2015-2016学年上海市黄浦区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.)1.椭圆 香䁕䁕的长轴长为________．2.已知直线 的一个方向向量的坐标是 是香 ，则直线 的倾斜角为________． 香 香 香 香 是香 香3.已知二元一次方程组 的增广矩阵是，则此方程组的解 香 香 是________．香䁕是香4.行列式 香 中是 的代数余子式的值为________．是香是 香5.已知 香䁨的三个顶点分别为 香 ，香 香 ，䁨 ，则 䁨边上的中线香 所在直线的方程为________．6.已知直线 香的方程为 是 香 䁕，直线 的方程为 是 䁕，则两直线 香与 的夹角是________．香香香 7.用数学归纳法证明“香 ㌳香 ”时，由 ＝ ㌳香 不 是香等式成立，推证 ＝ 香时，左边应增加的项数是________．8.执行如图所示的程序框图，若输入 的值是 ，则输出 的值是________．9.若圆䁨的方程为 是 是香 䁕，且 是香 ，香 香 两点中的一点在圆䁨的内部，另一点在圆䁨的外部，则 的取值范围是________．lim 香lim香是 10.若 ，且 存在，则实数 的取值范围是________． 香 香 11.已知直线 香过点 香 且与 轴交于 点，直线 过点 是香 且与 轴交于香 点，若 香 ，且 香，则点 的轨迹方程为________．试卷第1页，总7页
12.如图所示， 香䁨是边长为 的等边三角形，点 是以点䁨为圆心、 为半径的 圆上的任意一点，则香 的取值范围是________．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分.)13.点 关于直线 香的对称点的坐标是（）A. 香是 香是 B. 香是 香是 C. 是 是 D. 是 是 14.若位于 轴上方、且到点 是 䁕 和香 䁕 的距离的平方和为香 的点的轨迹为曲线䁨，点 的坐标为 ，则“ 是 ”是“点 在曲线䁨上”的（）A..充分不必要条件B..必要不充分条件C..充要条件D.既非充分又非必要条件15.在圆 是 是 ＝香 内，过点 䁕 香 的最长弦和最短弦分别是 䁨和香 ，则 䁨 香 的值为（）A. 䁕 B. 䁕 C. 䁕 D. 䁕 lim16.对数列 ， ，若对任意的正整数 ，都有 香 香 且 是 䁕，则称 香 香 ， ，…为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（） 香A. ， 香 B. ， 香 香 C. ， 香 香 D. 香是 ， 香 三、解答题（本大题满分56分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.)17.已知两直线 香 香 是 䁕， 䁕．（1）当 为何值时，直线 香与 垂直；（2）当 为何值时，直线 香与 平行．18.在直角 香䁨中， 䁨是直角，顶点 ，香的坐标分别为 是 ， 是 ，圆 是 香䁨的外接圆．（1）求圆 的方程；（2）求过点 香䁕 且与圆 相切的直线的方程．试卷第2页，总7页
19.已知 ， 香是不平行的两个向量， 是实数，且 香 ． （1）用 ， 香表示 ； （2）若 ， 香 香， 香 ，记 䁡 ，求䁡 及其最小值． 20.在数列 中， 香 ，且对任意 ，都有 香 ． （1）计算 ， ， ，由此推测 的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）若 是 是 ，求无穷数列 的各项之和与最大项． 21.已知点 是曲线䁨香： 香上的动点，延长 （ 是坐标原点）到 ，使得 ，点 的轨迹为曲线䁨 ．（1）求曲线䁨 的方程； （2）若点 香， 分别是曲线䁨香的左、右焦点，求 香 的取值范围；（3）过点 且不垂直 轴的直线 与曲线䁨 交于 ， 两点，求 面积的最大值．试卷第3页，总7页
参考答案与试题解析2015-2016学年上海市黄浦区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1. 䁕 2. 3. 香ʹ4.是 5. 是 䁕 6. 7. 香8. 9. 是 是 香 10.是香 11. 香 䁕12. 是 䁕 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分.13.A14.C15.C16.D三、解答题（本大题满分56分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.17.解：（1）∵两条直线 香 香 是 䁕， 䁕，由两直线垂直的充要条件可得 香 香香香 䁕， 即香 香 䁕，解得 是． 试卷第4页，总7页
香香香䁨香（2）由两直线平行的充要条件可得 ， 香 䁨 香香 是 即 ， 解得： 香．18.解：（1）∵在直角 香䁨中， 䁨是直角，顶点 ，香的坐标分别为 是 ， 是 ，∴ 香是直径，则 香的中点 是香 䁕 ，即圆心 是香 䁕 ，半径 香 是香是 是 香 ，则圆 的方程为 香 ．（2）∵ 香 香䁕 香 ㌳ ，∴点 在圆外，当切线斜率不存在时，此时切线方程为 ，到圆心的距离 是 是香 ．此时满足直线和圆相切，当直线斜率存在时，设为 ，则切线方程为 是香䁕 是 ，即 是 香䁕是 䁕， 是 香䁕是 香䁕是 则圆心到直线的距离 ，香 香 即 是 香 ，平方得 是 香 ，即 ， 则 ，此时切线方程为 是 䁕， 综上求过点 香䁕 且与圆 相切的直线的方程为 是 䁕或 ． 19.解： 香 是 香 香是 香是 香． （2） 香 香 cos 是香．∴ 香是 香 香是 是 香是 െ 是香䁕 െ 是 ．െെ∴䁡 െ 是香䁕 ． 香䁡 的最小值为 ．െെ 20.解：（1）∵ 香 ，且对任意 ，都有 香 ． 香䁕 香䁕 ∴ ， ， ． െ香由此推测 的通项公式， 香 是香．下面利用数学归纳法证明：香①当 香时， 香 香 䁕 成立； 香②假设当 时， 香 是香．香 香 香 是香则 香时， 香 香 香是香，试卷第5页，总7页
因此当 香时也成立， 香综上： ， 香 是香成立．（2） 是 是 ， 香香是 是 ∴ 是 香 是香 是香 ， 是 香是 是 是 香是 是 ∴无穷数列 的各项之和 是 香是 是 是香是 是 香是 是 香 香 香 香是 是 是 是 是．香香 香香 香 香 当 时， 是， 单调递减，因此当 时，香香 䁕取得最大值 是． 香 香 当 是香 时， 是 是 是， 单调递增，且 䁕．香香 䁕综上可得： 的最大项为 是． 21.解：（1）设 ， ݔ ݔ 是 ∴， ∵， ݔ ݔ ，可得ݔ香 是 ݔ ，代入 ݔ 香，可得 香，ݔ香 香 是 ∴曲线䁨 的方程为 香．香 （2） 香 是 䁕 ， 䁕 ．设 cos sin ，则 是 cos 是 sin ． 则 香 cos sin • 是 cos 是 是 sin cos 是 香 cos 是 sin 是 sin 是 cos 是， 香∵cos 是香 香 ，∴ 香 是香香是 ，是 ． （3）设 cos sin ，则 是 cos 是 sin ．设经过点 的直线方程为： 是sin 是 cos ， 香 香 ， ． 是sin 是 cos 联立，化为： 香 是 sin 是 cos sin 是 香 cos 是香 䁕， sin 是 cos sin 是 cos 是香 ∴ 香 香 ， 香 香 ， 香 香 是 sin 是 cos ∴ 香 香 是 香 ，香 是 cos sin sin 是 cos sin 是 cos 点 到直线 的距离 ．香 香 香 sin 是 cos 香 是 sin 是 cos ∴ ． 令 sin 是 cos 香 sin ，试卷第6页，总7页
则 sin 是sin ，令 sin 䁠 是香 香 ，∴ 䁠 是䁠 䁡 䁠 ，令 sin 䁠 是香 香 ，则䁡 䁠 是 䁠 香 䁠 是 䁠 是 香 ，当且仅当䁠 香时，䁡 䁠 取得最大值 ．试卷第7页，总7页
