2019-2020学年上海市某校高二(上)期末数学试卷一、填空题)1.已知直线 ܽ ݔ ܽݔ , = െ ݔ = ,且 ,则实数ܽ=________.2.原点到直线cos ݔsin െ = 的距离为________. 3.双曲线ݔ 的渐近线方程是________. 4.椭圆的长轴长为 ,短轴长为 ,焦点在 轴上的标准方程为________.5.抛物线 上一点 到焦点的距离为 ,则点 的横坐标是________. 6.经过两点 两点 、 ݔ 点两 的双曲线的标准方程为________. 7.已知椭圆与双曲线的焦点相同,则双曲线的渐近线方程为________= ________. 8.若圆锥曲线െ 的焦距与 无关,则它的焦点坐标是________. ݔ െ 9.已知一动圆 内切于圆 : െ两 െ = ,且过定点 两点 ,则动圆圆心 的轨迹方程是________.10.已知椭圆= ,直线两 െ = ,则椭圆上点到这条直线的最长距离是________.11.已知 、 分别为双曲线 :的左、右顶点,点 在第一象限内的双曲线上,记 、 、 的斜率分别为 、 、 两,则的取值范围为________.12.已知平面内两个定点 两点 和点 ݔ两点 , 是动点,且直线 , 的斜率乘积为常数ܽ ܽ ,设点 的轨迹为 .①存在常数ܽ ܽ ,使 上所有点到两点 ݔ 点 , 点 距离之和为定值;②存在常数ܽ ܽ ,使 上所有点到两点 点 ݔ , 点 距离之和为定值;③不存在常数ܽ ܽ ,使 上所有点到两点 ݔ 点 , 点 距离之差的绝对值为定试卷第1页,总7页
值;④不存在常数ܽ ܽ ,使 上所有点到两点 点 ݔ , 点 距离差之差的绝对值为定值.其中正确的命题是________.(填出所有正确命题的序号)二、选择题)13.设集合 䁞 点 െ , 䁞 点 ,则 A.䁞 点 B.䁞 ݔ两点 C.䁞 点 点 ݔ两点 D. 14.设变量 , 满足约束条件 െ两 ,则 = ݔ两 的最大值为() ݔ A. B.C. D. 15.已知点 点 是圆 െ = 上的动点,若 െ െܽ 恒成立,则实数ܽ的取值范围为()A.[ݔ-].B െ, ݔ ,െ C.[-െ ,െ D. ݔ-, ݔ ㌠16.点 是抛物线 = 上一动点,则点 到点 点 ݔ= 线直到与离距的 ݔ 的距离和的最小值是()A. B.两C. D. 17.已知双曲线ݔ ܽ 点 的左、右焦点分别为 , ,过 作圆 െ ܽ =ܽ 的切线,交双曲线右支于点 ,若 = ,则双曲线的渐近线方程为() A. B. 两 C. = D. = 三、解答题)18.己知一条曲线 在 轴右边, 上每一点到点 点 的距离减去它到 轴距离的差都是 .(1)求曲线 的方程;(2)求曲线 上的点 点 到直线 ݔ െ两 距离的最小值.19.已知双曲线 :的焦距为 ,且过点.(1)求证:双曲线 的标准方程为 ݔ= ;试卷第2页,总7页
(2)过点 点 ,斜率为 的直线 与双曲线 相交于 、 两点,且 = ,求 的值.20.有一种大型商品, 、 两点都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是:每单位距离, 地的运费是 地运费的 倍,已知 、 两地相距 千米,顾客购物的唯-标准是总费用较低,建立适当的平面直角坐标系.(1)求 、 两地的售货区域的分界线的方程;(2)画出分界线的方程表示的曲线的示意图,并指出在方程的曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地.21.已知椭圆 :的左、右焦点分别为 、 ,直线 = 与椭圆交于 、 ( 在 的上方),四边形 的面积为.(1)求椭圆 的方程;(2)作与 平行的直线与椭圆交于 、 两点,且线段 的中点为 ,若 、 的斜率分别为 、 ,求 െ 的取值范围.试卷第3页,总7页
参考答案与试题解析2019-2020学年上海市某校高二(上)期末数学试卷一、填空题1. 2. 3. = 两4.= 5. 6.ݔ 7. , 8. 点 9.10.11.12.②④二、选择题13.C14.C15.A16.D17.A三、解答题18.设 点 是曲线 上任意一点,则由题意可得: ݔ െ ݔ = ,化简可得: ,故曲线 的方程为: ;设与直线 ݔ :为程方线直的切相 线曲与且行平 两െ ݔ െ , = 联立方程,消去 可得: ݔ െ , ݔ െ = 由 ݔ ,解得 ,所以切线方程为: ݔ െ ,则两平行线间的距离即为点 到直线 的距离的最小值, 两ݔ 且距离为 = . െ ݔ 试卷第4页,总7页
19.证明:设双曲线的半焦距为 ,由双曲线 :的焦距为 ,可得 = ,即 =,ܽ െ = ,又-= ,解得ܽ= , = ,则双曲线 的标准方程为 ݔ= ;过点 点 ,由可得 ݔ ݔ ݔ= ,设 , 的横坐标分别为 , 两,可得 െ =, =-,且 = 两െ ݔ ,解得 且 ,则 = ݔ =•= ,化为 ݔ െ 两= ,解得 =两或.20.以线段 的中点为原点建立如图所示的平面直角坐标系,设每单位距离 地的运费为ܽ元,设售货区域内一点为 ,则 ݔ 点 ,两 ,则 ܽ,化简可得:试卷第5页,总7页
两 两െ两 െ െ = ,即 െ) െ =,故 、 两地的售货区域的分界线的方程为:即 െ) െ =,由(1)知 , 两地购货区域的分界线是以 ݔ,为半径的圆,所以在圆 上的居民从 , 两地购货总费用相等,在圆 外的居民从 地购货便宜.21.由椭圆的方程知:ܽ = ,则ܽ=, = ,联立方程,解得 ,所以四边形 的面积为 ,化简可得 = ,故椭圆的方程为:;设直线 的方程为: = െ ,联立方程,消去 可得: െ െ ݔ = ,则 = ݔ 以所, 得解, ݔ 两ݔ两点 两 ,设 点 , 点 , 点 ,则 ,所以 , = െ =,所以 =,试卷第6页,总7页
因为 ݔ 点 ,所以,故 െ 的取值范围为(- .试卷第7页,总7页