2018-2019学年上海市闵行区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）) th 1.计算：lim ________． th 2.已知向量 ሺhʹtǡ ʹ ሺ ʹ ，且 ，则实数 ＝________． t h h tǡ3.若线性方程组 的增广矩阵为，则 ________． h t h hǡ h h4.在等差数列 中，若 t ＝ ， ＝ǡ，则 ＝________． t h h5.若关于 、 的二元一次方程组 有无穷多解，则 ＝________． t t t t 6.若 ， 满足约束条件 th ，则 ＝h t 的最大值为________． th th h7.点 ሺt ʹ 到双曲线 ht 的渐近线的距离为________． 8.正方形 方形 的边长为ǡʹ方形 ǡ方 ʹ 形 ǡ ，则 ________． h h9.已知椭圆 t ሺ ǡ ， 与两直线 ＝ ， ＝t ሺ 有不同的交 ǡ点，这四个点与 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则 ＝________．10.已知 ht hth t ＝ ，过点方ሺ ʹ 的动直线 （与 轴不重合）交 h于形、 两点，过方作 形的平行线交 于点 ，则点 的轨迹方程为________t h ．ǡ11.已知等差数列 的公差 ，且 h是 与 的等比中项．记 h ，若对任 意 ，都有tt t ǡ，则 的取值范围是________，+ ． h ǡ12.若 ，直线 t tǡ ＝ 与 h t t ＝ 交于点 ，点 的轨迹形与 、 轴分别相交于 、方两点， 为坐标原点ሺ 、方异于原点 ，则满足 方 t ＝ t 方 的位于第一象限内的点 坐标为________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分，每题有且只有一个正确答案）) 13.用数学归纳法证明 ttt t ሺ ʹ 时，第一步应验证不等hǡh t 式（）试卷第1页，总6页
A. t hB. tt hhhǡ C. tt ǡD. ttt ǡhǡhǡ 14.在三角形 方形中，形 ʹ形方 ，点 在直线 方上，且 h 方，则形 可用 表示为（） A.形 th B.形 t th C.形 t D.形 hǡ15.如果实数 、 满足ǡ ht h＝ h，那么ǡ th 的最大值是（）A. ǡB.h ǡC. hD. 16.已知曲线 t ，则下列正确的是（） ǡ A.曲线Γ关于 轴对称B.曲线Γ与 轴相交C. 取值范围是ሺt ʹ ሺ ʹ t D. 无限趋近于零时， 也无限趋近零三、解答题（本大题共有5题，满分76分.解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤）) h h17.已知双曲线Γ的两个焦点与椭圆t 的两个焦点相同，且Γ的一条渐近线为 h tǡ ，求Γ的标准方程． 18.已知 ሺǡʹ ʹ ሺ ʹ ． （1）求 的单位向量 ； （2）若 t 与 t 的夹角为锐角，求实数 的取值范围．19.某日，在我某海警基地码头 处，发现北偏东 方向的海面上有一艘可疑船只位于 处，在测定可疑船的行驶方向后，基地指挥部命令海警巡逻艇从 处即刻出发，以可疑船速度的h倍航速前去拦截，已知 和 相距 海里．试卷第2页，总6页
（1）若可疑船只以 海里/小时的速度朝正北方向逃跑，则我海警巡逻船最少要用多少小时可以截获可疑船只（精确到 只 小时）？（2）若巡逻艇和可疑船在追逃过程中均未改变航向和航速，在点 处恰好截获可疑船只，在如图所示的平面直角坐标系中，求点 的轨迹方程．20.对于数列 、 ，设 ሺ t t t ʹ ． h t ǡ th （1）若 ＝h， ＝ ，且 ሺ ＝ǡ h t t t ，求 ， ； h h（2）若 ǡ ʹ ሺ ǡ t tǡ tǡ，求数列 的通项公式； （3）若 ，存在正整数 、 、 、 、 ሺ ，使 ， ， 成等差数 列，求 ， 的值． h h21.已知椭圆 ht h ሺ 的左、右焦点分别为 、 h，点方ሺ ʹ ，过点方 且与方 h垂直的直线交 轴负半轴于点 ， h．ǡ（1）求证： ；h（2）若过方、 、 h三点的圆与直线 t ＝ 相交于 、 两点，且 h ，求Γ的方程；（3）若 ＝h，过 h且不与坐标轴垂直的直线与Γ交于 、旦两点，点 是点 关于 轴的对称点，在 轴上是否存在一个定点 ，使得 、 、 三点共线？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．试卷第3页，总6页
参考答案与试题解析2018-2019学年上海市闵行区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.th2.t 3.t 4. 5.t 6.hǡ 7. 8.hǡ9.ǡthǡ h h10.t ． ǡ11.[12.ሺ ʹ ǡ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分，每题有且只有一个正确答案）13.B14.D15.A16.D三、解答题（本大题共有5题，满分76分.解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤） h h17.双曲线Γ的两个焦点与椭圆t 的两个焦点相同，可得 ＝ ， h hΓ的一条渐近线为 tǡ ，设双曲线方程：t h ，可得：ǡ t ＝ǡ ，解ǡ试卷第4页，总6页
得 ＝ ． h h所以双曲线方程为：t ．h ǡ ǡ 18.ሺʹ 或ሺtʹt hhhhሺthʹ ሺ ʹ h 19.设所需时间为 小时，则 ＝ ， ＝ ， ＝ ，在 中， ＝ t ＝ h ，由余弦定理可得 h＝ ht hth cos ，hhh h即ሺ tሺ th ሺt ，化简得 th tǡ＝ ，h ǡt 由于 ，解得 只 小时； 设点 的坐标为ሺ ʹ ，则 cosǡ ǡ ǡ， ＝ sinǡ ＝ǡ ，所以，点 的坐标为ሺǡ ǡʹǡ ．由题意知， ＝h ，设点 的坐标为ሺ ʹ ，由两点间的距离公式可得 ht h hሺ tǡ ǡ htሺ tǡ h，化简得ሺ t ǡ htሺ t h ，因此，点 的轨迹方程为ሺ t ǡ htሺ t h ．20.令 ＝ 得， ＝ ht ＝ ＝ ＝h ∴ ＝h令 ＝h得， h＝h t h＝ h ht h ＝h ht h∴ h＝h ǡ t tǡ tǡ ǡ tǡ t ht tǡ 等式两边同除以ǡ t 得ǡ t t h tt tǡ ǡǡhǡ 令 ǡǡ t t 则 ht ht……t ①ǡǡ t t t ht……t t ǡ t ②h t ①-②的 ǡ ，又因为 ǡ ∴ ＝h t ；因为 ， ， 成等差数列所以h ＝ t ∵ ，∴ ， 为正整数∴ ， 为正整数∴h t h 即h h ሺ t ∴ hh hሺ t ∴ hh tሺ t ∵ ， ， 为正整数且 ，∴h tሺ t tǡ试卷第5页，总6页
tǡ ∴ h ， ∴ ＝ ＝ ．21.证明：设 ሺ ʹ ሺ ，由 hሺ ʹ ，方ሺ ʹ ， 得 h方 ሺt ʹ ，方 ሺ ʹ t ， hh ∵ h方 方 ，∴t t ，得 t， h 故 ሺt ʹ ， h 又 h ሺh ʹ ，故由 h，得t h ， ∴ h＝ǡ h＝ǡሺ ht h ，则 h＝ǡ h，ǡ∴ ；h由（1）知， ǡ ，故 ＝h ，此时，点 的坐标为ሺtǡ ʹ ，又 方 h是直角三角形，故其外接圆圆心为 ሺt ʹ ，半径为h ， t ∴圆心 ሺt ʹ 到直线 t ＝ 的距离 ．hh h∴ h ht h ，解得 h， ， ＝hh，h h h所求椭圆Γ的方程为t ； h h如 ＝h，则 ǡ，椭圆方程为t ． ǡ得 hሺ ʹ ，∵直线 过 h且不与坐标轴垂直，故可设直线 的方程为： ＝ ሺ t ， ． ሺ t 由hh ，得ሺǡt h ht h t ht h＝ ， t ǡ设 ሺ ʹ ， ሺ hʹ h ， h ht h则有 t h ǡt h， h ǡt h， 由题意， ሺ ʹ t ，故直线 的方向向量为 ሺ ht ʹ ht ， t t ∴直线 的方程为 ， ht ht ሺ ht ht h ሺ t ht ሺ ht 令 ＝ ，得 t ht t h ሺ ht t ሺ t ht h hh t h ht ሺ t h h htሺ t h ǡt hǡt h ． ሺ ሺ h t h th t hth thǡt h即直线 与 轴交于定点ሺ ʹ ．∴存在点 ሺ ʹ ，使得 、 、 三点共线．试卷第6页，总6页
