2017-2018学年上海市黄浦区高二(上)期末数学试卷【附答案】
ID:69516 2021-11-29 1 5.00元 5页 103.13 KB
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2017-2018学年上海市黄浦区高二(上)期末数学试卷一、填空题(本大题满分36分)本大题共有12题,考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果,每题填对得3分,否则一律得零分.)1.计算limn→∞3n+2n-5=________.2.已知点A(1, 2),B(-2, 7),那么向量AB→的位置向量的终点坐标为________.3.抛物线y2=-8x的准线方程是________.4.若倾斜角为3π4的直线过点(1, 3)和(2, m),则m=________.5.直线y=1与直线2x+y+1=0的夹角为________(结果用反三角函数值表示).6.若非零向量a→,b→满足|a→+b→|=|a→-b→|,则a→与b→所成角的大小为________.7.设双曲线x29-y2b2=1(b>0)的焦点为F1、F2,P为该双曲线上的一点,若|PF1|=5,则|PF2|=________.8.已知数列{________.9.曲线xy=2上的点到直线x+y+2=0的距离的最小值为________.10.如图,汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直,灯泡位于抛物线的焦点F处.已知灯口直径是24cm,灯深10cm,那么灯泡与反射镜的顶点O的距离为3.6cm.11.已知P为圆x2+(y-4)2=2上一动点,点Q(1, 1),O为坐标原点,那么OP→⋅OQ→的取值范围为________.12.已知动点A在x轴的非负半轴上,动点B在y轴的非负半轴上,且|AB|=2,C为AB的中点,若点P满足点集D={P||PC|≤1},则D所表示图形的面积为________.二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得4分,否则一律得零分.)13.已知向量a→=(5,8),e1→=(2,-3),若向量a→可以唯一表示为e1→、e2→的线性组合,那么e2→可以是()A.(0, 0)B.(2, 3)C.(-2, 3)D.(6, -9)14.a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行且不重合的()试卷第5页,总5页 A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件15.已知数列{an},{bn}(n∈N*),如果数列{an+bn}和{an-bn}的极限均存在,那么在下列数列中,其极限不一定存在的数列是()A.{an}B.{3an-2bn}C.{an⋅bn}D.{anbn}16.设椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0),若四点P1(1, 1),P2(0, 1),P3(-1,32),P4(1,32)中恰有三点在椭圆Γ上,则不在Γ上的点为()A.P1B.P2C.P3D.P4三、解答题(本大题满分48分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.)17.将下列问题的解答过程补充完整.依次计算数列1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,…的前四项的值,由此猜测an=1+2+3+...+(n-1)+n+(n-1)+...+3+2+1的有限项的表达式,并用数学归纳法加以证明.解:计算1=1,1+2+1=4,1+2+3+2+1=________,1+2+3+4+3+2+1=________,由此猜想an=1+2+3+...+(n-1)+n+(n-1)+...+3+2+1=________.(*)下面用数学归纳法证明这一猜想.(i)当n=1时,左边=1,右边=1,所以等式成立.(ⅱ)假设当n=k(k∈N*, k≥1)时,等式成立,即ak=1+2+3+...+(k-1)+k+(k-1)+...+3+2+1=________.那么,当n=k+1时,ak+1=________=ak+________=________.等式也成立.根据(i)和(ⅱ)可以断定,(*)式对任何n∈N*都成立.18.已如等差数列{an}(n∈N*),Sn为其前n项和,a1=t,a4=t-6,其中t∈R.(1)求a10及S10(用t表示);(2)在S1,S2,…,Sn中,有且只有S8的值最大,求t的取值范围.19.已知圆C:x2+y2-4x-2y-1=0.(1)求y轴被圆C所截得的线段的长;(2)过圆C圆心的直线与两坐标轴在第一象限内围成的三角形面积为S,求S的最小值.20.已知双曲线Γ:x2a2-y2b2=1(a,b>0),O为坐标原点.(1)若Γ为等轴双曲线,且Γ的右焦点F到点O的距离为2,求Γ的方程;(2)a=2,b=3,设斜率为1的直线l交Γ于P、Q两点,且OP⊥OQ,若l与圆x2+y2=r2(r>0)相切,求r的值.21.已如椭圆Γ:x29+y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P为Γ上的动点.(1)若b=5,设点P的横坐标为x0,试用解析式将|PF1|表示成x0的函数;(2)试根据b的不同取值,讨论满足△F1F2P为等腰锐角三角形的点P的个数.试卷第5页,总5页 参考答案与试题解析2017-2018学年上海市黄浦区高二(上)期末数学试卷一、填空题(本大题满分36分)本大题共有12题,考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果,每题填对得3分,否则一律得零分.1.32.(-3, 5)3.x=24.25.arctan26.π27.118.an}的通项公式为an=3n,则limn→∞a1+a2+a3+⋯+anan=329.110.则:设抛物线方程为y2=2px(p>0),点(10, 12)在抛物线y2=2px上,∴144=2p×10.∴p2=3.6.∴灯泡与反射镜的顶点O的距离3.6cm.故答案为:3.6.11.[2, 6]12.2π二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得4分,否则一律得零分.13.B14.C15.D16.A三、解答题(本大题满分48分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.17.①,②,③,④,⑤,⑥,⑦试卷第5页,总5页 18.等差数,{an}中,a1=t,a4=t-6,∴d=a4-a14-1=-2,∴a10=t+9×(-2)=t-18,S10=10t+45×(-2)=10t-90;∵在S1,S2,…,Sn中,有且只有S8的值最大,∴a8>0且a9<0,即t-14>0t-16<0 得t∈(14, 16).19.由圆C:x2+y2-4x-2y-1=0,得(x-2)2+(y-1)2=6.圆心为(2, 1),半径为6.圆心到y轴的距离为2,则y轴被圆C所截得的线段的长为26-4=22;利用截距式,设l:xa+yb=1(a,b>0),由于l过C(2, 1),∴1=2a+1b,利用基本不等式,得1=2a+1b≥22a⋅1b,得到ab≥8,∴S=12ab≥4,即S的最小值为4,当且仅当a=4,b=2,此时l:x4+y2=1,即l:x+2y-4=0.20.Γ为等轴双曲线,可得a=b,由Γ的右焦点F(c, 0)到点O的距离为2,可得c=2,即a2+b2=4,解得a=b=2,则双曲线的方程为x22-y22=1;由题意可得Γ:x22-y23=1,设直线l:y=x+m,P(x1, y1),Q(x2, y2),将直线方程代入双曲线方程,并化简得x2-4mx-(2m2+6)=0,则△=16m2-4(2m2+6)>0,解得m>3或m<-3,且x1+x2=4m,x1x2=-2m2-6,(*)∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m)=2x1x2+m(x1+x2)+m2=0,将(*)代入,得m2=12,∴m=±23,又直线l与圆相切,可得r=d=|m|2=6.21.设P(x0, y0),其中x029+y025=1,x0∈[-3, 3]则|PF1|=(x0+2)2+y02=(x0+2)2+5(1-x029)=49x02+4x0+9=|23x0+3|=23x0+3,x0∈[-3,3];试卷第5页,总5页 图1至图5分别对应P点为2个,2个,6个,4个,4个的情况,其中图2与图4为临界情况,如图2:△P3F1F2为等腰直角三角形(∠F1F2P3=π2),|F1F2|=|P3F2|⇒2c=b1-c29⇒b=182-18,如图4:△F1P1F2为等腰直角三角形(∠F1P1F2=π2),b=c=322,①b∈[322,3),点P的个数为2;②b∈(182-18,322),点P的个数为6;③b∈(0,182-18],点P的个数为4.试卷第5页,总5页
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