2009-2010学年上海某校高二（上）期末数学试卷一、填空题（3分×12=36分）)1.已知limn→∞(an-1n+23n)=1，则a=________．2.一个等差数列的前4项是1，x，a，2x，则x等于________．3.行列式1023的值为________．4.关于x、y的二元线性方程组2x+my=5nx-3y=2的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011，则x+y=________．5.若a1b1c1123456=a1A1+b1B1+c1C1，则B1化简后的最后结果等于________．6.在四边形ABCD中，AB→⋅BC→=0，且AB→=DC→，则四边形ABCD的形状是________．7.5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有________种（用数字作答）．8.设数列{an}的首项a1=1且前n项和为Sn．已知向量a→=(1,an)，b→=(an+1,12)满足a→⊥b→，则limn→∞Sn=________．9.如图给出的是计算12+14+16+…+120的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是________．10.如图，在△ABC中，点D在BC上，且CD=2BD；点E在AC上，且AE=3EC．AD与BE的交点为F．若设AB→=a→，AC→=b→，AF→=λAD→，于是可得出：BE→=-a→+34b→，BF→=AF→-AB→=λAD→-AB→=λ(AB→+BD→)-AB→=…，于是由BE→ // BF→，可求出λ=试卷第7页，总7页 ________．11.在共有2009项的等差数列{an}中，有等式(a1+a3+...+a2009)-(a2+a4+...+a2008)=a1005成立，类比上述性质，相应的，在共有2011项的等比数列{bn}中，有等式________ 成立．12.在n个红球及n个白球，总计2n个球中取出m(m≤n)个球的方法数是C2nm，该方法数我们还可以用如下方法得到：只取m个红球；取m-1个红球，1个白球；取m-2个红球，2个白球；…．于是可得到组合数公式：C2nm=CnmCn0+Cnm-1Cn1+...+CnrCnm-r+...+Cn0Cnm(m≤n)，按如上方法化简下式得到的结果是：Cn0Cm0+Cn1Cm1+...+CnrCmr+...+CnmCmm=________（其中m≤n）二、选择题（3分×4=12分）)13.已知数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1=2an+an-1(n∈N*)，用数学归纳法证明a4n能被4整除，假设a4k能被4整除，应证（）A.a4k+1能被4整除B.a4k+2能被4整除C.a4k+3能被4整除D.a4k+4能被4整除14.若矩阵A=726967656259817468645952857976726964228219211204195183是表示我校2011届学生高二上学期的期中成绩矩阵，A中元素aij(i=1, 2, 3, 4；j=1, 2, 3, 4, 5, 6)的含义如下：i=1表示语文成绩，i=2表示数学成绩，i=3表示英语成绩，i=4表示语数外三门总分成绩j=k，k∈N*表示第50k名分数．若经过一定量的努力，各科能前进的名次是一样的．现小明的各科排名均在250左右，他想尽量提高三门总分分数，那么他应把努力方向主要放在哪一门学科上（）A.语文B.数学C.外语D.都一样15.已知等边△ABC的边长为23，平面内一点M满足CM→=16CB→+23CA→，则MA→⋅MB→=()A.-2B.113C.73D.316.关于x1，x2，x3的齐次线性方程组λx1+x2+λ2x3=0x1+λx2+x3=0x1+x2+λx3=0的系数矩阵记为A，且该方程组存在非零解，若存在三阶矩阵B≠O，使得AB=O，（O表示零矩阵，即所有元素均为0的矩阵；|B|表示行列式B的值，该行列式中元素与矩阵B完全相同）则…（）A.λ=-2，且|B|=0B.λ=-2，且|B|≠0C.λ=1，且|B|=0D.λ=1，且|B|≠0试卷第7页，总7页 三、解答题（9分+9分+10分+10分+14分=52分）)17.已知向量a→，b→的夹角为60∘，且|a→|=1，|b→|=2，设m→=3a→-b→，n→=ta→+2b→（1）求a→⋅b→； （2）试用t来表示m→⋅n→的值；（3）若m→与n→的夹角为钝角，试求实数t的取值范围．18.用行列式讨论关于x，y 的二元一次方程组mx+y=m+1x+my=2m解的情况并求解．19.用1，2，3，4，5，6这六个数字组成的四位数中，试回答下面问题（1）一共有多少个没重复数字的四位数？（2）若把（1）中这些没重复数字按从小到大的顺序排成一列，则3241是第几个数？（3）（2）中的第100个数字是多少？20.把公差为2的等差数列{an}的各项依次插入等比数列{bn}的第1项、第2项、…第n项后，得到数列{cn}:b1，a1，b2，a2，b3，a3，b4，a4，…，记数列{cn}的前n项和为Sn，已知c1=1，c2=2，S3=134．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）求数列{cn}的第2010项c2010；（3）设Tn=2010⋅bn+an，阅读框图写出输出项，并说明理由．试卷第7页，总7页 21.若数列{an}，{bn}中，a1=a，b1=b，an=-2an-1+4bn-1bn=-5an-1+7bn-1，(n∈N, n≥2)．请按照要求完成下列各题，并将答案填在答题纸的指定位置上．（1）可考虑利用算法来求am，bm的值，其中m为给定的数据(m≥2, m∈N)．右图算法中，虚线框中所缺的流程，可以为下面A、B、C、D中的________（请填出全部答案）A、B、C、D、（2）我们可证明当a≠b，5a≠4b时，{an-bn}及{5an-4bn}均为等比数列，请按答纸题要求，完成一个问题证明，并填空．证明：{an-bn}是等比数列，过程如下：an-bn=(-2an-1+4bn-1)+(5an-1-7bn-1)=3an-1-3bn-1=3(an-1-bn-1)所以{an-bn}是以a1-b1=a-b≠0为首项，以________为公比的等比数列；同理{5an-4bn}是以5a1-4b1=5a-4b≠0为首项，以________为公比的等比数列试卷第7页，总7页 （3）若将an，bn写成列向量形式，则存在矩阵A，使anbn=Aan-1bn-1=A(Aan-2bn-2)=A2an-2bn-2=…=An-1a1b1，请回答下面问题：①写出矩阵A=________；  ②若矩阵Bn=A+A2+A3+...+An，矩阵Cn=PBnQ，其中矩阵Cn只有一个元素，且该元素为Bn中所有元素的和，请写出满足要求的一组P，Q：________； ③矩阵Cn中的唯一元素是________．计算过程如下：试卷第7页，总7页 参考答案与试题解析2009-2010学年上海某校高二（上）期末数学试卷一、填空题（3分×12=36分）1.12.23.34.45.66.矩形7.728.239.i>1010.91011.b1b3b5…b2011b2b4b6…b2010=b100612.Cn+mm（或Cn+mn）二、选择题（3分×4=12分）13.D14.B15.A16.C三、解答题（9分+9分+10分+10分+14分=52分）17.解：（1）∵向量a→，b→的夹角为60∘，且|a→|=1，|b→|=2，∴a→⋅b→=1×2×cos60∘=1；  …（2）∵m→=3a→-b→，n→=ta→+2b→∴m→⋅n→=(3a→-b→)⋅(ta→+2b→)=3ta→2+(6-t)a→⋅b→-2b→2=3t+6-t-2×4=2t-2…（3）夹角为钝角，于是m→⋅n→<0且m→与n→不平行．其中m→⋅n→<0⇒t<1，而m→ // n→⇒t=-6，于是实数t的取值范围是t∈(-∞, -6)∪(-6, 1)．…，其中没排除平行情况扣18.解：D=m11m=m2-1=(m+1)(m-1)，Dx=m+112mm=m2-m=m(m-1)，Dy=mm+112m=2m2-m-1=(2m+1)(m-1)，…（各共3分）(1)当m≠-1，m≠1时，D≠0，方程组有唯一解，解为(4)x=mm+1(5)y=2m+1m+1(6)…（，其中解1分）(2)当m=-1时，D=0试卷第7页，总7页 ，Dx≠0，方程组无解；…(3)当m=1时，D=Dx=Dy=0，方程组有无穷多组解，此时方程组化为x+y=2x+y=2，令x=t(t∈R)，原方程组的解为x=ty=2-t(t∈R)．…（，没写出解扣1分）19.解：（1）用1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的四位数，也就是从6个数字中取出4个数字的所有排列的个数，故有P64=360；…（2）1，2开头的数字有2P53=120，31开头的数字有P42=12个，32开头的数字只有3214，3215，3216比3241小，于是3241是第120+12+3+1=136个数．…（3）由于1，2开头的数字有120个，1开头的数字有60个，于是第100个数字一定是2开头的数字．21，23，24开头的数字各有P42=12个，总计36个，于是2513是第60+36+1=97个数，第98、99个数依次是2514，2516．所以第100个数字是2531．…20.解：（1）由题意，b1=1，a1=2，S3=b1+a1+b2=134，故b2=14…所以an=2n，bn=(14)n-1…，总计（2）数列{cn}中的第2010项即数列{an}中的第1005项，于是c2010=a1005=2010；…（3）由于Tn=2010⋅(14)n-1+2n所以Tn+1=2010⋅(14)n+2n+2∴Tn+1-Tn=-2010⋅(14)n-1⋅34+2=2-6030⋅(14)n当n>5时Tn+1-Tn>0{Sn}递增当n≤5时Tn+1-Tn<0{Sn}递减通过计算T4=39.41，T5=17.85，T6=13.96，T7=14.49，T8=16.12所以满足条件Tn<15的项只有两项：T6，T7…21.ACD3,2-24-57,P=11，Q=11,2n+2-4试卷第7页，总7页