专题2 平面向量基本定理及平面向量的应用(答案解析)
ID:79440 2022-01-04 1 7.00元 15页 814.30 KB
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专题2平面向量基本定理及平面向量的应用【基础题】1.(2021·浙江高一期末)若向量,,且,则实数的值为()A.B.C.D.【答案】D【解析】本题可根据向量垂直的坐标表示得出结果.【详解】因为,,,所以,解得,故选:D.2.(2021·浙江高一期末)中,点M为AC上的点,且,若,则的值是()A.B.C.1D.【答案】A【解析】由已知结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求.【详解】因为,所以,,若,则,,.故选:.3.(2021·浙江高一期末)若O为所在平面内一点,且满足,则的形状为()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【答案】B【解析】 由平面向量的线性运算,把给定的等式转化为用含的边的向量等式,再由模的意义即可得解.【详解】中,因与均为非零向量,则,即,是直角三角形.故选:B4.(2021·浙江高一期末)在中,若,则的形状为()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】B【解析】取中点,连接,则,利用向量数量积的运算律变形,得,从而可判断三角形形状.【详解】取中点,连接,则,因为,所以,所以,所以,即,所以的是等腰三角形.故选:B.5.(2021·泰安市·山东宁阳县一中高一月考)如图所示,半圆的直径AB=2,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值是() A.B.C.-D.【答案】C【解析】根据题中条件,得到,根据向量数量积运算,得到,即可求出最小值.【详解】因为点是线段的中点,所以向量,所以,又因为向量,方向相反,所以.故选:C.6.(2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高一月考)已知非零向量与满足,且,则为()A.等腰非直角三角形B.直角非等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【答案】C【解析】由推出,由推出,则可得答案.【详解】 由,得,得,得,所以,因为,所以,所以,所以,即,所以为等腰直角三角形.故选:C7.【多选题】(2021·浙江高一期末)设向量,则下列命题中正确的有()A.的最小值为3B.的最小值为3C.若,则D.若,则【答案】BCD【解析】根据向量模、向量共线、向量垂直的坐标运算求解判断.【详解】由题意,时取等号,A错;,时取等号,B正确;若,则,,C正确;若,则,,D正确.故选:BCD.8.【多选题】(2021·浙江高一期末)设向量,则()A.B.C.与向量方向相同的单位向量的坐标为D.向量在向量上的投影向量坐标为【答案】BCD【解析】选项A.先求出的坐标,由向量共线的坐标公式可判断;选项B.分解求出向量, 的模长,可判断;选项C.由与向量方向相同的单位向量为,计算可判断;选项D.向量在向量上的投影向量为,计算可判断.【详解】选项A.由,,由所以与不平行,故选项A不正确.选项B.,,则满足,故选项B正确.选项C.与向量方向相同的单位向量为,故选项C正确.选项D.向量在向量上的投影向量为所以选项D正确.故选:BCD9.【多选题】(2021·浙江高一期末)已知向量,则()A.B.向量在向量上的投影向量为C.与的夹角余弦值为D.若,则【答案】BC【解析】A.先计算出,然后通过计算是否为进行判断;B.先计算出向量在向量上的投影,则对应投影向量可知;C.先计算出,根据求解出结果;D.根据向量共线对应的坐标关系进行判断.【详解】A.因为,所以,故错误; B.因为向量在向量上的投影为,又,所以向量在向量上的投影向量为,故正确;C.因为,所以,所以,故正确;D.因为,所以,所以不成立,故错误;故选:BC.10.(2021·浙江高一期末)已知向量,,则、的夹角为_________.【答案】【解析】设、的夹角为,利用平面向量数量积的坐标运算求出的值,结合的取值范围可求得角的值.【详解】,,则,,则.故答案为:.【提升题】1.(2021·浙江高一期末)如图中,的平分线交的外接圆于点,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】 连接BO、DO、BD,根据题意,可得四边形ABDO为菱形,即可求得各个边长可角度,又,根据数量积公式,即可求得答案.【详解】连接BO、DO、BD,如图所示:由题意得:,AD为的平分线,所以四边形ABDO为菱形,即,又,所以,所以,又,所以==.故选:D2.(2021·浙江高一期末)已知是平面内的三个单位向量,且,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】根据条件在直角坐标系中可取,然后可算出,然后利用三角函数的知识求解即可.【详解】因为是平面内的三个单位向量,且, 所以在直角坐标系中可取所以所以故选:D3.(2021·浙江高一期末)已知平面向量,且,向量满足,则的最小值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】由题设可得,又,易知,,将问题转化为平面点线距离关系:向量的终点为圆心,2为半径的圆上的点到向量所在射线的距离最短,即可求的最小值.【详解】∵,而,∴,又,即,∴,,如上图示,若,则,∴在以为圆心,2为半径的圆上,若,则, ∴问题转化为求在圆上哪一点时,使最小,又,∴当且仅当三点共线且时,最小为.故选:B.4.【多选题】(2021·浙江高一期末)已知梯形ABCD中,,则下列结论正确的是()A.B.C.若,则点M在线段BC的反向延长线上D.若,且,则的面积是面积的倍【答案】BCD【解析】根据向量的加减法运算及数乘运算可以判断A,B选项,根据共线向量可判断C选项,根据向量共线的表示形式可判断D选项.【详解】对于A,,故A错误;对于B,,故B正确;对于C,由可得,即,即B是线段的中点,故C正确;对于D,由可得,令,又,∴点在直线上,且,∴到直线的距离是到直线距离的,∴的面积是面积的倍,故D正确. 故选:BCD5.【多选题】(2021·浙江高一期末)已知是边长为1的等边三角形,点D是边AC上,且,点E是BC边上任意一点(包含B,C点),则的取值可能是()A.B.C.0D.【答案】AB【解析】设,然后分别将表示为的形式,再根据向量数量积的定义以及的取值范围求解出可取值.【详解】设,因为,所以,又因为,所以,所以,所以,又因为,所以,故选:AB. 6.【多选题】(2021·浙江高一期末)设的内角、、所对的边为、、,则下列命题正确的是()A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则【答案】ABC【解析】利用余弦定理与基本不等式可判断AB选项的正误;利用反证法结合不等式的基本性质可判断C选项的正误;利用特殊值法可判断D选项的正误.【详解】对于A选项,由余弦定理可得,,故,A选项正确;对于B选项,,则,则,由余弦定理可得,,故,B选项正确;对于C选项,假设,则,则,所以,,与矛盾,假设不成立,故,故C选项正确; 对于D,取,,满足,且,则为锐角,故D选项错误.故选:ABC.7.(2021·江苏苏州市·苏州中学高一期中)已知和分别为的外心和重心,且,若,则面积的最大值为___________【答案】【解析】根据重心和外心满足的几何性质,将进行转化,找到点满足的等量关系,然后求三角形的面积的最值.【详解】因为,是三角形的外心和重心,设为的中点,.①,,将上式代入①式得,,所以,点在以的中点为圆心,半径为的圆上.故当时,面积的最大为.故答案为:.8.(2021·浙江高一期末)在中,A,B,C所对的边为a,b,c,若,则周长的取值范围是_________.【答案】【解析】先根据三角恒等变换的公式化简,然后求解出的值,再利用正弦定理分别将 用角的正弦形式表示出,最后将的周长用角的正弦型函数形式表示出,并结合正弦型函数的值域求解出周长的取值范围.【详解】因为,所以,因为,所以,又因为,所以,所以,所以,所以,因为,所以,设的周长为,所以,又因为,所以,所以,所以,所以,故答案为:.9.(2021·浙江高一期末)在中,分别为角的对边,且.(1)求角B;(2)若,求的值.【答案】(1);(2) 【解析】(1)利用正弦定理将边化角,再根据两角和的余弦公式计算可得;(2)利用余弦定理得到关于、的方程,解得即可;【详解】解:(1)因为,由正弦定理可得,因为,所以,所以,即,所以,所以;(2)由余弦定理可得,将及代入上式得,,整理得,即,所以或,因为,所以,所以,所以10.(2021·上海高一专题练习)在中,内角A,B,C对边分别为a,b,c,已知.(1)求角A的值;(2)若,,求的周长;(3)若,求面积的最大值.【答案】(1);(2)20;(3).【解析】(1)利用正弦定理及两角和的正弦公式展开,可得,可求得角A的值;(2)根据向量的数量积及余弦定理分别求出,即可求得周长;(3)将利用正弦定理将角化成边,再利用余弦定理结合基本不等式可求得面积的最值;【详解】(1),,,,; (2),在中利用余弦定理得:,,的周长为:;(3),,,,,,,等号成立当且仅当,面积的最大值为.
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