重庆市实验中学高2022级高三（上）数学周考（四）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，，则A．B．C．D．2．已知命题，使得；命题，，则下列命题为真命题的是A．B．C．D．3.已知是奇函数，当时，，则A．1B．0C．D．4.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，若带宽W增大到原来的1.1倍，信噪比从1000提升到16000，则C大约增加了(附：)A．21%B．32%C．43%D．54%5.函数的部分图象大致为A．B．C． D．6．在中，，，，是内一点，且，设，则　　A．B．C．D．7．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为A．B．C．D．8．已知函数，其中，，为的零点：且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是A．11B．13C．15D．17二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9．下列运算正确的是A．B．C．D．10．已知非零单位向量和，若，向量在向量上的投影向量为，向量在向量上的投影向量为，则下列结论正确的是　　A．B．C．D．11.已知函数，则A．B．是奇函数C．在上单调递增D．的最小值为12.在锐角三角形中，三个内角满足，则下列不等式中正确的有 A．B．C．D．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.若是第二象限角，且，则的值为__________.14.已知在上单调递增，.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为___________.15．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是___________.16．已知向量，，满足：，，，则的最大值是　　．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）已知等差数列，若，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，设，求数列的前项和．18..（本题满分12分）函数（），已知是函数的一个极小值点.（1）、求实数的值；（2）、求函数在区间上的最值.(其中为自然对数的底数)19．（本题满分12分）已知数列为等差数列，为其前项和，，且．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前100项的和． 20．（本题满分12分）中，内角，，所对的边分别为，，，，．（1）求；（2）如图，点为边上一点，，，求的面积．21.（本题满分12分）已知函数在下面两个条件中选择其中一个，完成下面两个问题：（1）求；（2）将的图象向右平移个单位(纵坐标不变)，得到函数的图象，求函数在上的值域.条件①：在图象上相邻的两个对称中心的距离为；条件②：的一条对称轴为；22．（本题满分12分）已知函数，其中为实数，为自然对数的底数．是的导数．（1）试讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围． 高2022级高三（上）数学周考（四）答案一、单项选择题1.A【解答】A.为偶数，故，故B.，故B错，C.，故错D.,故D错2.【解答】解：命题，使得，，，命题为假命题，命题，，是真命题，为假命题，为假命题，为假命题，真命题，故选：．3.D【解答】由题意，.故选：D.4.D【解答】解：由题意，所以C大约增加了54%.故选：D.5.B【解答】解：，则是奇函数，故排除C，D，因为，故排除B.故选：B．6．解：由已知可得是角的平分线，又，所以，且，同理，所以，即，故选：．7.B【解答】函数的定义域为， 又因为对于恒成立，所以在上单调递增，因为对于恒成立，所以对于恒成立，所以，因为，所以，所以，所以实数的取值范围为，故选：B.8.【解答】解：由题意知函数，，为图象的对称轴，为的零点，，，，，在区间，上有最小值无最大值，周期，即，．要求的最大值，结合选项，先检验，当时，由题意可得，，函数为，在区间，上，，，此时在时取得最小值，满足题意．则的最大值为15.二、多项选择题9.BCD【解答】由诱导公式，由换底公式有，由对数的运算法则有，由诱导公式有，A错，BCD正确．10．解：和的夹角为，因为，，，所以， 在上的投影向量，在上的投影向量，所以，故正确，错误；，故正确；，故正确．故选：．11.ACD【解答】A：，故A正确；B：，所以，所以，所以为偶函数，故B项错误；C：时，在上单调递增，因此在上单调递增，故C项正确；D：由于在上单调递增，又为偶函数，所以在上单调递减，所以的最小值为，故D正确.故选：ACD.12.AD【解答】对于选项A，设且，则恒成立，故函数在区间上单调递增.又因为锐角三角形，所以，故，即，故A正确；对于选项B，因函数在区间上单调递增，且，所以，即，故，因此B错；对于选项C，设且，则，令，则恒成立，故在上单调递增， 因此，所以恒成立，故在上单调递增.又因为锐角三角形，所以，故，即，变形得，因此C错；对于选项D，因函数在上单调递增，且，所以，变形得，故D正确.故选：AD.三、填空题13.【详解】是第二象限角，则，因此，.故答案为：.14.【详解】在上单调递增在上恒成立.即在上恒成立，所以：.又是的充分不必要条件，即.故答案为：.15.【详解】由可得，令，则直线与函数的图象有两个交点.，当时，，此时，函数单调递增；当时，，此时，函数单调递减.所以，函数在处取得极大值，且极大值为.当时，；当时，.如下图所示： 由图象可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，因此，实数的取值范围是.故答案为：.16．解：不妨设,因为,所以,即,于是令,函数的一个周期为,,当时,；当时,；当时,,所以函数在上单调递增,在上单调递减，在上单调递增,所以．故答案为：．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知等差数列，若，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，设，求数列的前项和．17．（Ⅰ）或（Ⅱ） 【详解】解：（Ⅰ）∵，∴①∵，，成等比数列，∴，∴化简得，若，若，②，由①②可得，，所以数列的通项公式是或（Ⅱ）由（Ⅰ）得∴18..函数（），已知是函数的一个极小值点.（1）、求实数的值；（2）、求函数在区间上的最值.(其中为自然对数的底数)【答案】（1）、；（2）、，.【解析】【分析】（1）、由表达式可以求出，根据是函数的一个极小值点可知可求出，再将代入中，根据的正负确定的单调性，验证值是否符合题意即可；（2）、由（1）可知的单调性，判断在上的单调性，结合极值及端点处的函数值判断在区间上的最值.18【详解】（1）、，是函数的一个极小值点.， ，.当时，令，，，在上单调递增;令，，，在上单调递减；是函数的一个极小值点,满足题意.（2）、由（1）可知：在上单调递减，在上单调递增，上单调递减，在上单调递增，当时，取，且，.又，.综上：函数在区间上的，19．已知数列为等差数列，为其前项和，，且．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前100项的和．19．【解答】解：（1）数列为等差数列，，且．，解得，，数列的通项公式为．（2）由（1）可知，，所以的前100项和为， 所以．20．中，内角，，所对的边分别为，，，，．（1）求；（2）如图，点为边上一点，，，求的面积．20.【解答】解：（1），，，由正弦定理，可得，，，，，，则，．（2），，，，，则，，又，在中，由正弦定理，可得，，，． 21.已知函数在下面两个条件中选择其中一个，完成下面两个问题：（1）求；（2）将的图象向右平移个单位(纵坐标不变)，得到函数的图象，求函数在上的值域.条件①：在图象上相邻的两个对称中心的距离为；条件②：的一条对称轴为；【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】首先化简函数，若选①，得周期，求，若选②，代入，，即可求得；（2）根据（1）的结果，结合三角函数图象变换规律，求得变换之后的函数解析式，，再根据自变量的范围，求函数的值域.21.【详解】（1）选①：图象上相邻两个对称中心的距离为，则选②：的一条对称轴为，则，,.于是 （2）将的图象向右移个单位长度(纵坐标不变)，得到函数图象的值域为.22．已知函数，其中为实数，为自然对数的底数．是的导数．（1）试讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围．22．解：（1），则，当时，，单调递增，当时，令，则，令，则，单调递增，令，则，单调递减，综上：当时，在单调递增，当时，在单调递减，在单调递增．（2）设，则，且，则，且，，，，则在，上单调递增，当时，，由于在，上单调递增，则当时，，则在，上单调递增，故，则在，上单调递增，故，符合题意，当时，，由于在，上单调递增，，故必然存在，使得时，，则在上单调递减，故当时，，则在上单调递减，则当时，，综上，的取值范围为，．