2021年甘肃省白银市学科基地高考数学模拟试卷（理科）（二）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合，2，，，则　　A．，B．，C．，D．，2，2．（5分）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，两点，对应的复数分别为，，则　　A．B．C．D．3．（5分）已知向量，满足，，且，则　　A．B．2C．D．44．（5分）已知为奇函数，则“”是“”的　　A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）《算法统宗》古代数学名著，其中有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第二个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要长幼分明，使孝顺子女的美德外传，则第五个孩子分得斤数为　　A．65B．99C．133D．1506．（5分）设实数、满足约束条件，则上的取值范围为　　 A．B．C．D．7．（5分）以直角三角形两直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙（希波克拉蒂月牙）面积的和等于该直角三角形的面积，这个定理叫作希波克拉蒂的“月牙定理”．如图所示，在直角三角形中，，，将整个图形记为区域，若向区域内随机投一点，则点落入“希波克拉蒂月牙”的概率为　　A．B．C．D．8．（5分）过正方体顶点作平面，使平面，和的中点分别为和，则直线与平面所成角的正弦值为　　A．B．C．D．9．（5分）已知函数为奇函数，其中，则曲线在点，处的切线方程为　　A．B．C．D．10．（5分）已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是，在第二象限的公共点．若，则的离心率为　　A．B．C．D．11．（5分）已知向量，，是空间中的一个单位正交基底．规定向量积的行列式计算： ，，，其中行列式计算表示为，若向量，则　　A．，，B．，4，C．，8，D．，，12．（5分）设函数是定义在上的偶函数，且，当，时，，若在区间内关于的方程且有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是　　A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）的展开式中，第5项为常数项，则　　．14．（5分）过抛物线的焦点作斜率为的直线，与该抛物线交于，两点，若的面积等于为坐标原点），则　　．15．（5分）在中，已知，，，则　　．16．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，其中AD＝1，AB＝2，侧棱PA⊥底面ABCD，且直线PB与CD所成角的余弦值为，则四棱锥P﹣ABCD的外接球表面积为　　．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17．（12分）已知数列的前项和，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．18．（12分）如图，三棱柱中，，，，， ．（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．19．（12分）已知椭圆左焦点为，经过点的直线与圆相交于，两点，是线段与的公共点，且．（1）求椭圆的方程．（2）与的交点为，，且恰为线段的中点，求的面积．20．（12分）盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶．由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”．某款盲盒内可能装有某一套玩偶的、、三种样式，且每个盲盒只装一个．（1）若每个盲盒装有、、三种样式玩偶的概率相同．某同学已经有了样式的玩偶，若他再购买两个这款盲盒，恰好能收集齐这三种样式的概率是多少？（2）某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了200份问卷，并全部收回．经统计，有的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占；而在未购买者当中，男生女生各占．请根据以上信息填写表，并分析是否有的把握认为购买该款盲盒与性别有关？女生男生总计购买未购买总计200 参考公式：，其中．参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（3）该销售网点已经售卖该款盲盒6周，并记录了销售情况，如表：周数123456盒数1623252630由于电脑故障，第二周数据现已丢失，该销售网点负责人决定用第4、5、6周的数据求线性回归方程，再用第1、3周数据进行检验．①请用4、5、6周的数据求出关于的线性回归方程；（注，②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2盒，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问①中所得的线性回归方程是否可靠？21．（12分）已知且，．（1）当时，求的单调区间；（2）设，存在、，使成立．求实数的取值范围．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题记分。[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知曲线的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线的普通方程；（2）、为曲线上两个点，若，求的值．[选修4-5：不等式选讲] 23．设函数．（1）求不等式的解集；（2）若方程有两个不等实数根，求的取值范围．（3）已知，，，且，求的最小值及此时，，的值． 2021年甘肃省白银市学科基地高考数学模拟试卷（理科）（二）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合，2，，，则　　A．，B．，C．，D．，2，【考点】交集及其运算【分析】求出集合，利用交集定义能求出．【解答】解：集合，2，，，，．故选：．【点评】本题考查集合的运算，涉及到交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，两点，对应的复数分别为，，则　　A．B．C．D．【考点】复数的运算【分析】由图可知：，，再利用复数的运算法则即可得出． 【解答】解：由图可知：，，则，故选：．【点评】本题考查了复数的运算法则及共轭复数，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）已知向量，满足，，且，则　　A．B．2C．D．4【考点】向量的概念与向量的模；平面向量数量积的性质及其运算【分析】可设，然后根据可得出，然后根据即可求出的值．【解答】解：设，则：，，，且，，解得．故选：．【点评】本题考查了向量坐标的加法和数乘运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．4．（5分）已知为奇函数，则“”是“”的　　A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件【分析】由为奇函数可得，然后由求得范围，最后求得正确选项．【解答】解：为奇函数， ，即，，由得，，解得，“”是“”的必要不充分条件．故选：．【点评】本题考查函数性质及充分、必要条件的判定，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．5．（5分）《算法统宗》古代数学名著，其中有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第二个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要长幼分明，使孝顺子女的美德外传，则第五个孩子分得斤数为　　A．65B．99C．133D．150【考点】等差数列的前项和【分析】设这八个孩子分得棉花的斤数构成等差数列，由题设求得其首项与公差，即可求得结果．【解答】解：设这八个孩子分得棉花的斤数构成等差数列，由题设知：公差，又，解得，故，故选：．【点评】本题主要考查等差数列在实际问题中的应用及等差数列基本量的计算，属于基础题．6．（5分）设实数、满足约束条件，则上的取值范围为　　A．B．C．D．【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，可行域内的动点与定点连线的斜率求解． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组求得，，，的几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率，，，的取值范围为．故选：．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．7．（5分）以直角三角形两直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙（希波克拉蒂月牙）面积的和等于该直角三角形的面积，这个定理叫作希波克拉蒂的“月牙定理”．如图所示，在直角三角形中，，，将整个图形记为区域，若向区域内随机投一点，则点落入“希波克拉蒂月牙”的概率为　　A．B．C．D．【考点】几何概型【分析】由已知先求出月牙的面积，然后求出图形的总面积，结合与面积有关的几何概率公式可求． 【解答】解：直角三角形中，，，所以，，，，，，，故向区域内随机投一点，点落入“希波克拉蒂月牙”的概率．故选：．【点评】本题主要考查了与面积有关的几何概率的求解，属于基础题．8．（5分）过正方体顶点作平面，使平面，和的中点分别为和，则直线与平面所成角的正弦值为　　A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角【分析】将与平面所成的角转化为与平面所成的角，利用线面角的定义找到对应的角，然后在三角形中利用边角关系求解即可．【解答】解：如图所示，平面，则与平面所成的角即为与平面所成的角，取的中点，连结，，设交点为，由正方体的结构特征可得，为正方体的中心，因为，，，，平面，所以平面，因为，分别为，的中点，所以，所以平面，过点作的延长线交于点，则，连结，则为线在平面的投影，所以为直线和平面所成的角， 设正方体的棱长为，则，，所以．故选：．【点评】本题考查了线面角的求解，在使用几何法求线面角时，可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得，属于中档题．9．（5分）已知函数为奇函数，其中，则曲线在点，处的切线方程为　　A．B．C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】由题意求得，可得函数解析式，求出导函数，得到，再求出，利用直线方程的点斜式得答案．【解答】解：为奇函数，，则，，，，验证此时为奇函数，，， ，又，曲线在点，处的切线方程为，即．故选：．【点评】本题考查函数奇偶性的性质，考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．10．（5分）已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是，在第二象限的公共点．若，则的离心率为　　A．B．C．D．【考点】：椭圆的性质【分析】不妨设，，依题意，解此方程组可求得，的值，利用双曲线的定义及性质即可求得的离心率．【解答】解：设，，点为椭圆上的点，，，；，即；①又四边形为矩形，，即，②由①②得：，解得，，设双曲线的实轴长为，焦距为，则，，双曲线的离心率．故选：． 【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得与是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．11．（5分）已知向量，，是空间中的一个单位正交基底．规定向量积的行列式计算：，，，其中行列式计算表示为，若向量，则　　A．，，B．，4，C．，8，D．，，【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示【分析】根据向量的坐标公式代入计算即可得出．【解答】解：由题意得：，8，，故选：．【点评】熟练掌握向量的坐标意义是解题的关键．12．（5分）设函数是定义在上的偶函数，且，当，时，，若在区间内关于的方程且有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是　　A．B．C．D． 【考点】53：函数的零点与方程根的关系【分析】由已知中可以得到函数是一个周期函数，且周期为4，将方程恰有4个不同的实数解，转化为函数的与函数的图象恰有4个不同的交点，数形结合即可得到实数的取值范围．【解答】解：对于任意的，都有，，函数是一个周期函数，且．又当，时，，且函数是定义在上的偶函数，若在区间内关于的方程恰有4个不同的实数解，则函数与在区间上有四个不同的交点，如下图所示：又（2）（6），则对于函数，由题意可得，当时的函数值小于1，即，由此解得：，的范围是故选：．【点评】 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）的展开式中，第5项为常数项，则　6　．【考点】二项式定理【分析】求出展开式的第5项，令的指数为0即可求解．【解答】解：二项式的展开式的第5项为，令，解得，故答案为：6．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．14．（5分）过抛物线的焦点作斜率为的直线，与该抛物线交于，两点，若的面积等于为坐标原点），则　2　．【考点】抛物线的性质；直线与抛物线的综合【分析】求出抛物线的焦点坐标，，得到直线，代入抛物线方程可得，设，，，，利用韦达定理，结合三角形的面积，转化求解即可．【解答】解：由题意可知抛物线的焦点坐标，，从而直线的方程为：，代入抛物线方程可得，设，，，，则，，的面积等于，即，可得，解得．故答案为：2．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．15．（5分）在中，已知，，，则　　．【考点】余弦定理 【分析】作，交于，则，在中，先由余弦定理列得关于长度的方程，再由余弦定理求出．【解答】解：，，，，作，交于，则，，即，设，则，在中，由余弦定理知，，，解得，，，在中，由余弦定理知，．故答案为：．【点评】本题主要考查解三角形中余弦定理的应用，作辅助线构造角度是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．16．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，其中AD＝1，AB＝2，侧棱PA⊥底面ABCD，且直线PB与CD所成角的余弦值为，则四棱锥P﹣ABCD的外接球表面积为　6π　．【考点】球的体积和表面积．菁优网版权所有【分析】因为PA⊥底面ABCD，ABCD为矩形，故把四棱锥P﹣ABCD可补形为长方体进行求解．【解答】解：如图，四棱锥P﹣ABCD可补形为长方体．因为AB∥CD，所以直线PB与CD所成角等于直线PB与AB所成角，即cos∠PBA＝， 所以tan∠PBA＝，PA＝1．设四棱锥P﹣ABCD的外接球半径为R，则（2R）2＝12+12+22，即4R2＝6，所以表面积为6π．故答案为：6π．【点评】本题考查空间几何体的外接球，可用补形法求解，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17．（12分）已知数列的前项和，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【考点】88：等比数列的通项公式；：数列的求和【分析】本题第（1）题先根据公式，初步计算出数列的含有参数的通项公式，然后将，，代入通项公式，并根据等比中项的性质列出关于的方程，解出的值，即可得到数列的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出的表达式，以及数列的通项公式，然后将通项公式进行转化，最后运用裂项相消法可计算出前项和． 【解答】解：（1）由题意，当时，，当时，，当时，也满足上式，，，，成等比数列，，，解得，，．（2）由（1）知，，则，．【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了转化与化归思想，方程思想，分类讨论法，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题． 18．（12分）如图，三棱柱中，，，，，．（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．【考点】直线与平面垂直；二面角的平面角及求法【分析】（1）根据直线与平面垂直的判定定理证明；（2）用向量数量积计算直线与平面成角的正弦值和二面角的余弦值．【解答】（1）证明：因为，，，由余弦定理得，所以，所以，又因为，又因为，所以平面．（2）解：由已知和（1）得，、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，，0，，，0，，，，，，0，，，0，，，，，，，，，0，，，，，设平面和平面的法向量分别为，，，，，，，，令，，0，， ，令，，，，直线与平面所成角的正弦值为，解得，，0，，，，，所以二面角的余弦值为．【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线成平面成角和二面角的计算问题，属于中档题．19．（12分）已知椭圆左焦点为，经过点的直线与圆相交于，两点，是线段与的公共点，且．（1）求椭圆的方程．（2）与的交点为，，且恰为线段的中点，求的面积．【考点】：椭圆的标准方程；：直线与椭圆的综合【分析】（1）由题意可得，所以，可得的值，又，可求出的值，从而得出椭圆的方程；（2）由，结合，可求处点的坐标，分情况讨论即可求出的面积．【解答】解：（1）由圆可得，因为， 所以，即，又，故，所以椭圆的方程为；（2）设，，，，为线段的中点，则，，又，解得，，若，则，直线的方程为，由．解得，即，，所以的面积，若，同理可求得的面积，综上所述，的面积为．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．20．（12分）盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶．由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”．某款盲盒内可能装有某一套玩偶的、、三种样式，且每个盲盒只装一个．（1）若每个盲盒装有、、三种样式玩偶的概率相同．某同学已经有了样式的玩偶，若他再购买两个这款盲盒，恰好能收集齐这三种样式的概率是多少？（2）某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了200份问卷，并全部收回．经统计，有的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占；而在未购买者当中，男生女生各占．请根据以上信息填写表，并分析是否有的把握认为购买该款盲盒与性别有关？女生男生总计 购买未购买总计200参考公式：，其中．参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（3）该销售网点已经售卖该款盲盒6周，并记录了销售情况，如表：周数123456盒数1623252630由于电脑故障，第二周数据现已丢失，该销售网点负责人决定用第4、5、6周的数据求线性回归方程，再用第1、3周数据进行检验．①请用4、5、6周的数据求出关于的线性回归方程；（注，②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2盒，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问①中所得的线性回归方程是否可靠？【考点】：线性回归方程；：独立性检验【分析】（1）由题意列出基本事件，得到恰好能收集齐这三种样式的事件数，再由古典概型概率计算公算求解；（2）由题意填写列联表，求出的值，结合临界值表得结论；（3）①由数据，求得与的值，可得关于的线性回归方程；②分别求出，时的值，再求出与实际值差的绝对值，与1比较大小得结论．【解答】解：（1）由题意，基本事件空间为：，，，，，，，， 基本事件个数共9个．恰好能收集齐这三种样式为事件，则，，事件个数共2个．则恰好能收集齐这三种样式的概率；（2）列联表如下：女生男生总计购买402060未购买7070140总计11090200，又，故有的把握认为购买该款盲盒与性别有关；（3）①由数据，求得，．．．关于的线性回归方程为；②当时，，；同样，当时，，．①中所得的线性回归方程是可靠的．【点评】本题考查古典概型概率的求法，考查独立性检验，训练了线性回归方程的求法，是中档题．21．（12分）已知且，．（1）当时，求的单调区间；（2）设，存在、，使成立．求实数的取值范围．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】（1）求导得，由，得，进而可得增区间，减区间．（2）根据题意可得，设在，上的最大值为，最小值为，问题可转化为，对求导，分析单调性，进而可得，，（1），设（a）（1），（1），对（a）求导，分析单调性，分两种情况时，时，当时，，再计算，进而可得的取值范围．【解答】解：（1）由已知，因为，所以，由得：增区间，由得：减区间．（2）由已知：，设在，上的最大值为，最小值为，依题意：，因为，，所以，所以为增函数所以时，，递增；所以时，，递减．故，，（1），设（a）（1），（1），因为（a）， 所以（a）在上单调递增，所以时，（a），此时（1），所以时，（a），此时，当时，，设（a），所以（a），所以（a）在上递增，又（e）所以由得：（a）（e），当时，，，由得：（e），综上：的取值范围是，，．【点评】本题考查导数的综合应用，存在性问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题记分。[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知曲线的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线的普通方程；（2）、为曲线上两个点，若，求的值．【考点】：简单曲线的极坐标方程【分析】（1）由，得，将，代入，能求出曲线的普通方程．（2）由，得，由，设，，则点的坐标可设为，由此能求出的值． 【解答】解：（1）由，得，将，代入，得到曲线的普通方程是．（5分）（2）因为，所以，由，设，，则点的坐标可设为，所以．（10分）【点评】本题考查曲线的普通方程的求法，考查两线段平方的倒数和的求法，是中档题，解题时要认真审题，极坐标方程、直角坐标方程互化合理运用．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数．（1）求不等式的解集；（2）若方程有两个不等实数根，求的取值范围．（3）已知，，，且，求的最小值及此时，，的值．【考点】函数的零点与方程根的关系；绝对值不等式的解法【分析】（1）分，两种情况讨论，并取其并集，即可求解．（2），即，显然不是方程的根，故，令，结合的图像，即可求解．（3）根据已知条件，结合柯西不等式，即可求解．【解答】解：（1）， 当时，，解得，，当时，，解得，，综上所述，不等式的解集为．（2），即，显然不是方程的根，故，令，当时，，当且仅当时取等号作出的图象，如图所示：方程有两个不等实数根，由图像可知，的取值范围为．（3），，，且，由柯西不等式可得，，当且仅当，且时，等号成立，，当且仅当，，等号成立，的最小值为，且，，． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的求解，以及柯西不等式公式，需要学生具备数形结合的思想，属于难题．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/8/47:41:05；用户：18173447192；邮箱：18173447192；学号：22161184