三校清北班段段清联考数学试题12月20日（时间120分钟，满分150分）考生须知：1．本试卷满分120分，考试时间为120分钟.2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内.3．请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答案无效.4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，毎小题5分，共60分。在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，集合，则（）A．B．C．D．2.已知,那么角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第一或第三象限角D．第一或第四象限角3．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？术曰：以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦．弦者，葛之长”．意思是：今有丈长的圆木，其横截面周长尺，葛藤从圆木底端绕圆木周至顶端，问葛藤有多长？九章算术还有解释：七周乘以三尺为股（直角三角形较长的直角边），木棍的长为勾（直角三角形较短的直角边），葛的长为弦（直角三角形的斜边）（注：丈＝尺）A．B．C．D． 4.已知数列的前项和为，且，则（）A．B．C.D．5.已知，下列不等式成立的是（）A．B．C.D．6.若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离是（）A．B．C.D．7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（）A．B．C.D．8.是经过双曲线焦点且与实轴垂直的直线，是双曲线的两个顶点，若在上存在一点，使，则双曲线离心率的最大值为（）A．B．C.D．9. 蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知某鞠的表面上有四个点，满足任意两点间的直线距离为，现在利用打印技术制作模型，该模型是由鞠的内部挖去由组成的几何体后剩余的部分，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（参考数据：取，精确到）A．B．C.D．10.已知函数，若等差数列的前项和为，且，则（）A．B．C.D．11.在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作为角q的余矢，记作，则下列命题中正确的是（）A．函数在上是减函数B．若，则C.函数，则的最大值D．12.已知函数（为常数），则下列结论正确的有（）A．若有个零点，则的范围为 B．时，是的极值点C.时，的零点，且D．时，恒成立二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知单位向量的夹角为与垂直，则．14.已知空间中不同直线和不同平面：①若互为异面直线，，则②若，则③若，则④若，则上述命题中是真命题的是．15.设，若，则．16.若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。21.17.已知的内角所对的边分别为，求角若边上的高为，求18.已知等差数列与正项等比数列满足，且 既是等差数列，又是等比数列．求数列和的通项公式；设，求数列的前项和19.四棱锥的底面是边长为的菱形，底面分别是的中点．已知,若平面平面，求的值；在的条件下，求平面与平面所成二面角的正弦值20.已知椭圆的离心率为是椭圆上的一点.求椭圆的方程；过点作直线与椭圆交于不同两点点关于轴的对称点为，问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由 21.已知函数讨论的单调性若是的两个零点证明：选考题：共10分。请考生在第22、23题中选一题作答。如果多选，则按所做的第一题记分。22.【选修4－4：坐标系与参数方程】已知在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为求圆的普通方程和直线的直角坐标方程；设是直线上任意一点，过作圆切线，切点为，求四边形面积的最小值。23．【选修4—5:不等式选讲】已知，函数当时，求不等式的解集当的最小值为时，证明三校清北班段段清联考数学答案一、选择题：本题共12小题，毎小题5分，共60分。在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1-5：6-10：11-12：二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.14.15.16.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。17.解：由正弦定理可得由，可得，且解得由余弦定理可得即 解得18.设等差数列的公差为，等比数列的公比为由题得即解得所以则故19.【解析】若平面平面,平面平面平面平面由面面平行的性质定理可知:于是，由为的中点知:为的中点,故, 所以由平面平面知,平面与平面所成二面角即为平面与平面所成二面角.连接,交于点,因为四边形为菱形,则,以点为坐标原点,以所在的直线分别为轴,轴,过点与底面垂直的直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系则于是设平面的法向量为由得取，则，于是同理可求得平面的一个法向量为则 所以二面角的正弦值为20.解：将代入椭圆显然斜率存在，设为：设直线 时，直线过定点21.解：定义域为增函数当时在为增函数，在为减函数·证明：原不等式等价于因为由②-①得，则则等价于因为所以 即证等价于设设③等价于在上为增函即所以在上递增，在上递减因为有两个不相等的实根则，且 易知对恒成立则对恒成立因为所以又因为所以因为且，所以因为所以即22.解：圆的参数方程为圆的普通方程为由得 直线的直角坐标方程圆心到直线的距离为由于是直线任意一点，则四边形面积四边形面积的最小值为23.解：不等式可化为当时，当时，无解当时， 不等式的解集为