰 ,ܧ ㌳㦀 ܧ㦀 由题意 ܧ ܧ灰,即 ܧܧ ܧܧ灰, ㌳㦀ܧ ܧ㦀ܧ ∵ 、 在抛物线上,㌳㦀 ܧ㦀 ∴上式可化为ܧܧܧܧ灰,㌳ ܧܧ ܧ㦀㦀ܧ ܧ ܧ ܧ ㌳㌳∴ܧܧ灰,㌳ܧ ܧܧ ㌳ܧܧ从而有㌳ܧܧܧܧ ܧ灰,即ܧ㦀ܧ为定值. ㌳㦀ܧ㌳㦀ܧܧ 直线 的斜率 ܧ ܧܧܧܧ㦀 .㌳㦀 ܧ㌳㦀ܧ㌳ܧܧܧ ܧ ܧܧ23.解:(1)∵椭圆 的方程为ܧܧ㌳ᦙ ܧ ㌳ܧ ,㌳ܧ ܧ且长轴长与焦距之比为 :ܧ,ܧ㌳ܧ ܧ∴ܧ,解得 ܧ ,ܧ㌳ܧ㦀 ܧܧ ܧܧ∴椭圆 的方程为ܧܧ㌳.㌳ܧ 又∵圆 的圆心在原点 ,且经过椭圆 的短轴顶点,∴半径为 ܧܧ,∴圆 的方程为 ܧܧܧܧ .(2)存在.设直线 ܧ ܧ ᦙ 灰 灰 ,其与椭圆 的交点为 ᦙ ㌳ ㌳ , ᦙ ܧ ܧ 由条件①可得 ܧܧ,即ܧܧ,㌳ܧ ܧ解得 ܧܧ ᦙ㌳ܧ ܧ , ㌳ ܧ ܧ ᦙ 灰 灰 再由ܧܧ,得: ܧܧ ᦙ ܧ ܧ㦀㌳ܧܧ灰, ܧܧ㌳㌳ܧ 整理,得ᦙ ܧܧ㌳ ܧܧ ܧ ܧ㦀㌳ܧܧ灰,㦀 ㌳ܧ ܧܧܧ ܧ㌳∴ܧ, 㦀㌳ܧ ㌳ ܧܧܧ ܧ㌳由条件②可得 ㌳ ܧܧ㌳ܧܧܧ,∴ ㌳ ܧܧᦙ ㌳ܧ ᦙ ܧܧ ܧܧ,∴ᦙ ܧܧ㌳ ܧ ᦙ ܧ ܧ ܧ㦀ܧܧ灰,㌳ܧ㌳ܧܧ ܧ㦀㌳ܧ ܧ进而可化简ᦙ ܧ㌳ 㦀 ܧ 㦀ܧܧ灰, ܧܧ㌳ ܧܧ㌳∴ ܧ㦀ܧ ܧܧ ܧ灰, ܧ ܧܧ㌳综合 ㌳ , ܧ ,解得, ܧܧА试卷第6页,总7页
又 灰, 灰, ܧ㦀㌳∴,∴ : ܧ㦀ܧܧܧ灰. ܧܧܧ试卷第7页,总7页