湖北省武汉市第二重点中学2022届高三上学期8月底模拟数学试题考试时间：2021年8月22日上午7:30-9:30试卷满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A．B．C．D．2.复数（为虚数单位）的虚部是（）A.B.C.D.3.已知且都不为0（），则“”是“关于的不等式与同解”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长．当基本传染数持续低于时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为，个感染者在每个传染期会接触到个新人，这人中有个人接种过疫苗(称为接种率)，那么个感染者新的传染人数为．已知新冠病毒在某地的基本传染数为了使个感染者传染人数不超过，该地疫苗的接种率至少为（）A.B.C.D.5.过正方体顶点作平面，使平面，和的中点分别为和，则直线与平面所成角的正弦值为　　A．B．C．D．6.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O 为其外接圆的圆心.已知，则角A的最大值为（）A．B．C．D．7.如图所示，已知和分别是双曲线的左、右焦点，圆与双曲线位于轴上方的图像从左到右依次交于、两点，如果，则的余弦值为()。A．B.C.D.8.若，则（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.为了解目前淮安市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀．则下列说明正确的是（）参考数据：随机变量，则，，．A．该校学生体育成绩的方差为10B．该校学生体育成绩的期望为70C．该校学生体育成绩的及格率不到85%D．该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当10.已知数列的前项和是，则下列结论正确的是（）A．若数列为等差数列，则数列为等差数列B．若数列为等差数列，则数列为等差数列C．若数列和均为等差数列，则 D．若数列和均为等差数列，则数列是常数数列11.已知函数与函数有相同的对称中心，则下列结论正确的是（）A．若方程在上有两个不同的实数根，则取值范围是B．将函数的图象向右平移个单位，会与函数的图象重合C．函数的所有零点的集合为D．若函数在上单调递减，则，12．在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛(Alberobello)，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo，于1996年被收人世界文化遗产名录.现测量一个Trullo的屋顶，得到圆锥其中为顶点，为底面圆心)，母线长为6米，是母线的靠近点的三等分点.从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，若灯光带的最小长度为米.下面说法正确的是（）A．圆锥的侧面积为平方米B．过点的平面截此圆锥所得截面面积最大值为18平方米C．圆锥的外接球表面积为平方米D．棱长为米的正四面体在圆锥内可以任意转动 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设，且，若能被13整除，则。14.已知关于的不等式的解集为，则的最小值为________________．15.某公司根据上年度业绩筛选出业绩出色的，，，四人，欲从此4人中选择1人晋升该公司某部门经理一职，现进入最后一个环节：，，，四人每人有1票，必须投给除自己以外的一个人，并且每个人投给其他任何一人的概率相同，则最终仅一人获得最高得票的概率为　　．16．在平面直角坐标系中，定义、两点间的直角距离为，如图，是圆当时的一段弧，是与轴的交点，将依次以原点为中心逆时针旋转五次，得到由六段圆弧构成的曲线．则_______．若点为曲线上任一点，则的最大值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某驾校拟围着一座山修建一条环形训练道路，道路的平面图如图所示(单位：)，已知曲线为函数，的图像，且最高点为，折线段为固定线路，其中，，折线段为可变线路，但为保证驾驶安全，限定。(1)求、、的值；(2)若，试用表示折线段道路的长，并求折线段道路长度的最大值。 18.已知数列满足，数列满足。(1)证明数列为等比数列并求数列的通项公式；(2)数列满足，求数列的前项和。19．如图，平面，，，，四边形的对角线交于点M，N为棱上一点，且平面.（1）求的值：（2）求二面角的余弦值. 20.某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如下表所示（单位：人）：好评差评合计男性68108女性60合计216（1）请将列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的男性观众的人数，求X的分布列；（3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取人．现从这人中，随机抽出2人，用随机变量Y表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数．若随机变量Y的数学期望不小于1，求m的最大值．参考公式：，其中．参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828 21.已知椭圆的左、右顶点分别为，，为原点.以为对角线的正方形的顶点，在上.（1）求的离心率；（2）当时，过作与轴不重合的直线与交于，两点，直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出定值，并加以证明；若不是，请说明理由.22.已知函数．（1）判断函数的零点个数；（2）求证：有两个极值点，且． 武汉二中2022届新高三暑期模拟考试数学参考答案1-8DABCAAAC9.BC10.BCD11.BD12．AD13.114.15.16．,17.【解析】(1)由已知，且有，即，由，得，2分又∵最高点为，∴，解得，∴4分(2)∵点的横坐标为3，代入函数解析式得，∴，5分在中，设，则，由正弦定理，有，∴，，7分∴，9分∴当且仅当时，折线段最长，最长为千米。10分18.【解析】(1)∵当时，，1分又∵，∴数列是首项为，公比为的等比数列，3分∴，∴()；5分(2)∵，∴，6分当时，当时，7分 ∴，当时符合，∴，9分∴，10分∴。12分19．（1）因为，且，所以，从而，因为平面，平面，平面平面，所以，所以.（2）以点A为坐标原点､方向为y轴正方向､方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，由（1）知，解得，所以，，设平面法向量为，则，，令，得，平面的法向量为，所以，由图可知二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为. 20.解：（1）填写列联表如下：好评差评合计男性4068108女性6048108合计100116216所以，所以有99%的把握认为“观影评价与性别有关”．（2）从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为男性的概率为，且各次抽取之间相互独立，所以，所以，，，．故X的分布列为X0123P（3）从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人,则男性4人，女性6人.则Y的可能取值为0，1，2．所以，，．所以，即，即，解得，又，所以m的最大值为2． 21.解法一：（1）以为对角线的正方形的顶点坐标分别为，，.因为，在椭圆上，所以，所以，所以，所以椭圆的离心率；（2）当时，，所以椭圆的方程为.为定值，理由如下：①当直线的斜率不存在时，的方程为，则，，所以，，所以.②当直线的斜率存在时，设的方程为，，设，，不妨设，且.由可得，，，.要证，只要证明：，只要证：，只要证：，只要证：，因为，，即证，因为，，所以.所以成立，综上所述：.解法二：（1）同解法一； （2）当时，，所以椭圆的方程为.设的方程为，，设，，不妨设.由可得，，，.所以，即..综上所述：.22.（1）定义域为．当时，令，得，令，得，故在上单调递增，在上单调递减．∴至多有两个零点．∵，∴，∴，∴在上有一个零点．，所以在上导数大于零，函数递增，在上导数小于零，函数递减，，所以，即，从而，又∵，∴在上有一个零点．综上，函数有两个零点． （2）的定义域为．由（1）知有两个零点，设为，且，且．又∵在上单调递增，在上单调递减．∴当，或时，；当时，．∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故为的两个极值点．，同理．欲证，即证．∵，∴∴，令，即证，即证．记，∴在上单调递增，故，