2015-2016学年上海某校高二(上)期末数学试卷【附答案可编辑】
ID:69510 2021-11-29 1 5.00元 8页 48.31 KB
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2015-2016学年上海某校高二(上)期末数学试卷一、选择题(共14小题,每小题4分,共计56分))广阵1.已知一个关于,的二元一次方程组的增广矩阵为,则广=________.阵2.已知向量ሺͳ广阵,ሺͳ阵,若,则________.广3.行列式阵的元素广的代数余子式的值为,则________.广阵4.若直线广广与广的夹角是,则实数的值为________.5.与椭圆阵阵有相同焦点,且短轴长为的椭圆方程是________.ͳ6.设变量,满足约束条件阵ͳ则目标函数阵的最小值为________.广ͳ7.直线广关于广广阵对称的直线方程为________.8.若直线ሺ广和曲线广阵有且只有一个交点,则实数的取值范围为________.阵9.设、阵是双曲线阵广的两个焦点,是双曲线上的一点,且阵阵,则阵的周长________.10.在䳌䁨中,䳌,䁨,点是䳌䁨的外接圆圆心,则䳌䁨________.阵阵11.已知椭圆及以下个函数:①ሺ;②ሺsin;③ሺsin,其中函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有________个.12.在平面直角坐标系2中,已知圆䁨阵阵广,点,䳌在圆上,且䳌阵,则22䳌的取值范围是________.13.设是平面向量的集合,是定向量,对属于集合,定义ሺ广阵ሺ.现给出如下四个向量:阵阵阵阵①ሺͳ,②ሺͳ,③ሺͳ,④ሺ广ͳ.阵阵阵阵那么对于任意、,使ሺሺ恒成立的向量的序号是________.阵阵14.记椭圆围成的区域(含边界)为ሺͳ阵ͳ…,当点ሺͳ分别在lim,阵,…上时,的最大值分别是,阵,…,则________.试卷第1页,总8页 二、选择题(共4小题,每题5分,共计20分))15.已知关于,的二元一次线性方程组的增广矩阵为ሺ,记ሺͳ阵,阵阵阵ሺͳ阵,ሺͳ阵,则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是()A.B.,,两两平行C.D.,,方向都相同阵阵16.方程的图象表示曲线䁨,则以下命题中正确的有()广䁑䁑广①若൏䁑൏,则曲线䁨为椭圆;②若䁑‸或䁑൏,则曲线䁨为双曲线;③曲线䁨不可能是圆;④若曲线䁨表示椭圆,且长轴在轴上,则൏䁑൏.阵A.个B.阵个C.个D.个17.在约束条件阵下,若,则目标函数阵的最大值变化ͳ范围是()A.ͳB.ͳC.ͳD.ͳ阵阵18.若点是双曲线䁨广ሺ‸ͳ‸的渐近线上任意一点,下列正确的是阵阵()A.存在过点的直线与双曲线相切B.不存在过点的直线与双曲线相切C.至少存在一条过点的直线与该双曲线没有交点D.存在唯一过点的直线与该双曲线没有交点三、解答题(本大题共5题,共12+14+14+16+18=74分))19.已知,圆䁨阵阵广阵,直线阵.ሺ当为何值时,直线与圆䁨相切;ሺ阵当直线与圆䁨相交于,䳌两点,且䳌阵阵时,求直线的方程.20.如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽阵阵米,要求通行车辆限高米,隧道全长阵千米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.试卷第2页,总8页 (1)若最大拱高为米,则隧道设计的拱宽是多少?(2)若最大拱高不小于米,则应如何设计拱高和拱宽,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小?(半个椭圆的面积公式为,柱体体积为:底面积乘以高.本题结果精确到米)21.已知:、、是同一平面内的三个向量,其中ሺͳ阵(1)若阵,且,求的坐标;(2)若,且阵与阵广垂直,求与的夹角;阵(3)若ሺͳ,且与的夹角为锐角,求实数的取值范围.阵阵22.(文)已知点ሺͳ阵在双曲线䁨广ሺ‸ͳ‸上,且双曲线的一条渐阵阵近线的方程是.(1)求双曲线䁨的方程;(2)若过点ሺͳ且斜率为的直线与双曲线䁨有两个不同交点,求实数的取值范围;(3)设(2)中直线与双曲线䁨交于、䳌两个不同点,若以线段䳌为直径的圆经过坐标原点,求实数的值.23.定义:由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆”,并将三阵角形的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆䁨:阵.阵阵ሺ若椭圆䁨阵:,判断䁨阵与䁨是否相似?如果相似,求出䁨阵与䁨的相似比;如果不相似,请说明理由;ሺ阵写出与椭圆䁨相似且短半轴长为的椭圆䁨的方程;若在椭圆䁨上存在两点、关于直线对称,求实数的取值范围?阵阵阵阵阵ሺ如图:直线与两个“相似椭圆”:阵阵和:阵阵ሺ‸‸ͳ൏൏分别交于点,䳌和点䁨,,试在椭圆和椭圆上分别作出点和点试卷第3页,总8页 (非椭圆顶点),使䁨和䳌组成以为相似比的两个相似三角形,写出具体作法.(不必证明)试卷第4页,总8页 参考答案与试题解析2015-2016学年上海某校高二(上)期末数学试卷一、选择题(共14小题,每小题4分,共计56分)1.阵2.阵3.4.或阵阵5.阵阵6.7.广阵广.阵8.ሺͳ阵9.阵10.阵11.阵12.ͳ13.①③④14.阵阵二、选择题(共4小题,每题5分,共计20分)15.B16.B17.C18.C三、解答题(本大题共5题,共12+14+14+16+18=74分)19.解:ሺ将圆䁨的方程阵阵广阵配方得标准方程为阵ሺ广阵,则此圆的圆心为ሺͳ,半径为阵.若直线与圆䁨相切,阵则有阵.阵解得广.阵,ሺ阵联立方程阵阵广阵,并消去,得ሺ阵阵ሺ阵阵ሺ阵.设此方程的两根分别为、阵,试卷第5页,总8页 ሺ阵阵ሺ阵所以阵广阵,阵阵则䳌ሺ广阵阵ሺ广阵阵ሺ阵ሺ阵阵广阵阵阵,两边平方并代入解得:广或广,∴直线的方程是广和广阵.20.解:(1)如图建立直角坐标系,则点ሺͳ,阵阵椭圆方程为.阵阵将与点坐标代入椭圆方程,得,此时此时阵因此隧道的拱宽约为米;阵阵(2)由椭圆方程,阵阵阵阵根据题意,将ሺͳ代入方程可得.阵阵阵阵阵因为阵阵即且阵,,所以阵阵当取最小值时,阵阵有,阵阵阵阵得阵,阵此时阵阵阵阵,故当拱高约为米、拱宽约为米时,土方工程量最小.21.解:(1)设ሺͳ,由和阵阵阵广阵可得:阵阵解得,或广,阵∴ሺ阵ͳ,或ሺ广阵ͳ广;(2)由ሺ阵ሺ阵广得,ሺ阵ሺ阵广,即,阵阵广阵阵,试卷第6页,总8页 阵阵广阵阵,即有阵广阵,所以广;阵得cos广,由ͳ,得,;(3)ሺͳ阵ሺͳ阵,由与的夹角为锐角,得ሺ‸,阵‸‸广,若,得,所以,ሺ广,ሺͳ.阵广阵阵22.解:(1)由题知,有阵阵解得,阵因此,所求双曲线䁨的方程是广阵(2)∵直线过点ሺͳ且斜率为,∴直线.代入双曲线方程得ሺ广阵阵广阵广阵.又直线与双曲线䁨有两个不同交点,∴广阵且ሺ广阵阵ሺ广阵‸解得ሺ广ͳ广ሺ广ͳሺͳ.(3)设点、䳌的坐标为ሺͳ、ሺ阵ͳ阵.阵广阵由(2)可得阵广阵,阵广阵又以线段䳌为直径的圆经过坐标原点,则22䳌广,即阵阵,∴阵ሺሺ阵,即ሺ阵ሺ,阵阵广阵ሺ阵阵阵∴,解得.广阵广阵又满足广阵且ሺ广阵阵ሺ广阵‸,∴所求实数.23.解:ሺ椭圆䁨阵与䁨相似.因为椭圆䁨阵的特征三角形是腰长为,底边长为阵的等腰三角形,而椭圆䁨的特征三角形是腰长为阵,底边长为阵的等腰三角形,因此两个等腰三角形相似,且相似比为阵.试卷第7页,总8页 阵阵ሺ阵椭圆䁨的方程为:阵阵ሺ‸,设广䁑,点ሺͳ,ሺ阵ͳ阵,中点为ሺͳ,广䁑,则阵阵,阵阵所以阵广䁑ሺ䁑阵广阵,阵䁑䁑则,.阵因为中点在直线上,䁑䁑所以有,䁑广,即直线的方程为::广广,由题意可知,直线与椭圆䁨有两个不同的交点,阵阵阵即方程广ሺ广ሺ广广有两个不同的实数解,阵阵阵所以ሺ广ሺ广‸,即‸.ሺ作法:过原点作直线ሺ,交椭圆和椭圆于点和点,则䁨和䳌即为所求相似三角形,且相似比为.试卷第8页,总8页
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