江苏省苏州中学2021-2022学年高二数学上学期期初考试试题(Word版附答案)
ID:18713 2021-09-09 1 3.00元 13页 939.45 KB
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江苏省苏州中学2021-2022学年度第一学期期初考试高二数学2021.8.30一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集,集合,,则集合()A.B.C.D.2.已知为虚数单位,,,复数的共轭复数为()A.B.C.D.3.已知圆锥的表面积为,且侧面展开图是一个半圆,则圆锥的底面半径为()A.B.C.D.4.设函数,,则是()A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数5.设,,成立的充分不必要条件是()A.B.C.D.6.若,是方程的两根,则的值为()A.B.C.D.7.甲、乙两人对同一个靶各射击一次,设事件“甲击中靶”,事件“乙击中靶”,事件“靶未被击中”,事件“靶被击中”,事件“恰有一人击中靶”,对下列关系式(表示的对立事件,表示的对立事件):①;②;③;④;⑤;⑥;⑦()A.3B.4C.5D.6,8.若,是正常数,,,,则当且仅当时取等号.利用以上结论函数,取得最小值时的值为()A.B.C.D.二、选择题:本题共4小题每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分,9.在某次高中学科竞赛中,4000名考生的参赛成绩统计如图所示,60分以下视为不及格,若同一组中的数据用该组区间中点值为代表,则下列说法正确的是()A.成绩在分的考生人数最多B.不及格的考生人数为1000C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D.考生竞赛成绩的中位数为75分10.下列条件能够判定是钝角三角形的是()A.,,B.C.D.11.在同一平面内,设是给定的非零向量,,,两两不共线,则关于的分解说法正确的是()A.给定向量,总存在向量,使得B.给定向量和,总存在实数和,使得C.给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使得,D.给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使得12.在中,,,,点,分别为边,上的两点(不与端点重合),且,将沿折起,使平面平面,则下列说法正确的是()A.平面B.若为的中点,三棱锥的体积等于三棱锥的体积C.若为的中点,三棱锥的体积为D.上存在两个不同的点,,使得三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若,且,则______14.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为(其中为常数,表示时间,单位:小时,表示病毒个数),则经过5小时,1个病毒能繁殖为______个15.若函数的图象只有一条对称轴落在区间上,则实数的取值范围是______16.已知非零向量,的夹角为,,对任意,有,则______,从而的最小值是______四、解答题:本题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题满分12分)如图,在四边形中,,,.(1)求的长;(2)若的面积为6,求的值.,18.(本小题满分10分)已知复数,,.(1)求实数的值;(2)若,,求的取值范围.19.(本小题满分12分)2019年某饮料公司计划从,两款新配方饮料中选择一款进行新品推介,现对这两款饮料进行市场调查,让接受调查的受访者同时饮用这两种饮料,并分别对两款饮料进行评分,现对接受调查的100万名受访者的评分进行整理得到如下统计图.从对以往调查数据分析可以得出如下结论:评分在的受访者中有20%会购买,评分在的受访者中有60%会购买,评分在的受访者中有90%会购买.(1)在受访的100万人中,估计至少对一款饮料评分在60分以下的受访者人数的最大值与最小值(单位:万人);(2)如果你是决策者,新品推介你会主推哪一款饮料,并说明你的理由.20.(本小题满分12分)如图,在中,已知,,点为的中点,点,在边,上,且,,交于点.(1)若,求与所成角的余弦值;(2)若,求的值.,21.(本小题满分12分)如图所示,点是边长为2的正方形所在平面外一点,且,平面平面.(1)求证:;(2)若二面角与的大小均为45°,求过,,,,五点的球的表面积.22.(本小题满分12分)对于函数,若在其定义域内存在实数,使得成立,则称有“※点”.(1)试判断函数在上是否有“※点”,并说明理由;(2)若函数在上有“※点”,求正实数的取值范围.江苏省苏州中学2021-2022学年度第一学期期初考试高二数学答案2021.8.30一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D,【解析】,,故选D2.【答案】B【解析】,故共轭复数为,故选B3.【答案】C【解析】设圆锥的底面半径为,母线为,则①;因为侧面展开图是一个半圆,所以,∴②,把②代入①得,解得,故选C4.【答案】B.【解析】,周期,且为偶函数,故选B5.【答案】A【解析】易判断A正确6.【答案】B【解析】由题意可得,∴,解得;又方程有实根,则,解得,或;综上,的值为.故选:B.7.【答案】B【解析】甲、乙两人对同一个靶各射击一次,设事件“甲击中靶”,事件“乙击中靶”,事件“靶未被击中”,事件“靶被击中”,事件“恰一人击中靶”,在①中,靶未被击中应该为甲未击中且乙未击中,所以事件是指事件不发生且事件不发生,∴,故①正确;在②中,事件表示事件和事件至少有一个发生,∴,故②错误;在③中,事件表示事件和事件至少有一个发生,∴,故③正确;,在④中,,故④错误;在⑤中,,故⑤正确;在⑥中,由对立事件概率计算公式得,故⑥正确:在⑦中,由互斥事件概率计算公式得,故⑦错误.故选:B.8.【答案】A【解析】,当且仅当时,即时等号成立,故选A二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分,【答案】ABC【解析】A选项,由频率分布直方图可得,成绩在的频率最高,因此考生人数最多,所以选项A正确,B选项,由频率分布直方图可得,成绩在的频率为0.25,因此,不及格的人数为,所以选项B正确,C选项,由频率分布直方图可得,平均分等于(分),所以选项C正确,D选项,因为成绩在的频率为0.45,在的频率为0.3,所以中位数为(分),所以选项D错误,故选:ABC.10.【答案】ABC【解析】对于A:,∴为钝角,A正确;对于B,,故为钝角,B正确;对于C,,C正确;对于D,,故为直角,D错误;故选ABC11.【答案】AB,【解析】利用向量加法的三角形法则,可得给定向量,总存在向量,使,故A正确;利用平面向量的基本定理,可得给定向量和,总存在实数和,使,故B正确:以的终点作长度为的圆,这个圆必须和向量有交点,这个不一定能满足,故C是错的;利用向量加法的三角形法则,结合三角形两边的和大于第三边,即必须,故D是错的.故选:AB.12.【答案】ACD【解析】由,,可得平面,故A正确;由,平面平面,可得平面,可设,,,,为的中点时,,可得,,故B错误;为的中点时,,,故C正确;由,可得,化为,解得,可得该方程在有两个不等的正根,故D正确.故选:ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.【答案】3.【解析】∴14.【答案】1024,15.【答案】【解析】;对称轴方程,,即,,时,,时,,若在上仅有一条对称轴,则,故答案为16.【答案】1;7【解析】第一空:由|可知,∴;第二空:设,,,,,则;,∴;如图所示,作点关于的对称点,则;则当,,三点共线时,有最小值,此时,,,在中,由余弦定理,∴,即的最小值为7四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.【解析】(1)由题意可知,在中,由余弦定理,,,所以.(2),则.又,所以.18.【解析】(1)因为,,所以.分因为,所以,解得或.又因为,所以.(2)由(1)知,设,由,所以,得,而,∴,∴,故.∴,∵,∴,故.19.【解析】(1)由对款饮料的评分饼状图,得对款饮料评分在60分以下的频率为,所以对款饮料评分在60分以下的人数为万人,同理对款饮料评分在60分以下的人数为万人,所以至少对-款饮料评分在60分以下的受访者人数的最大值为30万人,最小值为20万人.(2)从受访者对,两款饮料购买期望角度看:款饮料购买期望的分布列为0.20.60.90.20.30.5方案“选择倾向指数”的分布列为0.20.60.90.10.350.55,∴,.根据上述期望可知,故新品推介应该主推款饮料.20.【解析】(1)法一(坐标法):以所在直线为轴,过且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系,如图,则,,,,∴,.设与所成角为,∴,法二(基底法):,,∴;∴;;,,∴(2)∵,,三点共线,可设,同理,可设.由平面向量基本定理可得,解得,∴,,所以的值为.21.【解析】(1)证明∵,平面,平面,∴平面,∵平面平面,平面,∴.(2)过点作平面的垂线,垂足为.由于,则;由于二面角与相等,则到,的距离相等;又因为四边形是正方形,所以点为正方形的中心,即四棱锥是正四棱锥.又因为底面边长为2,二面角为45°,所以.过,,,,五点的球的球心在上,设,从而,解得:,所以球的表面积为.22.【解析】(1)由题意,令,则为的零点,因为,,所以,由零点存在定理可知,函数在区间上至少由1个实根,,即至少由1个实根,所以函数在上有“※点”.(2)若函数在上有“※点”,则存在实数,使得成立,即,整理得,.当时,,不合题意;当时,令,则在上有零点.当时,的图象开口向下,对称轴,在上单调递减,,所以在上恒小于零,不合题意,当时,的图象开口向上,对称轴,由题意只要,即,解得.因为,所以.综上.
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