莆田一中2021届高三模拟卷试卷数学试题本试卷共4页．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题意1．直线xy20与直线xy0的交点为M，则点M的集合表示为（）A．{1,1}B．{1,1}C．{1}D．12．1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式ixecosxisinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式i可知，设复数ze4，根据欧拉公式可知，z2表示的复数的实部为（）22A．B．0C．1D．—223．为迎接学校的文艺汇演，某班准备编排一个小品，需要甲、乙、丙、丁四位同学扮演老师、家长、学生、快递员四个角色，他们都能扮演其中任意一个角色，下面是他们选择角色的一些信息：①甲和丙均不扮演快递员，也不扮演家长；②乙不扮演家长；③如果甲不扮演学生，那么丁就不扮演家长．若这些信息都是正确的，由此推断丙同学选择扮演的角色是（）A．老师B．家长C．学生D．快递员4．用两个1，一个2，一个0可组成不同四位数的个数是()A．18B．12C．9D．85．如图，在三棱柱ABCABC中，AA平面ABC，四边形BCCB为正111111方形，BC2AB4，ABBC，D为CB的中点，则异面直线AC与AD1111所成角的余弦值为()3103025A．B．C．D．51010522xy6．双曲线221(a0,b0)的左，右焦点分别为F1,F2，过F1的直线与双曲线的左，右支分ab别交于A，B两点，ABF为等边三角形，则双曲线的离心率e为（）2A．2B．1363C．7D．197．已知函数f(x)＝lnx－ax2＋x有零点，则实数a的取值范围是()1e1eA．(1，+∞)B．(－∞,1]C．,2D．0,2ee8．生物体的成长都经过发生、发展、成熟三个阶段，每个阶段的发展速度各不相同．通常在发生阶段成长速度较为缓慢、在发展阶段速度加快、在成熟阶段速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段发展的得到变化曲线称为生长曲线．美生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出的一种能较好的描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析的式为1 Kf(x)(K0,a1,k0)的形式．一种刚栽种的果树的生长曲线的函数解析式为kxb1a10f(x)(xN)，x表示果树生长的年数，f(x)表示生长第x年果树的高度，若栽种时该果kxb13树高为1m；一年后，该果树高为2．5m．现有如下四个结论：①该果树两年后的高度为5m；②该果树高度超过8m，至少需要4年；③该果树生长最快的是第二年和第三年；④若该果树年增长高度低于0．5m时，达到成熟期，则该果树将在第六年达到成熟期，则正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．329．若e是一个单位向量，向量ae，be，则下列说法正确的是（）23A．e不是单位向量B．a，b不能做为平面向量的一组基底aC．eD．ab=1a1510．f(x)cos(x)(0,(0,))，f(0)，且f(x)在,上单调递增，则（）226A．B．的取值范围为0,364C．的取值范围为,2D．x0，使f(x)在区间(x,x)上为减函数3000211．已知抛物线C:y2pxp0的焦点为F，直线的斜率为3且经过点F，直线l与抛物线C交于点A、B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若AF8，则以下结论正确的是（）A．p4B．DFFAC．BD2BFD．BF412．若存在实常数k和b，使得函数Fx和Gx对其公共定义域上的任意实数x都满足：Fxkxb和Gxkxb恒成立，则称此直线ykxb为Fx和Gx的“隔离直线”，已21知函数fxxxR，gxx0，hx2elnx（e为自然对数的底数），则下列结论正x确的是（）1A．mxfxgx在x,0内单调递增32B．fx和gx之间存在“隔离直线，且b的最小值为4C．f(x)和g(x)间存在“隔离直线”，且k的取值范围是4,0D．fx和hx之间存在唯一的“隔离直线”y2exe三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．以下是某校高三实验班50人的数学考试成绩的频数分布：成绩[90，105）[105，120）[120，135）[135，150]频数720158则估计这50人数学考试成绩的中位数为___________2 14．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中第0行1国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，欧洲第1行11数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数第2行121字为a1，第3行的第3个数字为a2,L，第n1行的第3个数字为an，第3行1331111111则___________．第4行14641aaaaaa123456第5行15101051MM15．一般情况下，cos()coscos是不成立的，不过取合适的两个角，该等式也是可以成立的，请写出使该等式成立的一组角(,)的值________16．已知一个底面半径为2，高为4的圆柱杯，放置4个半径为1的玻璃球，且小球两两相切，现往里倒水，当水刚好没过所有玻璃球时，水倒进的体积为_________四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）1在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足abccosB．2（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若a2,b3，求sin2A的值．18．（本小题满分12分）a1从“①Sn(n)；②Sa，aaa；③a2，a是a，a的等比数列”，三个条件任选一n2341214282个，补充到下面的横线处，并解答．已知等差数列a的前n项和为S，公差d不等于0，，nN．nn（1）求数列a的通项公式；nb2an，若TababababT（2）若nn1n2n13n2n1，求n19．（本小题满分12分）如图（1）所示，SBC中，SBBC,AD//BC,SB3BC9,SA3，现沿AD进行翻折，得到如图（2）所示的图形，其中SB35（1）求证：ABSD；（2）在图（2）中，若点E为线段BC的中点，点F是线段SB上靠近B的三等分点，求直线DF与平面AEF所成角的正弦值图（1）图（2）3 20．（本小题满分12分）甲，乙两个队举行乒乓球擂台赛，每个队有3位选手，编号1，2，3．首先各队1号比赛，负者淘汰，负的一方2号上台与对方1号比赛，负者淘汰，负的一方下一号上，以此类推，直到一方队员淘汰完，则另一方获胜．0.50.40.30.60.50.30.80.60.5上表的第m行第n列的数字是甲方m号胜乙方n号的概率，（1）计算三场结束比赛且甲方胜出的概率；（2）设X表示总的比赛场次，求X的分布列和数学期望．21．（本小题满分12分）22xy31已知椭圆221(ab0)过点Q1,，且离心率e．ab22（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C长轴两端点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的动点，直线l:x4与直线PA，PB分别交于M，N两点，试判断以MN为直径的圆是否过定点？若经过，求出定点坐标；若不存在，请说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数f(x)xlnxa(x1)f(x)（1）若f(x)，讨论f(x)的单调性；11x（2）若x1,f(x)12x，求整数a的最大值4