2015-2016学年上海某校高二(上)期末数学试卷一、选择题(共14小题,每小题4分,共计56分)) 广 阵1.已知一个关于 , 的二元一次方程组的增广矩阵为,则 广 =________. 阵 2.已知向量 ሺ ͳ广阵 , ሺ ͳ阵 ,若 ,则 ________. 广 3.行列式阵 的元素广 的代数余子式的值为 ,则 ________. 广阵 4.若直线 广 广 与 广 的夹角是,则实数 的值为________. 5.与椭圆 阵 阵 有相同焦点,且短轴长为 的椭圆方程是________. ͳ6.设变量 , 满足约束条件 阵ͳ则目标函数 阵 的最小值为________. 广 ͳ7.直线 广 关于 广 广阵 对称的直线方程为________.8.若直线 ሺ 广 和曲线 广 阵有且只有一个交点,则实数 的取值范围为________. 阵9.设 、 阵是双曲线 阵广 的两个焦点, 是双曲线上的一点,且 阵 阵 ,则 阵的周长________.10.在 䳌䁨中, 䳌 , 䁨 ,点 是 䳌䁨的外接圆圆心,则 䳌䁨 ________. 阵 阵11.已知椭圆 及以下 个函数:① ሺ ;② ሺ sin ;③ ሺ sin ,其中函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有________个.12.在平面直角坐标系 2 中,已知圆䁨 阵 阵广 ,点 ,䳌在圆上,且 䳌 阵 ,则 2 2䳌 的取值范围是________. 13.设 是平面向量的集合, 是定向量,对 属于集合 ,定义 ሺ 广阵ሺ .现给出如下四个向量: 阵阵 阵阵 ① ሺ ͳ ,② ሺͳ ,③ ሺͳ ,④ ሺ广ͳ . 阵阵阵阵 那么对于任意 、 ,使 ሺ ሺ 恒成立的向量 的序号是________. 阵 阵14.记椭圆 围成的区域(含边界)为 ሺ ͳ 阵ͳ … ,当点ሺ ͳ 分别在 lim , 阵,…上时, 的最大值分别是 , 阵,…,则 ________. 试卷第1页,总8页
二、选择题(共4小题,每题5分,共计20分)) 15.已知关于 , 的二元一次线性方程组的增广矩阵为ሺ ,记 ሺ ͳ 阵 , 阵 阵 阵 ሺ ͳ 阵 , ሺ ͳ 阵 ,则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是() A. B. , , 两两平行 C. D. , , 方向都相同 阵 阵16.方程 的图象表示曲线䁨,则以下命题中正确的有() 广䁑䁑广 ①若 ൏䁑൏ ,则曲线䁨为椭圆;②若䁑‸ 或䁑൏ ,则曲线䁨为双曲线;③曲线䁨不可能是圆; ④若曲线䁨表示椭圆,且长轴在 轴上,则 ൏䁑൏.阵A. 个B.阵个C. 个D. 个 17.在约束条件阵 下,若 ,则目标函数 阵 的最大值变化 ͳ 范围是()A. ͳ B. ͳ C. ͳ D. ͳ 阵 阵18.若点 是双曲线䁨 广 ሺ ‸ ͳ ‸ 的渐近线上任意一点,下列正确的是 阵 阵()A.存在过点 的直线与双曲线相切B.不存在过点 的直线与双曲线相切C.至少存在一条过点 的直线与该双曲线没有交点D.存在唯一过点 的直线与该双曲线没有交点三、解答题(本大题共5题,共12+14+14+16+18=74分))19.已知,圆䁨 阵 阵广 阵 ,直线 阵 .ሺ 当 为何值时,直线 与圆䁨相切;ሺ阵 当直线 与圆䁨相交于 ,䳌两点,且 䳌 阵阵时,求直线 的方程.20.如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽阵阵米,要求通行车辆限高 米,隧道全长阵 千米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.试卷第2页,总8页
(1)若最大拱高 为 米,则隧道设计的拱宽 是多少?(2)若最大拱高 不小于 米,则应如何设计拱高 和拱宽 ,才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最最小?(半个椭圆的面积公式为 ,柱体体积为:底面积乘以 高.本题结果精确到 米) 21.已知: 、 、 是同一平面内的三个向量,其中 ሺ ͳ 阵 (1)若 阵 ,且 ,求 的坐标; (2)若 ,且 阵 与阵 广 垂直,求 与 的夹角 ;阵 (3)若 ሺ ͳ ,且 与 的夹角为锐角,求实数 的取值范围. 阵 阵22.(文)已知点 ሺ ͳ 阵 在双曲线䁨 广 ሺ ‸ ͳ ‸ 上,且双曲线的一条渐 阵 阵近线的方程是 .(1)求双曲线䁨的方程;(2)若过点ሺ ͳ 且斜率为 的直线 与双曲线䁨有两个不同交点,求实数 的取值范围;(3)设(2)中直线 与双曲线䁨交于 、䳌两个不同点,若以线段 䳌为直径的圆经过坐标原点,求实数 的值.23.定义:由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆”,并将三 阵角形的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆䁨 : 阵 . 阵 阵ሺ 若椭圆䁨阵: ,判断䁨阵与䁨 是否相似?如果相似,求出䁨阵与䁨 的相似比; 如果不相似,请说明理由;ሺ阵 写出与椭圆䁨 相似且短半轴长为 的椭圆䁨 的方程;若在椭圆䁨 上存在两点 、 关于直线 对称,求实数 的取值范围? 阵 阵 阵 阵阵ሺ 如图:直线 与两个“相似椭圆” : 阵 阵 和 : 阵 阵 ሺ ‸ ‸ ͳ ൏ ൏ 分别交于点 ,䳌和点䁨, ,试在椭圆 和椭圆 上分别作出点 和点试卷第3页,总8页
(非椭圆顶点),使 䁨 和 䳌 组成以 为相似比的两个相似三角形,写出具体作法.(不必证明)试卷第4页,总8页
参考答案与试题解析2015-2016学年上海某校高二(上)期末数学试卷一、选择题(共14小题,每小题4分,共计56分)1.阵2.阵 3. 4. 或 阵 阵5. 阵 阵 6. 7. 广阵 广 . 阵8. ሺͳ 阵 9.阵 10.阵11.阵12. ͳ 13.①③④14.阵阵二、选择题(共4小题,每题5分,共计20分)15.B16.B17.C18.C三、解答题(本大题共5题,共12+14+14+16+18=74分)19.解:ሺ 将圆䁨的方程 阵 阵广 阵 配方得标准方程为 阵 ሺ 广 阵 ,则此圆的圆心为ሺ ͳ ,半径为阵.若直线 与圆䁨相切, 阵 则有 阵. 阵 解得 广. 阵 ,ሺ阵 联立方程 阵 阵广 阵 ,并消去 ,得ሺ 阵 阵 ሺ 阵 阵 ሺ 阵 .设此方程的两根分别为 、 阵,试卷第5页,总8页
ሺ 阵 阵 ሺ 阵 所以 阵 广 阵 , 阵 阵 则 䳌 ሺ 广 阵 阵 ሺ 广 阵 阵 ሺ 阵 ሺ 阵 阵广 阵 阵阵,两边平方并代入解得: 广 或 广 ,∴直线 的方程是 广 和 广 阵 .20.解:(1)如图建立直角坐标系,则点 ሺ ͳ , 阵 阵椭圆方程为 . 阵 阵将 与点 坐标代入椭圆方程, 得 , 此时此时 阵 因此隧道的拱宽约为 米; 阵 阵(2)由椭圆方程 , 阵 阵 阵 阵根据题意,将ሺ ͳ 代入方程可得 . 阵 阵 阵 阵阵 因为 阵 阵 即 且 阵 , , 所以 阵阵当 取最小值时, 阵 阵 有 , 阵 阵阵 阵得 阵, 阵此时 阵 阵阵阵 , 故当拱高约为 米、拱宽约为 米时,土方工程量最小. 21.解:(1)设 ሺ ͳ ,由 和 阵 阵 阵 广阵可得:阵阵解得, 或 广 , 阵 ∴ ሺ阵ͳ ,或 ሺ广阵ͳ广 ; (2)由ሺ 阵 ሺ阵 广 得,ሺ 阵 ሺ阵 广 , 即,阵 阵 广阵 阵 ,试卷第6页,总8页
阵 阵 广阵 阵 ,即有阵 广阵 , 所以 广;阵 得cos 广 ,由 ͳ ,得, ; (3) ሺ ͳ阵 ሺ ͳ 阵 , 由 与 的夹角为锐角,得 ሺ ‸ , 阵 ‸ ‸广, 若 ,得 , 所以, ሺ广, ሺ ͳ . 阵广 阵 阵22.解:(1)由题知,有 阵 阵解得 , 阵因此,所求双曲线䁨的方程是 广 阵 (2)∵直线 过点ሺ ͳ 且斜率为 ,∴直线 .代入双曲线方程得ሺ 广 阵 阵广阵 广阵 .又直线 与双曲线䁨有两个不同交点,∴ 广 阵 且 ሺ广阵 阵 ሺ 广 阵 ‸ 解得 ሺ广 ͳ 广 ሺ广 ͳ ሺ ͳ .(3)设点 、䳌的坐标为ሺ ͳ 、ሺ 阵ͳ 阵 .阵 广阵由(2)可得 阵 广 阵, 阵 广 阵又以线段 䳌为直径的圆经过坐标原点,则 2 2䳌 广 ,即 阵 阵 ,∴ 阵 ሺ ሺ 阵 ,即ሺ 阵 ሺ , 阵 阵广阵ሺ 阵 阵 阵∴ ,解得 . 广 阵 广 阵又 满足 广 阵 且 ሺ广阵 阵 ሺ 广 阵 ‸ ,∴所求实数 .23.解:ሺ 椭圆䁨阵与䁨 相似.因为椭圆䁨阵的特征三角形是腰长为 ,底边长为阵 的等腰三角形,而椭圆䁨 的特征三角形是腰长为阵,底边长为阵 的等腰三角形,因此两个等腰三角形相似,且相似比为阵.试卷第7页,总8页
阵 阵ሺ阵 椭圆䁨 的方程为:阵 阵 ሺ ‸ , 设 广 䁑,点 ሺ ͳ , ሺ 阵ͳ 阵 , 中点为ሺ ͳ , 广 䁑,则 阵 阵 , 阵 阵所以 阵广 䁑 ሺ䁑阵广 阵 , 阵 䁑䁑则 , .阵 因为中点在直线 上,䁑 䁑 所以有 ,䁑 广, 即直线 的方程为: : 广 广, 由题意可知,直线 与椭圆䁨 有两个不同的交点,阵 阵阵即方程 广 ሺ广 ሺ广 广 有两个不同的实数解, 阵阵 阵 所以 ሺ 广 ሺ广 ‸ ,即 ‸. ሺ 作法:过原点作直线 ሺ ,交椭圆 和椭圆 于点 和点 ,则 䁨 和 䳌 即为所求相似三角形,且相似比为 .试卷第8页,总8页