2018-2019学年上海市长宁区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.答案填在答题纸相应位置.）)1.已知数列 是等差数列，若 ＝ ， ＝ ，则 ＝________． 阵 解 2.若线性方程组的增广矩阵为，解为 ，则 ᦙ ＝________．阵 解 3.无穷等比数列 的首项为 ，公比为，则 的各项的和为________． 阵4.三阶行列式 阵 中，元素 的代数余子式的值为________． 5.若点 ᦙ 、 ᦙ 阵 在直线 直 ＝ 的两侧，则实数 取值范围为________．6.执行如图所示的程序框图，若输入 ＝ ，则输出 的值为________． 7.若向量 与 的夹角为 阵 ，且 ＝ ， ＝ ，则 ＝________． 8.若直线 的一个方向向量是 解ᦙ ，则直线 的倾斜角是________． 解 9.已知数列 的通项公式为 解 ᦙ 晦 ，则数列 的前 项和 解 ＝________． 10.如图，在矩形 中，点 、 分别在线段 、 的中点，若 解 ᦙ ᦙ ，则 ᦙ ＝________．试卷第1页，总6页
11.古埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写 成若干个单位分数和的形式．例如解ᦙ，可以这样来理解：假定有两个面包，要 平均分给 个人，每人不够，每人余，再将这分成 份，每人得，这样每人分得 ᦙ．形如ᦙ ＝ ,… 的分数的分解：解ᦙ，解ᦙ，解ᦙ，按此 规律，解________ᦙ 晦 ． 12.已知向量 、 、 共面， 是单位向量，若向量 满足 ᦙ ＝阵，向量 与 的夹角为，则 的最小值为________． 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)13.已知直线 与 的斜率存在，且分别为 、 ，则“ ＝ ”是“ ”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不是充分也不是必要条件 ᦙ 阵阵阵 14.数列 中， 解 ᦙ 晦 ，则lim 解ᦙ 阵阵 ᦙ A.阵B.阵或 C. D.不存在15.在用数学归纳法证明等式 ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ 解 ᦙ ᦙ 晦 的第二步中，假设 解 时原等式成立，那么在 解 ᦙ 时需要证明的等式为()A. ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ 解 ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙᦙ ᦙ B. ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ 解 ᦙ ᦙ ᦙᦙ ᦙ C. ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ 解 ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙᦙ ᦙ D. ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ 解 ᦙ ᦙ ᦙᦙ ᦙ 16.已知圆 的方程为 ᦙ ＝ ，点 ᦙ ᦙ 阵 是圆 内一点，设以 为中点的弦所在的直线为 ，方程为 ᦙ ＝ 的直线为 ，则（）A. ，且 与圆 相交B. ，且 与圆 相离C. ，且 与圆 相交D. ，且 与圆 相离三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）) 17.已知向量 解 ， 解 ᦙ ，其中 ， 是互相垂直的单位向量． （1）求向量 在向量 方向上的投影；试卷第2页，总6页
（2）设向量 解 ， 解 ᦙ ，若 ，求实数 的值．18.已知直线 直 ᦙ ＝ ᦙ ， 直 ＝ ．（1）若直线 与 重合，求实数 ， 的值；（2）若直线 与圆 ᦙ ＝ 相切，求实数 的值． 19.已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，且 ＝ ＝ ，记数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ．（1）若 ＝ ， ＝ ，求 ；（2）若数列 的公差 ＝ ， ＝ ，求数列 的公比 及 ．20.如图 ，点 为半径为 千米的圆形海岛的最东端，点 为最北端，在点 的正东 千米 处停泊着一艘缉私艇，某刻，发现在 处有一小船正以速度ν（千米/小时）向正北方向行驶，已知缉私艇的速度为 （千米/小时）．（1）为了在最短的时间内拦截小船检査，缉私艇应向什么方向行驶？（精确到 ）（2）海岛上有一快艇要为缉私艇送去给养，问选择海岛边缘的哪一点 出发才能行程最短？（如图 建立坐标系，用坐标表示点 的位置） ᦙ 21.若数列 满足：对任意 晦，都有 ，则称 为“紧密”数列． （1）设某个数列为“紧密”数列，其前 项依次为 、、、 、，求 的取值范围． （2）若数列 的前项和 解ᦙ ᦙ ᦙ 晦 ，判断 是否为“紧密”数列，并 说明理由．（3）设 是公比为 的等比数列，前 项和为 ，且 与 均为“紧密”数列，求实数 的取值范围．试卷第3页，总6页
参考答案与试题解析2018-2019学年上海市长宁区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.答案填在答题纸相应位置.）1. 2. 3. 4. 5.ᦙ阵 6. 7. 8. 9. ᦙ ᦙ 10. 11.ᦙ ᦙ 12. 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的13.C14.C15.D16.B三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.向量 在 方向上的投影为 阵 解 ； 阵 ∵ 解阵， ∴ ᦙᦙ ＝阵，∴ 阵 ᦙ ᦙ ＝阵，∴ ＝阵．18.根据题意，直线 直 ᦙ ＝ ᦙ ， 直 ＝ ，即 ᦙ ＝ ， 解 若直线 与 重合，必有 ， ᦙ 解 解可得 ＝ ， 解； 试卷第4页，总6页
ᦙ 若直线 与圆 ᦙ ＝ 相切，必有解 ， ᦙ 解可得： 解． 19.根据题意，等差数列 中，若 ＝ ，则 ＝ ᦙ ᦙ ＝ ＝ ，则 ＝ ，则 ＝ ＝ ＝ ，又由 ＝ ，则有 ＝ ᦙᦙ ＝ ＝ ，解可得： ＝ ；根据题意， ＝ ＝ ᦙ ＝ ， 则 解解 ， ᦙ ᦙ 则 解解解 ． 20.根据题意，为了在最短的时间内拦截小船检査，缉私艇应该在 的延长线上与小船相遇，设经过 小时，缉私艇在 的延长线上拦截小船，此时 ＝ ， ＝ ᦙ ， ＝ ，则有ᦙ ＝ᦙ ᦙ ᦙ ， 解可得： 解或 （舍）， 此时 解， 解， 则有tan 解，则 ＝ ， 故缉私艇应向南偏东 的方向行驶，当 与 垂直时，行程最短，如图 21.由题意得： ， ， 解得 ； 由 解ᦙ ᦙ ᦙ 晦 ， 时， ＝ 解ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ െ解 ᦙ， ＝ 时， ＝ ＝ ，对于上式也成立．试卷第5页，总6页
因此 解 ᦙ． ᦙ ᦙ ∴解解 ᦙ． ᦙ ᦙ 晦 因为对任意 ，阵 ，即 ᦙ ， ᦙ ᦙ ᦙ ∴ ᦙ 晦 ， 即数列 是“紧密数列”； ᦙ 由 是公比为 的等比数列，得 解， ᦙ ∵ 是“紧密数列”，∴ ， ᦙ ᦙ ①当 ＝ 时， ＝ ，解解 ᦙ， ∵ ᦙ ， ∴ ＝ 时，数列 为“紧密数列”，故 ＝ 满足题意． ᦙ ②当 时， 解， ᦙ ᦙ 则解， ∵数列 为“紧密数列”， ᦙ 晦∴ ，对任意 恒成立． ᦙⅰ 当 时， ᦙ ᦙ ᦙ ， ᦙ 即 ，对任意 晦恒成立． ᦙ ∵阵 ，阵 ， ， ∴ ᦙ ， ᦙ ᦙ ᦙ 解 ， ᦙ ∴当 时， ，对任意 晦恒成立． ᦙ ᦙⅱ 当 时， ᦙ ᦙ ᦙ ， ᦙ 即 ，对任意 晦恒成立． ᦙ ∵ ， ， 阵． ᦙ ∴ ，解得 ＝ ， ᦙ 又 ，此时 不存在． 综上所述， 的取值范围是 െ． 试卷第6页，总6页
